Очевидно, что при больших значениях n в схеме Бернулли использовать формулу (1) весьма затруднительно (сложно вычислить Cnk ). Обычно в этих случаях используют следующие теоремы:

Теорема (локальная теорема Муавра-Лапласа).

При больших значениях n в схеме Бернулли справедливо приближенное равенство:

Теорема (интегральная теорема Муавра-Лапласа).

При больших значениях n в схеме Бернулли имеет место приближенное равенство:

Pn (k1, k2 ) ≈Ф(k2′) −Ф(k1′) ,

Раздел II

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

§ 1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Интегральная и дифференциальная функции распределения

Понятие случайной величины является одним из основных понятий теории вероятности.

Определение. Случайной величиной называется величина, которая в

результате испытания принимает то или иное значение. При этом заранее неизвестно, какое именно значение случайная величина примет в результате опыта.

Изучая случайную величину, прежде всего интересуются множеством ее возможных значений. Это может быть конечное множество чисел или

21

множество чисел, не имеющее предельной точки (например, множество Ζ )

Такие случайные величины называются дискретными.

Возможно, что множество значений случайной величины содержит целый отрезок числовой оси. Такие случайные величины называются непре-

рывными.

Пример 1.

Случайная величина X – количество очков, выпавшее при бросании игральной кости.

{1, 2, ..., 6 }– множество значений.

Пример 2.

Случайная величина X – угол между начальным направлением и направлением остановившейся стрелки рулетки.

[0; 2π ] – множество значений.

Определение. Распределением (законом распределения) дискретной

случайной величины называется функция, сопоставляющая каждому воз-

можному значению xk случайной величины ее вероятность pk ( 0 ≤ pk ≤1), причем ∑pk =1.

k

Распределение дискретной случайной величины с конечным числом возможных значений удобно задавать таблицей.

Пример 3.

Закон распределения из примера 1 имеет вид:

Закон распределения полностью характеризует дискретную случайную

величину, указывая возможные значения и вероятности, с которыми эти зна-

чения появляются в результате испытаний.

Перейдем к обсуждению понятия распределения непрерывной случай-

ной величины. Рассматривают два вида распределений непрерывной случай-

ной величины: интегральное и дифференциальное, их также называют интегральной и дифференциальной функциями распределения, интегральным и дифференциальным законами распределения.

Определение. Интегральной функцией распределения непрерывной случайной величины X называется функция переменной t , выражающая ве-

22

роятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее, чем число t , т.е.

F(t) = P( X < t) .

Доказательство следует из определения функции распределения как вероят-

ности.

Свойство 2.

F(t) – неубывающая функция, т.е. из t1 < t2 F(t1 ) ≤ F(t2 ) .

Доказательство.

Событие ( X < t2 ) можно подразделить на два несовместных события

Вероятность любого события неотрицательна, следовательно F(t2 ) ≥ F(t1 ) .

Свойство 3. P(a ≤ X < b) = F(b) − F(a) .

Доказательство.

В формуле (1) при t1 = a , t2 = b имеем

P(a ≤ X < b) = F(b) − F(a) .

Следствие. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет определенное значение, равна 0.

Доказательство.

Свойство3

P(t0 ≤ X < t0 + t) = F(t0 + t) − F(t0 ) .

Пусть t → 0 . Т.к. X – непрерывная случайная величина, то функция F(t) – непрерывна. Отсюда P( X = t0 ) = F(t0 ) − F(t0 ) = 0 .

Замечание 1. Из доказанного следствия имеем

P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b) .

Замечание 2. Было бы неправильно думать, что P( X = t0 ) = 0 означает, что событие X = t0 невозможно.

Свойство 4. Если возможные значения случайной величины принадлежит интервалу (a ; b) , то:

Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины X расположены на всей числовой оси (−∞; + ∞) , то справедливы следующие

предельные соотношения:

ее интегральная функция распределения. Пусть, кроме того F(t) – дифференцируема всюду, за исключением, быть может, конечного числа точек.

Производная F′(t) интегральной функции распределения называется

дифференциальной функцией (дифференциальным законом) распределения

непрерывной случайной величины X .

Свойство 1. Дифференциальная функция распределения – неотрицательная функция:

f (t) ≥ 0 .

Доказательство.

Интегральная функция распределения F(t) – неубывающая, следова-

тельно, f (t) = F ′(t) ≥ 0 .

−∞