Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Mathematics5.pdf

Скачиваний:

100

Добавлен:

17.03.2015

Размер:

1.16 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Замечание 1. Значения функции f (t) называют обычно плотностью вероятности случайной величины X . Такое название объясняется следующими обстоятельствами:

f (t) = lim F(t +	t) − F(t) .
t →0	t	F(t + t) − F (t)
F(t + t) − F(t) = P(t ≤ X < t + t)		F(t + t) − F (t)	есть “средняя
		t
вероятность”, т.е. вероятность P(t ≤ X < t +		t) , отнесенная к единице длины.

Замечание 2. Понятие интегральной функции распределения имеет место и для дискретных случайных величин. График этой функции в таком случае имеет ступенчатый вид.

Для описания дискретной случайной величины понятие дифференциальной функции распределения неприменимо.

§ 2. Математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение случайной величины, их свойства

Определение 1. Пусть X – дискретная случайная величина, закон распределения которой имеет вид:

	x	x1		x2	…	xn	(1)
	p	p1		p2	…	pn	(1)
	p	p1		p2	…	pn
Математическим ожиданием дискретной случайной величины X на-
зывается число				n
				n
			M ( X ) = ∑ xi pi .				(2)

i =1

Определение 2. Пусть X – непрерывная случайная величина и f (t) – ее дифференциальная функция распределения. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется число

+∞
M ( X ) = ∫t f (t) dt	(3)

−∞

(имеется ввиду, что интеграл (3) сходится).

Математическое ожидание, как дискретной, так и непрерывной случайной величины, имеет следующий вероятностный смысл.

Пусть проведено N испытаний, в результате чего получены значения случайной величины X : x1 , x2 , …, xN . Среднее арифметическое этих чисел

x1 + x2 +... + xN при больших n близко к M ( X ) .

Поясним вышесказанное на примере дискретной случайной величины X . Если X имеет распределение (1), то в результате N испытаний ( N – большое) мы получим p1 N раз значение x1 , p2 N раз – значение x2 , …,

pN N раз – значение xN . Среднее арифметическое полученных в результате испытаний значений равно:

	x1 p1 N + x2 p2 N +... + xN pN N	N
		= ∑xi pi = M ( X ) .
	N
		i =1

В связи с этим математическое ожидание называют также средним значением случайной величины.

Замечание. Математическое ожидание является постоянным, не зависящим от опыта числом, характеризующим определенное свойство случайной величины, а именно – устойчивость среднего арифметического полученных в результате испытаний значений.

Свойства математического ожидания

1.M (C) = C , где C = const .

2.	M ( X +Y ) = M ( X ) + M (Y )	для произвольных случайных величин	X
		и Y (зависимых или независимых).
3.	M (λ X ) = λ M ( X ) для	любой случайной величины X и произ-
	вольного числа λ .
4.	M ( X Y ) = M ( X ) M (Y )	для независимых случайных величин X	и

Y .

Определение 3. Пусть X – дискретная случайная величина с распре-

делением (1). Дисперсией дискретной случайной величины X называется число:

n
D( X ) = ∑(xi − M ( X ))2 pi ,	(4)
i =1
где M ( X ) – математическое ожидание случайной величины X .
Определение 4. Пусть X – непрерывная случайная величина и	f (t) –

ее дифференциальная функция распределения. Дисперсией непрерывной случайной величины X называется число:

+∞
D( X ) = ∫(t − M ( X ))2 f (t) dt	(5)

−∞

(если интеграл сходится), M ( X ) – математическое ожидание случайной величины X .

Данные выше определения можно объединить следующим образом: дисперсия случайной величины X есть математическое ожидание случайной

величины ( X − M ( X ))2 .

Истолкование дисперсии случайной величины как математического ожидания квадрата отклонения X от M ( X ) позволяет описать вероятностный смысл дисперсии следующим образом.

Дисперсия характеризует среднее значение квадрата отклонения значений X от ее математического ожидания. Чем больше эти отклонения по абсолютной величине, тем больше дисперсия, и обратно. Дисперсия измеряет меру рассеяния значений случайной величины относительно математического ожидания X .

Свойства дисперсии

1.D(C) = 0 , где C = const .

2.D(λ X ) = λ2 D( X ) для любой случайной величины X и произволь-

ного числа λ .

3. D( X +Y ) = D( X ) + D(Y ) для независимых случайных величин X и

Y .

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожи-

дания, т.е.
D( X ) = M ( X 2 ) −[M ( X )]2 .	(6)
Доказательство.	свойства2,3 для
	свойства2,3 для
D( X ) = M [X − M ( X )]2 = M ( X 2 − 2 X M ( X ) +[M ( X )]2 )	матем. ожидания
	=

= M ( X 2 ) − 2 M ( X ) M ( X ) +[M ( X )]2 = M ( X 2 ) −[M ( X )]2 .

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из ее дисперсии, т.е.

σ( X ) = D( X ) .

(7)

Среднее квадратическое отклонение, как и дисперсия, является мерой рассеяния значений случайной величины относительно математического ожидания. Среднее квадратическое отклонение измеряется в тех же единицах, что и случайная величина X , в то время как дисперсия имеет измерение

X 2 . Поэтому иногда предпочтительнее иметь дело с σ ( X ) , а не с D( X ) .

Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин, т.е.

σ( X1 + X 2 +... + X n ) = σ 2 ( X1 ) +σ 2 ( X 2 ) +... +σ 2 ( X n ) .

Доказательство.

Пусть X = X1 + X 2 +... + X n .

свайство3

D( X ) = D( X1 ) + D( X 2 ) +... + D( X n ).

σ( X ) = D( X ) = D( X1 ) +... + D( X n ) = σ 2 ( X1 ) +... +σ 2 ( X n ) .

Примеры решения задач

Пример 1.

Пусть X – количество очков при бросании игральной кости. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X .

Решение. Закон распределения имеет вид:

x		1			2		3				6		5			6			Σ

p	1 6			1 6			1 6				1 6		1 6			1 6			1

	6							+ 3 1			+ 4 1					= 21
M ( X ) = ∑xi pi =1 1						+ 2	1	+ 3 1			+ 4 1	+5	1	+ 6	1	= 21	=	7	= 3,5.
	i =1				6		6		6		6		6		6 6 2
Дисперсию вычислим по формуле:
					D( X ) = M ( X 2 ) −[M ( X )]2 .
Закон распределения случайной величины X 2														имеет вид:

x2		1			4		9				16		25			36			Σ
p	1 6			1 6			1 6				1 6		1 6			1 6			1

M ( X 2 )	= 1 (1 + 4			+ 9 +16 + 25 + 36)							= 91 ,
	6										6
D( X ) =	91	−	7 2	=	182 −147			=	35	≈ 2,92 ,
D( X ) =	6	−		=		12		=	12	≈ 2,92 ,
	6		2			12			12
σ( X ) =	D( X ) =			2,92 ≈1,71.

Пример 2.

Случайная величина X – задана дифференциальной функцией распределения f (t) = cos t в интервале (0; π2 ). Вне этого интервала f (t) = 0 . Най-

ти математическое ожидание величины Y = X 2 .

Решение.

Для X

Для X 2

+∞				+∞
M ( X ) = ∫t f (t) dt .	Если X * =ϕ( X ) M ( X * ) = ∫ϕ(t)
−∞				−∞
+∞	π 2		u = t2 , du = 2tdt,

M ( X 2 ) = ∫t2 f (t) dt = ∫t2		cos t dt =
			dv = cos t dt, v	= sin t
−∞	0

f (t) dt .

π 2

u = t, du = dt,

= t2 sin t

− 2 ∫t sin t dt =

dv = sin t dt,

v = −cos t

π 2

− 2 sin t

π 2

− 2 .

− 2

−t cos t

∫cos t dt

Пример 3.

Найти

дисперсию

случайной

величины X ,

заданной

интегральной

функцией

при t ≤ −2,

F(t) =

при − 2 < t ≤ 2,

t 4 +1 2 ,

при t ≥ 2.

Решение.

Найдем дифференциальную функцию распределения случайной

величины X

′

f (t) = F (t) :

при t ≤ −2,

1 4 ,

при − 2 < t ≤ 2,

f (t) =

при t ≥ 2.

M ( X )

⌠

⌠ 1

t dt =

= 0 .

= t f (t) dt =

⌡

⌡ 4

−2

D( X ) = M [X − M ( X )]

⌠

M ( X

) = t

f (t) dt =

dt =

⌡

−2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.03.201523.58 Кб15materialka.docx
#
06.03.201618.45 Кб21materialoved.docx
#
07.12.2018243.71 Кб6Materialovedenie.doc
#
17.03.20153.56 Mб43Mathematics.Part 1.pdf
#
17.03.20151.9 Mб117Mathematics1 reduced.pdf
#
17.03.20151.16 Mб100Mathematics5.pdf
#
17.03.2015434.2 Кб13Matritsy.pdf
#
17.03.2015165.2 Кб12Mechanics_questions.pdf
#
17.03.20152.23 Mб216Mekhanika_Gruntov.doc
#
10.11.2019229.89 Кб16method.doc
#
31.08.2019411.14 Кб192method_ngdз.doc