Практическое задание n 2. 15

1. Построить зависимость изменения координаты точки "X" от времени "t", при следующих значениях амплитуды: A = B = 10 (в случае биений) и A = 5, B = 15. Круговые частоты k₁=10, k₂=11, начальные фазы колебаний равны нулю. Параметр "t" изменять от нуля до 4*Pi / |k₁-k₂|.

2. Построить зависимость изменения координат точки "X" и "Y" от времени "t" в случае взаимно перпендикулярных колебаний, для различных случаев:

1) k₁=k₂=k, fi₁=0, fi₂=Pi/2; 2) k₁=k*(1+0. 1*t), k₂=k, dFi=0;

3) k₁=2*k, k₂=3*k, dFi=Pi/2; 4) k₁=k, k₂=2*k, dFi=Pi/2;

Значения амплитуд: A = 10, B = 20, круговая частота: k=100. Параметр "t" изменять от нуля с шагом 0. 01*Pi/k до нажатия клавиши Enter.

Свободное движение точки (тела) часто можно представить в виде составного, полученного сложением нескольких движений. Например, пловец, переплывающий реку плывет прямо к противоположному берегу, а течение реки сносит его. Таким образом, абсолютное движение пловца относительно неподвижной системы отсчета состоит из движения вдоль и поперек реки. Пусть пловец движется со скоростью "V₁", а скорость течения "Vp", тогда вектор абсолютной скорости V=V₁+Vp. Направим ось "X" - вдоль реки (по течению), а ось "Y" - поперек реки. Проекции абсолютной скорости на оси координат: Vx=Vp, Vy=V₁.

Пусть скорость течения реки постоянна, а пловец плывет с постоянным ускорением "A₁", тогда траектория пловца имеет вид:

X = Vp*t; Y = V₁*t + 0.5*A₁*t²; Y V₁ V

где A₁ = (V₂-V₁)/tn; - ускорение пловца,

tn= 2*H/(V₂+V₁); - время движения пловца,

V₁, V₂ - начальная и конечная скорости пловца, V₂

t - параметр времени.

Практическое задание n 2. 16

1. Построить траектории движения десяти пловцов, заканчивающих движение со скоростью V₂ = V₁ / N, где N - номер пловца. Ширина реки H=1000, м, скорость V₁=2, м/с, Vp=1, м/с.

2. Построить траектории движения спортсмена, прыгающего вертикально со скакалкой в поезде. Скорость движения поезда прямолинейна и постоянна Vp=20, м/с. Спортсмен отрывается от пола со скоростью V₁=5,м/с и до касания движется по закону: Y= V₁*t - 0. 5*g*t². Движения повторяются 10 раз с периодом t = 2*V₁/g, где g=9. 81, м/с².

3. Построить траектории движения шести точек на колесе радиусом R=0. 5, м, катящемся по горизонтальной плоскости с постоянной скоростью V=0. 2, м/с. Траектория точки описывается уравнениями:

X = V*t - R₁*sin(fi); Y = -R₁*cos(fi);

где R₁= R +(N-3)*R/2 - радиус N -ой точки, N=1, . . . , 6;

fi= V*t/R, t - время движения 0<=t<=3*(2*Pi*R/V).

Динамика. В задачах динамики рассматривается движение тел под действием сил. Для определения характеристик движения (траектории, скорости и т. д. ) составляются дифференциальные уравнения движения, которые затем интегрируются, а также используются законы сохранения энергии или импульса.

Рассмотрим задачу столкновения двух шаров, движущихся со скоростью V₁ и V₂. Если центры масс соударяющихся тел находятся на общей нормали, проведенной в точку контакта, то удар называется центральным. Например, удар при столкновении двух шаров. При центральном ударе двух тел с идеально гладкой поверхностью справедлива гипотеза Ньютона: проекция скорости на нормаль к поверхности в точке контакта уменьшается после удара в "k" раз. Коэффициент восстановления "k" характеризует потери энергии на тепло при ударе и зависит от материала тел. Используя также закон сохранения импульса, получаем формулу расчета векторов скорости шаров W₁ и W₂ после удара:

W₁ = V₁ + M₂*(1+k)/(M₁+M₂)*(|V₁|*cos(fi₁) + |V₂|*cos(fi₂))*n₁;

W₂ = V₂ + M₁*(1+k)/(M₁+M₂)*(|V₁|*cos(fi₁) + |V₂|*cos(fi₂))*n₂;

Здесь fi₁ и fi₂ - углы между линией общей нормали и векторами скоростей V₁ и V₂ в момент удара.

n₁ и n₂ - векторы единичных нормалей к поверхности шаров в точке контакта.

|V₁| и |V₂| - модули векторов скоростей V₁ и V₂.

Рассмотрим случай построения плоской траектории при столкновении шара "1", движущегося со скоростью "V₁" с неподвижным шаром "2". В проекциях на оси скорость первого шара равна:

W₁x = V₁x + M₂*(1+k)/(M₁+M₂)*|V₁|*cos(fi₁)*n₁x;