§ 3. Примеры распределения случайных величин

§ 3. Примеры распределения случайных величин

3.1 Биномиальное распределение

3.2 Распределение Пуассона

3.1 Биномиальное распределение

3.2 Распределение Пуассона

3.3 Нормальное распределение

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Mathematics5.pdf

Скачиваний:

100

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Пример 4.		при	x < 0,
0,
	λ (4x − x3 ),	при 0 ≤ x ≤ 2,
Дана функция f (x) =
	0,	при	x > 2.

Определить, при каком значении λ функция f (x) может быть принята за плотность вероятности случайной величины X . Определить это значение

λ , найти M ( X ) и σ( X ) .

Решение.

+∞
∫ f (x) dx =1					f (x) – плотность некоторой случайной величины X .
−∞
+∞			2							2 = λ(8 − 4) = 4λ =1														1 .
+∞			2
∫ f (x) dx = λ∫(4x − x3 ) dx = λ(2x2 − x4 4)																	λ =
−∞			0						0															4
−∞			0
			+∞		2		2					x	3					x	5		2 =
			+∞		2		2						3						5
M ( X )		= ∫x f (x) dx = ∫x (x				− x3 4) dx = ∫(x2 − x4 4) dx =									−
M ( X )		= ∫x f (x) dx = ∫x (x				− x3 4) dx = ∫(x2 − x4 4) dx =									−
		−∞			0		0				3						20				0
		−∞			0		0
= 8 −	8	=	16 .
3	5		15
D( X ) = M ( X 2 ) −[M ( X )]2 .
			+∞		2		2							x		4				x		6	2 =
			+∞		2		2									4						6
M ( X 2 ) = ∫x2 f (x) dx = ∫x2 (x − x3 4) dx = ∫(x3 − x5 4) dx =																		−
																		−
			−∞		0		0								4				24				0
			−∞		0		0								4				24				0
= 4 −	8	=	4 .
	3		3
D( X ) =		4	− 256	=	900 −768 =	132	=	44		, σ( X ) =	D( X ) =						44					≈ 0,44 .
D( X ) =		3	− 256	=	900 −768 =	3 225	=			, σ( X ) =	D( X ) =						15					≈ 0,44 .
		3	225		3 225	3 225	225										15

Определение. Распределение случайной величины X , равной количеству появлений события A в схеме Бернулли из n испытаний, называется

биномиальным распределением.

В этом распределении значению k случайной величины X соответствует вероятность Pn (k) = Cnk pk qn −k , k =1, 2, ..., n , где p – вероятность наступления события A в одном испытании, а q =1 − p .

Теорема. Пусть X – случайная величина с биномиальным распределением. Тогда

M ( X ) = np ,

D( X ) = npq ,

σ( X ) = npq .

Доказательство.

Т.к. биномиальное распределение дискретно, имеем:

Очевидно, что X = ∑Xi , где Xi – случайная величина, равная количе-

i =1

ству наступлений события A в i -ом испытании. Все Xi независимы и имеют

закон распределения:				M ( Xi ) = 0 q +1 p = p .
			Отсюда
	0	1	Отсюда
	0	1	D( Xi ) = M ( Xi2 ) −[M ( Xi )]2 = 0 q +12 p − p2 =

	q	p
			= p − p2 = p (1 − p) = pq .
			= p − p2 = p (1 − p) = pq .

Согласно свойствам математического ожидания и дисперсии имеем:

M ( X ) = ∑M ( Xi ) = n M ( Xi ) = np ,

i =1

D( X ) = ∑D( X i ) = npq ,

i =1

σ( X ) = D( X ) = npq .

Определение. Распределение случайной величины X , принимающей

значения k {0, 1, 2, ..., } с вероятностями P(k) = ak	e−a , где	a > 0	– некото-
k !

рый параметр, называется пуассоновским распределением или распределением Пуассона.

Теорема.

Пусть X

– случайная величина,

подчиненная пуассонов-

скому закону распределения. Тогда

M ( X ) = a ,

D( X ) = a ,

σ( X ) = a .

Доказательство.

Т.к. пуассоновское распределение дискретно, имеем:

∞

k −1

M ( X ) = ∑k pk = ∑k

a−a = a e

−a ∑

= a e−a ea = a .

k !

(k −1)!

k =0

k =

14243

D( X ) = M ( X 2 ) −[M ( X )]2

∞

k −1

− a2 =

= ∑k 2 a

− a2 = e−a a ∑k a

k =0

k !

k =1

(k −1)!

∞

[(k −1) +1]a

k −1

∞

k −2

∞

k −1

= e−a a ∑

− a2

= e−a a2

∑

+ e−a a ∑

− a2

(k −1)!

(k − 2)!

(k −1)!

k =1

k =2

k =1

= e−a a2 ea + e−a a ea − a2 = a .

σ( X ) = D( X ) = a .

3.3 Нормальное распределение
Определение. Распределение непрерывной случайной величины				X ,
заданное дифференциальной функцией распределения
f (t) =		1	e−(t −a)2 (2σ 2 ) ,	(1)
	σ	2π

где a R и σ > 0 – некоторые параметры, называется нормальным распре-

делением.

Теорема. Если X – нормально распределенная случайная величина с дифференциальной функцией распределения (1), то

M ( X ) = a ,

D( X ) =σ 2 ,

σ( X ) =σ .

Теорема устанавливает, таким образом, вероятностный смысл параметров нормального распределения.

Нормальное распределение (нормальная случайная величина) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и в приложениях теории вероятности к практическим задачам.

Эта роль объясняется установленным фактом. Если известно, что изучаемая случайная величина X складывается из большого количества случайных величин, каждое из которых оказывает лишь небольшое влияние на всю сумму, то можно считать, что X распределена нормально.

Например, ошибка, допускаемая при измерении какой-либо физической величины, складывается, по-видимому, из большого числа ошибок, вы-

званных многочисленными причи- f (t) нами. Поэтому, как правило, слу-

чайная ошибка измерения имеет нормальное распределение.

				Рассмотрим нормальное рас-
				пределение более подробно.
				График функции (1) изобра-
a −σ	a	a +σ	t	жен на рис. 14.1. Его можно полу-
				чить из “стандартного графика”
	Рис. 14.1			нормального	распределения

f (t) =

e−t 2 2

( a = 0 ,

σ =1) сдвигом на a

единиц вправо, с последую-

2π

щим растяжением по горизонтали относительно оси симметрии в σ

раз.

Функция

y =

e−x 2 2

табулирована. Она упоминается в формулировке

2π

локальной теоремы Муавра-Лапласа. Кривая

f (t) =

e−(t −a)2 (2σ 2 )

сим-

2π

метрична относительно прямой t = a . Точка t = a является точкой максимума функции, а точки a ±σ – точками перегиба. Чем больше σ , тем кривая положе.

Интегральный закон распределения, соответствующий дифференциальному закону (1), имеет вид:

−∞

Интеграл (2) нельзя вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. удобно выразить F(t) через табулированную функцию Лапласа:

t		1
⌠		1			−t 2 2
Ф(t) =				e		dt .
Ф(t) =		2π		e		dt .
⌡		2π
0
Именно,	1			t − a
F(t) =	1	+		t − a
F(t) =	2	+	Ф		σ	.
	2				σ

По интегральной теореме Муавра-Лапласа имеем:

Однако

(3)

(4)

	β − a		α − a	(5)
P(α ≤ X < β) = F(β) − F(α) = Ф	σ	−Ф	σ

или

⌠

−(t −a)2

(2σ 2 )

P(α ≤ X

< β) = f (t) dt =

dt =

σ 2π

⌡

β −a

⌠

−u 2

⌠

−t 2 2

du =

ϕ(t) dt ,

где

ϕ(t) =

2π

⌡

α −a

Пример.
Величина X распределена нормально с параметрами a = 5, σ =1. Най-
ти вероятность того, что X примет значение в интервале [4; 7	].

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 198 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.201523.58 Кб15materialka.docx
#
06.03.201618.45 Кб21materialoved.docx
#
07.12.2018243.71 Кб6Materialovedenie.doc
#
17.03.20153.56 Mб43Mathematics.Part 1.pdf
#
17.03.20151.9 Mб117Mathematics1 reduced.pdf
#
17.03.20151.16 Mб100Mathematics5.pdf
#
17.03.2015434.2 Кб13Matritsy.pdf
#
17.03.2015165.2 Кб12Mechanics_questions.pdf
#
17.03.20152.23 Mб216Mekhanika_Gruntov.doc
#
10.11.2019229.89 Кб16method.doc
#
31.08.2019411.14 Кб193method_ngdз.doc

−(t −a)2 (2σ 2 )