11
m =1, n = C496 = |
49! |
|
= |
49 48 47 46 45 44 |
=13983816 , |
|
6! 43! |
6 5 4 3 2 1 |
|||||
|
|
|
||||
P( A) ≈ 7,1 10−8 .
Пример 16.
Набирая номер телефона, абонент забыл последние 2 цифры из 6 и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
Решение.
P( A) = mn .
m =1 |
, n = A9 |
=10 9 = 90 , |
P = |
1 |
. |
|
|||||
|
10 |
|
90 |
|
|
|
|
|
|
||
§ 2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Определение. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.
Например, если производится по мишени 2 выстрела и событие A – попадание при первом выстреле в мишень, B – попадание при втором выстреле, то A + B – событие, заключающееся хотя бы в одном попадании при 2-х выстрелах.
Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
P( A + B) = P( A) + P(B) .
Доказательство. Пусть
n – общее число возможных элементарных исходов испытания, m1 – число элементарных исходов, благоприятных событию A ,
m2 – число элементарных исходов, благоприятных событию B .
Тогда число благоприятных элементарных исходов для события A + B будет равно m1 + m2 .
P( A + B) = m1 + m2 |
= m1 |
+ m2 |
= P( A) + P(B) . |
|
n |
n |
n |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Следствие 1. Вероятность суммы произвольного числа n попарно несовместных событий равно сумме вероятностей этих событий:
n |
|
n |
P ∑Ai |
= ∑P(Ai ). |
|
i =1 |
|
i =1 |
12
Следствие 2. Сумма вероятностей попарно несовместных событий A1 , A2 , …, An , образующих полную группу, равна 1.
Доказательство.
Теорема |
|
|
|
P( A1 ) + P( A2 ) +... + P( An ) = |
P( A1 |
+ A2 |
+... + An ) =1, т.к. |
A1 + A2 +... + An – достоверное событие.
Определение. Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.
Пример 1.
Стреляют 1 раз в мишень.
“Попадание” и “Промах” противоположные события.
Следствие 3. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
P( A) + P( A) =1.
Доказательство. Противоположные события образуют полную группу. По следствию 2 сумма их вероятностей равна 1.
Пример 2.
В урне 10 белых, 5 красных и 7 черных шаров. Наугад вынимается 1 шар. Определить вероятность того, что вынутый шар белый или черный.
Решение. I способ.
A– “вынули белый шар”
B– “вынули красный шар” попарно несовместные события C – “вынули черный шар”
Нас интересует P( A +C) |
Теорема |
P( A) + P(C) . |
|||||||
= |
|||||||||
P( A) = |
10 , |
P(C) = |
7 |
, |
P( A +C) = |
17 . |
|||
|
|||||||||
|
22 |
|
22 |
|
|
|
|
22 |
|
II способ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A , B , C образуют полную группу. |
|
|
|||||||
P( A +C) =1 − P(B) . |
|
|
|
|
|
||||
P(B) = |
5 |
|
P( A +C) =1 − |
5 |
= |
17 . |
|
||
22 |
|
22 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
22 |
|
||
13
§ 3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей
Определение. Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Пример 1.
Одновременно стреляют по мишени 2 стрелка. Если A – попадание в мишень 1-го, B – попадание 2-го, то A B состоит в том, что оба стрелка попали в мишень.
Определение. Вероятность события A , вычисленная в предположении, что событие B уже наступило, называется условной вероятностью и обозначается PB ( A) .
Пример 2.
В урне 3 белых и 2 черных шара. Из нее дважды вынимают по одному шару (не возвращая обратно). Найти вероятность появления черного шара при втором извлечении, если известно, что первый раз вынули белый шар.
Решение.
Пусть событие A – “из урны во второй раз извлекли черный шар”, событие B – “из урны в первый раз извлекли белый шар”.
Нас интересует PB ( A) .
n = 4 , m = 2 PB ( A) = 24 = 12 . (Для сравнения: с возвратом P( A) = 25 ).
Теорема 1. Вероятность произведения событий A и B равна произведению вероятности события A на условную вероятность события B , при условии, что событие A произошло, т.е.
P( A B) = P( A) PA (B) .
Доказательство.
Пусть n – общее число несовместных элементарных исходов испытания, m – число элементарных исходов, благоприятных событию A ,
k– число элементарных исходов, благоприятных событию B ,
l– число элементарных исходов, благоприятных событию A B .
P( A B) = |
|
l |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P( A) = m |
|
n |
|
l |
т.к. событие |
A произошло, а ему благо- |
|
, |
|
PA (B) = |
приятны только m исходов |
||||
|
m |
||||||
n |
|
|
|
|
т.к. событие |
A произошло, а событию |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
A B благоприятствуют только l исходов |
|
P( A) PA (B) = mn ml = nl = P( A B) .
14
Определение. Событие B называется независимым от события A , если появление события A не изменит вероятности события B , т.е.
P(B) = PA (B) .
Следствие 1. Если случайное событие B не зависит от события A , то и событие A не зависит от события B .
Доказательство.
Действительно, P( A B) = P( A) PA (B) = P( A) P(B) .
P( A B) = P(B) PB ( A) .
P ( A) = P( A B) = P( A) P(B) = P( A) ( P(B) ≠ 0). |
||||
B |
P(B) |
P(B) |
|
|
Замечание 1. |
|
|
||
Таким образом, для независимых событий теорема умноже |
- |
|||
ния имеет вид: |
|
P( A B) = P( A) P(B) . |
||
|
|
|||
Замечание 2. |
Теорему умножения можно расширить на случай n событий. |
|||
Пример 3.
Брошена монета и игральная кость. Найти вероятность совмещения событий: “появился герб” и “появилось 6 очков”.
Решение.
Событие A – “появился герб”, P( A) = 12 ;
событие B – “появилось 6 очков”, P(B) = 16 .
События A и B – независимые события P( A B) = P( A) P(B) = 121 .
Пример 4.
В двух ящиках находятся детали: в первом – 10 (из них 3 стандартных), во втором – 15 (из них 6 стандартных). Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.
Решение.
Событие A – “из первого ящика вынули стандартную деталь”, P( A) = 103 ,
событие B – “из второго ящика вынули стандартную деталь”, P(B) = 156 .
P( A B) = P( A) P(B) = 103 156 = 253 .