Параболическая парная зависимость

Параметры параболической формы зависимости у = а₀ + bх + сх² находятся методом наименьших квадратов из системы уравнений:

Полученная парабола позволяет определить теоретическое значение у. Криволинейная зависимость должна оцениваться на существенность, для этой цели используется индекс корреляции, который является более общей мерой, чем коэффициент корреляции.

В основе определении индекса корреляции лежит понятие о трех дисперсиях – факторной, остаточной и общей:

σ_ф ² = ∑ (ỹ – у_i)²/ N; σ_ост ² = ∑ (у – у_i))²/ N; σ_общ² = σ_ф ² + σ_ост ².

Индекс корреляции соотносит факторную дисперсию с общей дисперсией:

η = √ σ_ф ² / σ_общ².

Существенность индекса корреляции оценивается с помощью критерия Стьюдента:

t_расч = η √ (n – 2) / (1 – η²).

Расчетное значение t_расч сравнивается с табличным t_табл. Если t_расч больше t_табл, то криволинейная зависимость признается существенной. Окончательный вывод о существенности дает критерий Фишера F , с помощью которого оценивается, насколько полученное уравнение адекватно описывает реальный процесс.

F_расч = η² / (1 – η²) (n – m) / (m – 1),

где m – количество факторов в исследуемом уравнении (для параболы m = 3, для гиперболы m = 2).

Если F_расч > F_табл, то полученное уравнение адекватно описывает реальную зависимость между параметрами и связь признается существенной.

Поскольку стоит задача выбора наилучшей формы парной зависимости, то параболические зависимости строятся для тех же параметров, что и для линейной зависимости (см. табл. 1 приложения):

– между выходной концентрацией и содержанием металла в руде (2–3):

у = –1,38 + 5,17 · х – 2,79 · х²

– между содержанием металла в руде и извлечением (2–6):

у = 36,5 + 103,35 · х – 66,22 · х²

– между содержанием металла в руде и содержание металла в хвосте (2 – 7):

у = 0,19 – 0,28 · х + 0,34 · х²

– между выходной концентрацией и извлечением (3–6):

у = 86,17 – 43,85 ·х + 35,94 · х²

– между выходной концентрацией и содержанием металла в хвоcте (3–7):

у = 0,22 +0,93 · х – 0,54 ·х².

Рассчитаем дисперсии для параболических зависимостей (табл. 7.2).

Таблица дисперсий и результаты оценки существенности:

зависимости дисперсии	(2–3)	(2–6)	(2–7)	(3–6)	(3–7)
остаточная	0,003 7	8,95	0,000 24	9,52	0,001
факторная	0,021 9	3,40	0,000 38	3,53	0001
общая	0,025 5	12,35	0,000 62	13,05	0001
индекс корреляции	0,93	0,52	0,78	052	0,68
Tрасч	12,91	3,26	6,61	3,22	4,94
Tтабл	1,71	1,71	1,71	1,71	1,71
Fрасч	80,34	5,12	21,09	5,00	11,76
Fтабл	2,96	2,96	2,96	2,96	2,96

Поскольку для всех зависимостей расчетное значение критерия Стьюдента t_расч > t_табл, то данные криволинейные зависимости признаются существенными. Проверка с помощью критерия Фишера также показывает, что F_расч > F_табл, т. е. что полученные уравнения адекватно описывают найденные зависимости между параметрами.