42

Глава XV МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

§ 1. Задачи математической статистики

Практическое изучение случайной величины часто происходит в следующих обстоятельствах: закон распределения и характеристики случайной величины (или системы случайных величин) неизвестны, однако известны результаты некоторого количества испытаний этой величины.

Представляет интерес задачи нахождения функции распределения случайной величины (или системы случайной величины) и числовых характеристик распределения ( M , D , σ ) по опытным данным. Этими задачами и занимается математическая статистика.

Нахождение функции распределения по опытным данным требует большого объема статистического материала, часто очень большого. В таких случаях задачу нахождения функции распределения упрощают и пытаются дать ответ на вопрос – верно ли, что исследуемая случайная величина распределена по тому или иному конкретному закону распределения.

Разумеется, нельзя рассчитывать на категорический ответ: речь идет о том, насколько опытные данные согласуются или находятся в противоречии с гипотезой о распределении. Это также требует значительного объема статистического материала. Однако, известны многие прикладные задачи, в которых на основе имеющихся опытных данных можно получить ответ на поставленный вопрос. Такие постановки задач носят название “статистическая проверка гипотез”.

Существуют задачи, в которых вид функции распределения исследуемой случайной величины известен, а неизвестными являются только параметры распределения. Например, из общих соображений иногда бывает ясно, что изучаемая случайная величина имеет нормальное распределение, в этом случае для полного описания закона распределения нужно вычислить (точнее

– оценить) математическое ожидание и дисперсию.

Наконец, сравнительно простыми и в тоже время важными в практическом отношении являются задачи оценки характеристик распределения – в основном математического ожидания и дисперсии. Рассматривают оценки характеристик распределения двух видов: точечную и интервальную.

Точечная оценка является довольно грубой – ее смысл, что исследуемая характеристика приближенно равна вычисленному значению.

Интервальная оценка содержит больше информации, ее смысл состоит в том, что исследуемая характеристика принадлежит найденному интервалу с определенной (т.е. вычисленной в результате исследования) вероятностью.