Линейный корреляционно-регрессионный анализ

Для определения тесноты линейной связи между двумя параметрами х и у используется коэффициент корреляции r, вычисляемый по формулам

или

Если коэффициент корреляции r_ху = 1, то между параметрами х, у существует функциональная зависимость, и поэтому использовать корреляционный анализ в этом случае нельзя. Если r_ху = 0, то линейная зависимость между х и у отсутствует, но возможна нелинейная зависимость. Чем ближе коэффициент корреляции к 1, тем теснее линейная зависимость. Величина r² является коэффициентом детерминации, который показывает, какая часть изменения у описывается изменением х.

Существенность тесноты линейной зависимости можно определить, используя таблицы значений коэффициентов корреляции для различных уровней существенности (см. материалы лекций). По этим таблицам видно, что существенность коэффициента корреляции связанно с количеством наблюдений в выборке. Для приведенных в табл. 1 приложения данных количество наблюдений n = 61, и существенным будет признаваться коэффициент корреляции свыше 0,25.

Если коэффициент корреляции признается существенным, то сама линейная зависимость может быть использована в качестве производственных нормативов.

Параметры линейной формы зависимости у = а + bх, где y – теоретическое значение изучаемого показателя, находятся методом наименьших квадратов:

Рассмотрим коэффициенты корреляции для всех 8 факторов (табл. 1 приложения) х₁, х₂, …, х₈ между собой, сведенные в таблицу – матрицу парных коэффициентов корреляции (табл. 7). Эта матрица имеет треугольную форму, поскольку r_{xi, xj} = r_xj, _xi.

Таблица 7.1

	x1	x2	x 3	x4	x5	x6	x7	x8
x1	1
x2	–0,50707	1
x3	–0411010	0,957696	1
x4	–0,00520	–0,25657	–0,36028	1
x5	–0,09519	0,046817	0,014952	0,263691	1
x6	–0,18771	0,407014	0,512369	–0,26082	–0,06788	1
x7	–0,40114	0,782969	0,667539	–,08576	0,068765	–0,228719	1
x8	0,03045	–0,20181	–0,28062	0,28054	0,116644	–0,621718	0,127935	1

Нумерация первой графы означает следующее: 1 – количество перерабатываемой руды; 2 – содержание металла в руде; 3 – выход концентрата; 4 – содержание металла в концентрате; 5 – содержание серы в концентрате; 6 – извлечение; 7 – содержание металла в хвосте; 8 – содержание металла в сульфате.

При сравнении табличного коэффициента значимости, равного 0,349 4 (при N = 30, α = 0,05), с вычисленными значениями r, существенными линейные связи могут быть признаны только для 5 зависимостей из 28 возможных (табл. 1 приложения):

а) между выходом концентрата и содержанием металла в руде (2–3):

Линейная зависимость у = –0,15 + 1,38х

б) между содержанием металла в руде и извлечением(2–6):

Линейная зависимость у = 66,08 + 12,88х

в) между содержанием металла в руде и хвосте (2–7):

Линейная зависимость у = 0,04 + 0,18х

г) между содержанием выходом концентрата и извлечением (3–6):

Линейная зависимость у = 66,27 + 11,27х

д) между выходом концентрата и содержание металла в хвосте (3–7):

Линейная зависимость у = 0,07 + 0,11х

Анализируя графики можно сделать вывод, что линейная связь во всех 5 случаях существенна. Рассчитаем для них остаточную, факторную и общую дисперсии:

зависимости дисперсии	(2–3)	(2–6)	(2–7)	(3–6)	(3–7)
остаточная	0,001 7	8,090 1	0,000 2	7,150 9	0,000 3
факторная	0,02	9,70	0,000 5	9,70	0,000 5
общая	0,02	17,79	0000 7	16,85	0,000 8