40
Для теории вероятностей и ее приложений большее значение имеет коэффициент корреляции (основная причина этого – его безразмерность).
Свойства коэффициента корреляции
1. r( X , Y ) = 0 для независимых случайных величин X и Y . 2. −1 ≤ r( X , Y ) ≤1 для любых случайных величин X и Y .
3. Если |
|
r( X , Y ) |
|
=1, то случайные величины связаны соотношением |
||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
Y = a X + b , |
(3) |
|||
где a и b – некоторые числа. |
|
|
|
|
||||
Обратно, если X и Y связаны соотношением (3), то |
|
r( X , Y ) |
|
=1 (при- |
||||
|
|
|||||||
чем r = −1 при a < 0 и r =1 для a > 0 ). |
|
|
|
|
||||
Замечание. |
|
Следует иметь ввиду, что существуют зависимые величины X |
||||||
и Y , коэффициент корреляции которых равен нулю, их называют некоррелированными. Коэффициент корреляции измеряет степень линейной зависимости между случайными величинами X и Y .
§ 6. Закон больших чисел. Теорема Чебышева
Из повседневного опыта известно, что массовые случайные явления обладают свойствами устойчивости средних. Это означает, что при независимых испытаниях случайной величины X среднее арифметическое полу-
ченных значений |
x1 + x2 +... + xn |
при больших n стабилизируется. Случай- |
|
n |
|||
|
|
ные колебания значений каждого испытания компенсируется и случайная ве-
личина |
X1 + X 2 +... + X n |
, где X i есть i -ое испытание величины X при |
|
||
|
n |
|
больших n теряет свой случайный характер. Теоремы, описывающие подобные ситуации, называют законами больших чисел. Их несколько. Рассмотрим наиболее часто используемую из них.
Теорема Чебышева. Если X1 , X 2 , …, X n – попарно независимые
случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа C ), то, как бы мало ни было положительное число ε
|
|
|
|
X |
1 |
+ X |
2 |
+... + X |
n |
|
M ( X |
|
) + M ( X |
|
) +... + M ( X |
n |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
lim |
P |
|
|
|
|
|
− |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
< ε |
=1. |
||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
На практике чаще используется следующая формулировка этой теоре-
мы.
41
Теорема. Пусть X i (i =1, 2, ..., n ) – попарно независимые случайные величины, имеющие одинаковые распределения и M ( X i ) = a , D( X i ) =σ 2 . Тогда имеет место соотношение:
|
|
|
|
X |
1 |
+ X |
2 |
+... + X |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim P |
|
|
|
|
|
− a |
|
< ε |
=1, |
||||
|
|
|
|
n |
|
||||||||
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
для любого сколь угодно малого положительного числа ε .
Комментарий. Можно считать, что дана одна случайная величина X , которая независимо испытывается n раз, случайное значение i -го испытания определяет величину X i . Теорема Чебышева утверждает, что малое (мень-
шее, чем ε ) отклонение среднего арифметического X1 + X 2 +... + X n n
тематического ожидания a весьма вероятно. Иными словами, почти всегда будет наблюдаться малое отклонение (при больших n ).
§ 7. Центральная предельная теорема Ляпунова
Кроме законов больших чисел, описывающих устойчивость средних значений, в теории вероятностей имеет место еще одно замечательное явление. Это явление заключается в том, что при большом количестве случайных слагаемых, каждое из которых вносит лишь небольшой вклад в общую сумму, распределение каждого из слагаемых не влияет на суммарный результат. Более строгое утверждение сформулировано в следующей теореме.
Теорема Ляпунова (центральная предельная).
Если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.