Оценка параметров

При проведении практических исследований работу проводят по выборочным данным. Выборка, какой бы большой она не была, не может отождествляться с генеральной совокупностью. Кроме того, для выборочных значений не рассчитывается математическое ожидание. В выборочных исследованиях математическое ожидание совпадает со среднеарифметическим значением, однако среднеарифметическое и другие характеристики зависят от самой выборки.

Если взять другую характеристику – стандартное отклонение – то она тоже связанна с самой выборкой.

Существовали попытки оценить стандартное отклонение с помощью погрешности σ / √ n. Чем больше количество наблюдений n , тем меньше погрешность, поэтому предполагалось увеличивать выборку до бесконечности. Однако точность не увеличилась, так как стали появляться погрешности усреднения внутри самих задач и возникала проблема оценивания самих параметров.

Оценивание параметров ведется по двум направлениям:

1. нахождение точечных оценок параметров распределения;

2. нахождение интервалов оценивания параметров распределения.

Точечные оценки находятся следующим образом:

– точечная оценка среднеарифметического Z есть среднеарифметическое Ż.

– точечная оценка для дисперсии или несмещенная оценка дисперсии:

σ² = ∑ (Ż – z_i )² / (N – 1),

где N – число наблюдений;

– оценка стандартного отклонения: σ = √ σ²

В интервальных оценках определяется:

– интервальная оценка для среднеарифметического: Ż ± t_α σ / √ N, где t_α – критерий Стьюдента (t_α = 1,7 при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы n = N – 1 = 30 – 1 = 29);

– интервальная оценка для дисперсии

σ²(N – 1) / χ²_{N – 1}; _{α/ 2} ≤ σ² ≤ χ²_{N – 1; 1 – α/ 2},

где χ – критерий Пирсона.

Для данного случая

χ²_{N – 1; α/ 2} = χ²_{29; 0,25} = 45,7; χ²_{N – 1; 1 – α/ 2} = χ²_{29; 0,75} = 15,575.

Точечные и интервальные оценки рассмотренного случая приведены в табл. 3.5.

Расчеты позволяют сделать вывод о том, что несмещенная оценка дисперсии и оценка стандартного отклонения отличаются от полученных ранее дисперсий и стандартных отклонений.

Таблица 3.5

Показатели	Точечные оценки		Интервальные оценки
	для дисперсии	для стандартного отклонения	для среднеарифметического	для дисперсии
Количество перерабатываемой руды	1795,65	42,38	253,683 ± 13,152	[1139,470; 3343,422]
Содержание Ме в руде	0,01	0,10	0,58 ± 0,03	[0,006; 0,019]
Выход конц.	0,02	0,14	0,648 ± 0,45	[0,013; 0,039]
Содержание Ме в конц.	1,50	1,22	66,499 ± 0,380	[0,951; 2,791]
Содержание S в конц.	0,01	0,08	0,425 ± 0,025	[0,004; 0,012]
Извлечение	10,03	3,17	73,564 ± 0,983	[6,365; 18,677]
Содержание Ме в хвост.	0,001	0,02	0,143 ± 0,007	[0,0003; 0,001]
Содержание Ме в сульф.	0,04	0,21	0,600 ± 0,064	[0,027; 0,079]

Порядок выполнения работы

1. Изучить процедуру структурной группировки по данным табл. 1 приложения и предложенного метода.

2. Провести первичную структурную группировку для своего варианта, определенного в 1-й лабораторной работе.

3. Провести вторичную структурную группировку для своего варианта, определенного в 1-й лабораторной работе.

4. Провести оценку параметров кривых распределения на основе критериев Стьюдента и Пирсона и проанализировать полученные результаты в произвольной форме.

Контрольные вопросы

1. Как вычисляется критерий Стьюдента?

2. Что такое критерий Пирсона?

3. Что такое первичная структурная группировка?

4. Чем вторичная структурная группировка отличается от первичной?

5. Как строится интервальный ряд?

Лабораторная работа 4

Объемные группировки

Цель работы: познакомиться с построением таблиц совместимости группировок.

Построение объемной группировки

Чтобы провести объемную группировку необходимо:

1. выбрать два показателя;

2. построить для каждого из них свой интервальный ряд;

3. совместить интервальные ряды по осям О_х и О_у;

4. построить таблицу совместимости;

5. провести группировку по двум показателям одновременно, рассчитывая количество попаданий в каждую ячейку;

6. построить группировку в изометрии, причем по оси О_z откладывается количество попаданий в каждую ячейку.

В идеале объемная группировка должна быть пирамидального или платообразного типа. В этом случае сама совокупность однородна, и можно утверждать, что связь между показателями, скорее всего, имеется. Более точный ответ на этот вопрос дает двухфакторный дисперсионный анализ. Если в ходе объемной группировки появляются нули, необходимо провести вторичную группировку, уменьшая количество интервалов. Если даже после вторичной группировки будут наблюдаться нули, то существенной связи между такими показателями нет, и двухфакторный дисперсионный анализ для них проводить не надо.

Проведем несколько объемных группировок для исследуемых показателей (табл. 1 приложения).

1. Зависимость от выхода концентрата (3) и содержания металла в руде (2):

Интервальный ряд (2)/(3)	0,45–0,55	0,55–0,66	0,66–0,76	0,76–0,86	0,86–0,96
0,45–0,55	7	0	0	0	0
0,55–0,70	4	12	0	0	0
0,70–0,85	0	2	3	0	0
0,85–1,00	0	0	1	0	0
1,00–1,15	0	0	0	0	1

Поскольку в ячейках имеются нули, необходимо провести вторичную группировку, уменьшая число интервалов до 3:

Интервальный ряд	0,45–0,55	0,62–0,79	0,79–0,96
0,40–0,65	7	0	0
0,65–0,90	4	12	0
0,90–1,15	0	2	3

Нули в ячейках после проведения вторичной группировки остаются, значит, двухфакторный дисперсионный анализ не требуется.

Объемная гистограмма выхода концентрата и содержания металла в руде:

2. Зависимость от содержания металла в руде (2) и сульфате (8) (табл. 1 приложения):

Интервальный ряд (2)/(8)	0,28–0,44	0,44–0,60	0,60–0,75	0,75–0,91	0,91–1,07
0,40–0,55	0	3	2	2	0
0,55–0,70	4	4	3	3	3
0,70–0,85	2	0	3	0	0
0,85–1,00	1	0	0	0	0
1,00–1,15	0	1	0	0	0

Объемная гистограмма содержания металла в руде и сульфате:

Поскольку в ячейках есть нули, необходимо провести вторичную группировку, уменьшая число интервалов до 3:

Интервальный ряд	0,28–0,54	0,54–0,81	0,81–1,07
0,40–0,65	5	8	5
0,65–0,90	6	5	0
0,90–1,15	1	0	0

Нули в ячейках после проведения вторичной группировки остаются, значит двухфакторный дисперсионный анализ не требуется.

3. Зависимость от выхода концентрата (3) и содержания металла в сульфате (8) (табл. 1 приложения):

Интервальный ряд (3)/(8)	0,28–0,44	0,44–0,60	0,60–0,75	0,75–0,91	0,91–1,07
0,45–0,55	0	2	2	2	0
0,55–0,66	3	2	2	3	3
0,66–0,76	2	2	1	0	0
0,76–0,86	2	0	3	1	0
0,86–0,96	0	0	0	0	0

Объемная гистограмма выхода концентрата и содержания металла в сульфате:

Проводим вторичную группировку, уменьшая число интервалов до 3.

Вторичная группировка выхода концентрации и содержания металла в сульфате:

Интервальный ряд	0,28–0,54	0,54–0,81	0,81–1,07
0,45–0,62	3	7	4
0,62–0,79	5	4	1
0,79–0,96	2	2	2

Объемная гистограмма вторичной группировки выхода концентрации и содержания металла в сульфате:

Нулей после вторичной группировки в ячейках нет, следовательно, требуется проведение двухфакторного дисперсионного анализа.

4. Зависимость от содержания серы в концентрате (5) и металла в сульфате (8) (табл. 1 приложения).

Интервальный ряд (5)/(8)	0,28–0,44	0,44–0,60	0,60–0,75	0,75–0,91	0,91–1,07
0,27–0,32	0	0	0	0	0
0,32–0,38	0	0	0	0	0
0,38–0,43	0	1	0	0	0
0,43–0,49	0	0	0	0	0
0,49–0,54	0	2	2	2	0

Объемная гистограмма содержания серы в концентрате и металла в сульфате:

Поскольку в ячейках есть нули, необходимо провести вторичную группировку, уменьшая число интервалов до 3:

Интервальный ряд	0,28–0,54	0,54–0,81	0,81–1,07
0,27–0,36	0	0	0
0,36–0,45	1	0	0
0,45–0,54	0	4	2

Поскольку нули в ячейках после проведения вторичной группировки остаются, двухфакторный дисперсионный анализ не требуется.