15

Пример 5.

В студии 3 телевизионные камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6 . Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.

Решение.

Событие A – “ в данный момент включена хотя бы одна камера”.

I способ.

Событие A1 – “1-я камера включена”,

событие A2 – “2-я камера включена”,

событие A3 – “3-я камера включена”.

P( A1 ) = P( A2 ) = P( A3 ) = p = 0,6 ; P( A1 ) = P( A2 ) = P( A3 ) = q = 0,4 .

Тогда искомая вероятность равна

P( A) = P( A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 + A1 A2 A3 +

+A1 A2 A3 + A1 A2 A3 ) = P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) +

+P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) =

= p p p + q p p + p q p + p p q + q q p + q p q + p q q = 0,936 .

II способ.

P( A1 A2 A3 ) = q q q = 0,43 = 0,064 .

P( A) =1 − P( A1 A2 A3 ) =1 −0,064 = 0,936 .

Пример 6.

Вероятность поражения цели первым стрелком при выстреле равна 0,8 , а вторым – 0,6 . Найти вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком.

Решение.

Событие A – “цель поражена только одним стрелком”, событие A1 – “в цель попал первый стрелок”, событие A2 – “в цель попал второй стрелок”.

P( A) = P( A1 A2 + A1 A2 ) = P( A1 A2 ) + P( A1 A2 ) = P( A1 ) P( A2 ) + P( A1 ) P( A2 ) = = 0,8 0,4 + 0,2 0,6 = 0,32 + 0,12 = 0,44 .

§ 4. Теорема сложения вероятностей совместных событий

Определение. Два события A и B называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

16

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме

Доказательство.

Событие A + B наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: A B , A B , A B .

Замечание. Если события A и B несовместны, то A B – невозможное событие и P( A B) = 0 . Формула (1) в этом случае принимает вид:

P( A + B) = P( A) + P(B) .

§ 5. Формула полной вероятности

Пусть событие A может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B1 , B2 , …, Bn , которые образуют полную груп-

пу. Пусть известны вероятности этих событий P(B1 ) , P(B2 ) , …, P(Bn ) и условные вероятности PB1 ( A) , PB2 ( A) , …, PBn ( A) события A . Ответ на вопрос как при этом найти вероятность события A дает следующая теорема.

Теорема. Вероятность события A , которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B1 , B2 , …, Bn , об-

разующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A :

Доказательство.

По условию, событие A может наступить, если наступит одно из несовместных событий B1 , B2 , …, Bn . Другими словами, появление события A

означает осуществление одного из несовместных событий B1 A, B2 A, …, Bn A. По теореме сложения имеем:

17

Формулу (1) называют формулой полной вероятности.

Пример.

Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом № 1 и две коробки деталей, изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна – 0,8 , а завода № 2 – 0,9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что взятая деталь стандартная.

Решение.

Событие A – “взятая деталь стандартная”;

событие B1 – “взята коробка завода № 1”, P(B1 ) = 53 ;

событие B2 – “взята коробка завода № 2”, P(B2 ) = 25 ;

PB1 ( A) = 0,8 (вероятность, что взятая деталь стандартная, при условии,

что выбрана коробка завода № 1);

PB2 ( A) = 0,9 (вероятность, что взятая деталь стандартная, при условии, что выбрана коробка завода № 2).

P( A) = P(B1 ) PB1 ( A) + P(B2 ) PB2 ( A) = 53 0,8 + 25 0,9 = 0,84 .

§ 6. Формула Бейеса

Пусть событие A может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B1 , B2 , …, Bn , образующих полную группу.

Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их обычно называют гипотезами. Вероятность появления события A при этом определяется формулой полной вероятности:

P( A) = P(B1 ) PB1 ( A) + P(B2 ) PB2 ( A) +... + P(Bn ) PBn ( A) .

Допустим, что произведено испытание, и в результате него появилось событие A . Поставим задачу определить, как изменились вероятности гипотез в связи с тем, что событие A уже наступило, т.е. будем искать условные вероятности PB1 ( A) , PB2 ( A) , …, PBn ( A) .

По теореме умножения имеем:

P( A B1 ) = P( A) PA (B1 ) = P(B1 ) PB1 ( A) .

Отсюда

Аналогично получаем:

Формула (2) называется формулой Бейеса. Она позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания (появилось событие A ).

Пример.

Вероятность для изделий некоторого производства удовлетворять стандарту равна 0,96. Предлагается упрощенная система проверки на стандартность, дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий, удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяют стандарту – с вероятностью 0,05. Найти вероятность того, что изделие, признанное при проверке удовлетворяющим стандарту, действительно стандартно.

Решение.

Событие A – “изделие признано стандартным”,

PB1 ( A) = 0,98 (изделие признано стандартным, при условии, что оно

действительно стандартно),

PB2 ( A) = 0,05 (изделие признано стандартным, при условии, что оно нестандартно).

Нас интересует вероятность PA (B1 ) . По формуле Бейеса имеем:

§ 7. Схема Бернулли

Пусть производится серия из n испытаний, в каждом из которых событие A может наступить, а может и не наступить. Пусть при этом выполнено следующее условие: вероятность p наступления события A в каждом испы-

19

тании постоянна, т.е. не зависит ни от номера испытания, ни от результатов предыдущих испытаний.

Последовательность испытаний, удовлетворяющую указанному усло-

вию, называют последовательностью независимых испытаний или схемой Бернулли. Схема Бернулли полностью определяется двумя числами: количеством испытаний n и вероятностью появления события A в одном испытании – p .

Теорема. Вероятность того, что в последовательности из n испытаний в схеме Бернулли событие A наступит ровно k раз выражается формулой:

ния независимых событий). Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из n элементов по k , т.е. Cnk . Все они несовместны. По теореме сложения имеем:

Pn (k) = pk qn −k + pk qn −k +... + pk qn −k = Cnk pk qn −k

Cnk раз

Полученную формулу называют формулой Бернулли.

Пример 1.

Найти вероятность того, что при 10-кратном бросании монеты выпадет ровно 3 герба.

Пример 2.

Найти вероятность того, что при 10-кратном бросании монеты количество гербов m окажется в пределах 2 ≤ m ≤ 8 .