Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Vychislitelny_praktikum

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2015

Размер:

7.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 315 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>


9	P	( 0 ,0 ) (τ ,γ )		πγ(2m + 1)
	k			2
				2
10	P( 2 ,0 ) (τ ,γ )			πγ(2m + 3)
	k			2
				2
11	P( 0 ,1 ) (τ ,γ )		πγ(2m + 1)(2m + 3)
11	P( 0 ,1 ) (τ ,γ )			8(m + 1)
	k			8(m + 1)
	k

12	P( 0 ,2 ) (τ ,γ )		3πγ(2m	+ 1)(2m + 3)(2m + 5)
12	P( 0 ,2 ) (τ ,γ )		64(m + 1)(m + 2)
	k		64(m + 1)(m + 2)
	k

Отметим, что квадраты модуля частотных характеристик ортогональных фильтров m - ого порядка 1, 4 - 10 соответствуют квадрату модуля 0-ого порядка с

параметром 1 / 2

ψm

W (jω)

2 =

(4.26)

4 (1 / 4

4 + ω2 )

ψm

+ 4

ψm

ω2

а соотношение неопределенности [51]:

ω τ

0 ,и

= π .

(4.27)

Заметим, что выражения для частотных характеристик ортогональных функций записаны с учетом некоторых преобразований в более удобной форме для дальнейшего использования и применения. В частности, для ортогонального базиса СонинаЛагерра с использованием формулы геометрической прогрессии [5], а для ортогонального базиса Якоби с единичной весовой функцией с использованием чисел Стирлинга 1-ого и 2-ого рода.

Ниже, в качестве примера, приведем аналитические преобразования с использованием комбинаторных чисел Стирлинга при получении соотношения для преобразования Фурье ортогональных функций Якоби:

							α + 1
			1		k −1	c s +	2	γ − jω
Wk ,1	(jω)=		1		∏		2		,
Wk ,1	(jω)=		α + 1		∏		α + 1		,
			α + 1	γ + jω	s=0		α + 1
		c k +		γ + jω		c s +	2	γ + jω
			2				2

где

Wk ,2 (jω)= ∑k	Cks Cks++αs+α	(−1)s		1		.
				α + 1
s=0
			c s +	2	γ + jω

(4.28)

(4.29)

Выражение (4.28) необходимо проверить на сходимость с использованием соотношения:

(n − a1 )(n − a2 )...(n − ak )

−

...

−

∞

P = ∏

= ∏

(4.30)

(n − b

)(n − b

)...(n − b )

n=1

−

...

−

Необходимым условием сходимости соотношения является следующее [10]:

a1 + a2 + ... + ak − b1 − b2 − ... − bk = 0 .

(4.31)

Вид суммы ряда Wk ,2 (jω) позволяет перейти к более общей комбинаторной

схеме: работе с комбинаторными числами. Под комбинаторными числами понимают перечисления различных множеств комбинаторных объектов. Различные элементы в перечисляемом множестве могут быть неравноценны, что приводит к назначению весов, в общем случае различных, на множестве отображений и вычислению сумм этих весов на каких - либо подмножествах исходного множества. Тогда операцию нахождения таких сумм называют взвешенными перечислениями (перечисления с весами). В частном случае считающих весов, равных единице на каждом элементе - обычное перечисление - имеем дело с биномиальными коэффициентами.

Многие комбинаторные числа – частные случаи элементов обобщенного треугольника. Известно, как строится треугольник Паскаля. Число сочетаний Cnk определяют как решение разностного уравнения

Cnk = Cnk−−11 + Cnk−1 , n =

1,∞

, k =

0, n −1

(4.32)

Обобщения производят, дополняя различными способами разностное уравне-

ние. По аналогии с построением треугольника Паскаля строят обобщенный треугольник на основании рекуррентного соотношения [10]:

V( n,k ) = βn ,k −1V (n −1,k −1)+αn.kV( n −1,k ).		(4.33)
Величины αn ,k и βn ,k - весовые коэффициенты.
Vn = ∑n	V (n,k )= ∑n−1 (αn ,k + βn ,k )V (n −1,k ).	(4.34)
k =0	k =0

Однако иногда оказывается полезной и следующая интерпретация элементов обобщенного треугольника Паскаля. Полагая, что V( n,n ) ≠ 0 , n = 0,∞ зафиксируем

значение параметра n и построим нормированную последовательность элементов n - ой строки:

	V( n,0 )	,	V( n,1 )	,...,		V( n,n )	.	(4.35)

V( n,n ) V( n,n )					V( n,n )
Пусть		1
	Pn ( x ) =			∑n	V (n,k )xk ,			(4.36)

		V ( n,n ) k =0

где μn ,0 ,μn ,1 ,...,μn ,n−1 - корни многочлена Pn ( x ) , взятые с противоположным знаком.

Тогда
V( n,k )		= Bkn ,	(4.37)
	V ( n,n )

где Bkn - обобщенные числа Стирлинга 1-ого рода, строящиеся при каждом фиксиро-

ванном n на базе {μn ,m }nm−=10 .

В свою очередь, биномиальные коэффициенты получаются из (4.33) при значе-

ниях V0 = 1, αn ,k	= βn ,k	= 1; n =	1,∞	,	k =	0,n	.
Если же V0 = 1,		βn ,k = 1, а αn ,k			= μn−1 ; n =				, k =		, то имеем рекуррент-
Если же V0 = 1,		βn ,k = 1, а αn ,k			= μn−1 ; n =			1,∞	, k =	0,n	, то имеем рекуррент-
ное соотношение для обобщенных чисел Стирлинга 1-ого рода:
Bkn = Bkn−−11	+ μn−1 Bkn−1 .				(4.38)
44

Рассмотрим случай: V0

= 1, αn ,k =αn , βn ,k

= βk ; n =

, k =

1,∞

0,n

В этом случае имеем:

V( n,k ) = βkV( n −1,k −1 ) +αnV( n −1,k ).

(4.39)

Считая, что в последовательности {βk }∞n=1

все члены отличны от нуля, введем

величины:

V( n,k )

= 1, Bn =

(4.40)

β1 β2 ...βk

Тогда

αn

= 1, Bn

= Bn−1 +

Bn−1 .

k −1

После нормировки элементы каждой строки обобщенного треугольника выражаются при помощи обобщенных чисел Стирлинга 1-ого рода, построенных на базе

αn ∞βk n=1 .

Нормировку можно проводить и иными методами в зависимости от условия решаемой задачи.

			α + 1
		c s +	2	γ
Введем базу {α }k ,	α =		2		и затем построим на этой базе
Введем базу {α }k ,	α =		jω		и затем построим на этой базе
s s=0	s		jω
s s=0	s

обобщенные числа Стирлинга 1-ого рода.

Тогда в соответствии с постановкой задачи, выражениями (4.34) и (4.36), рекуррентным соотношением (4.38) будем иметь:

Bsk = Bsk−−11 +αk Bsk −1 ;

+ 1

c k +

= Bk −1

(α

− 1)= Bk −1

− 1

;

jω

α + 1

c k +

− jω

k −1

= Bs

;

jω

Bk −1 = C sC s+α

+ 1

k +s+α

c k

jω

Далее произведем формирование чисел Стирлинга на заданной базе:

(4.41)

(4.42)

(4.43)

(4.44)

Bk = C sC s+α		jω
Bk = C sC s+α		α + 1
s k k +s+α		α + 1
	c s +	γ + jω
		2

			α + 1
		c k +		γ − jω
Bk = C sC s+α			2
Bk = C sC s+α			α + 1
s	k k +s+α		α + 1
		c s +	2	γ + jω
			2

Введем следующее обозначение:

	α + 1
c k +	2	γ − jω
	2		;
	jω		;
	jω

					α +1
				c k +	γ − jω				k
Wk ,2' (jω)=CksCks++αs+α (−1)s					2			=∑Bsk xs , т. е. x = −1,
Wk ,2' (jω)=CksCks++αs+α (−1)s					α +1			=∑Bsk xs , т. е. x = −1,
					α +1				s=0
				c s +	γ + jω
где					2
где
W		+	α +	1			(jω).
W	' (jω)= c k	+	2	γ − jω W			(jω).
k ,2			2			k ,2

(4.45)

(4.46)

(4.47)

(4.48)

Введем понятия чисел Стирлинга и на их основании рассмотрим свойства этих

чисел [10].
Взаимосвязь между степенной функцией xn							и специальными полиномами вида
(x)	= x(x − 1)...(x − n + 1);						(4.49)
[x]nn	= x(x + 1)...(x + n − 1),						(4.50)
которые называются факториальными степенями и выражаются формулами:
(x)0	= [x]0 = 1;						(4.51)
(x)n	= ∑n		(−1)n−k bkn xk	;			(4.52)
	k =0
xk = ∑n		akn (x)k ;					(4.53)
	k =0
[x]n	= ∑n		bkn xk ;				(4.54)
	k =0
xn = ∑n		(− 1)n−k akn [x]k ,		n =		.	(4.55)
xn = ∑n		(− 1)n−k akn [x]k ,		n =	0,∞	.	(4.55)

k =0

Коэффициенты (−1)n−k bkn и akn - числа Стирлинга 1-ого и 2-ого рода соответственно.

Пусть An = {0,1,...,n}, n = 0,∞. Тогда анализ записанных выше формул позволяет сделать выводы:

1)число bkn , n > k - сумма всех различных произведений по n − k сомножителей, которые выбираются без повторения из множества An−1 ;

2)число akn , n > k - сумма всех различных произведений по n − k сомножителей, которые выбираются, допуская многократные повторения, из множества Ak .

Приведенные правила, по которым из элементов множества An−1 и Ak строятся

числа Стирлинга, позволяют выполнить аналогичные построения из элементов различных последовательностей (даже не обязательно числовых). Возьмем последова-

тельность элементов некоторого кольца {μi }i∞=0 - базу. С применением членов базы строят разложения:

∏k −1 (x + μi )= ∑n

Bkn xk , n =

(4.56)

1,∞

i=0

k =0

∞

xk ∏

= ∑Akn xn , k

0,∞

(4.57)

(1 − μi x)

i=0

n=k

В свою очередь, коэффициенты в суммах известны:

1)Bkn − элементарные симметрические функции;

2)Akn − суммы однородных произведений.

Иначе обобщенные числа Стирлинга 1-ого и 2-ого рода соответственно. Воспользуемся выражениями (4.56) и (4.57) для построения производящей

функции B - формы распределения,						которой является следующее выражение с нор-
мированными коэффициентами [10]:
n−1	(x +αk	) = ∏−n	n
∏	(x +αk	) = ∏−n	1 ∑Bkn xk , αk			> 0 ,	(4.58)
k =0	(1 +αk	)	k =0
Таким образом					);
	k	k −1
∏k−1 ∑Bsk xs = ∏(x +αs							(4.59)
	s=0	s=0	(1 +αs		)
k		k −1	(x +αs	).
∑Bsk xs =		∏k ∏	(x +αs	).			(4.60)
s=0		s=0	(1 +αs	)

С учетом выражений (4.47) и (4.48) запишем:

k
∑Bsk xs =Wk ,2' (jω)x=−1 ;
s=0	(αs	−1).
Wk ,2' (jω)= ∏k ∏k −1	(αs	−1).
s=0	(αs	+ 1)

Соотношения (4.61) и (4.62) позволяют записать результат в виде:

α+1

c s +

α+1

−1

jω

α+1

c k +

γ − jω

(jω)=

∏

;

c k +

γ − jω Wk,2

k−1

α+1

s=0

α+1

c k +

γ + jω

c s +

jω

(4.61)

(4.62)

(4.63)

						α + 1
			1	k −1	c s +	2	γ − jω
Wk ,2	(jω)=			∏				.	(4.64)
			α + 1			α + 1
				s=0
		c k +	γ + jω		c s +	2	γ + jω
			2

4.2.Задание на самостоятельную работу

1.Для заданных систем ортогональных функций для m =0 − 4 и α = const построить частотные характеристики и их составляющие: вещественную, мнимую, модуль и фазу, например, для моделей 1, 4 - 10 - соответствующие выражениям (4.4) - (4.8).

2.Для заданных систем ортогональных функций и α / γ = const построить

Wm* ( jω ) 2 = f1 (m / α) для m = 0 − 4 .

3. Для заданных систем ортогональных функций и m = const построить

Wm* ( jω ) 2 = f2 (/ α / m).

4.Построить зависимость полосы пропускания ортогонального фильтра k - ого порядка от параметра масштаба.

5.Оформить отчет.

4.3.Содержание отчета

1.Цель работы.

2.Задание.

3.Исходный текст программы, написанной в MathCad.

4.Результаты выполнения работы в мат. пакете MathCad.

5.Графические зависимости Wm* ( jω ) 2 = f1 (m / α) для m = 0 − 4 .

6.Графические зависимости Wm* ( jω ) 2 = f2 (/ α / m).

7.Графические зависимости полосы пропускания ортогонального фильтра k - ого порядка от параметра масштаба.

8.Выводы.

Пример выполнения вычислительного практикума 4 приведен в Приложении 9.

4.4.Контрольные вопросы

1.Поясните физический смысл полосы пропускания ортогонального

фильтра?

2.Для какой ортогональной системы функций полоса пропускания не зависит от порядка функций?

3.Что такое соотношение неопределенности для ортогонального фильтра?

4.Как определить порядок ортогональной функции по виду вещественной частотной характеристики?

5.Чем различаются частотные характеристики ортогональных функций и ортогонального фильтра? В чем их физический смысл?

5. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ

Цель работы: изучение методов и приобретение практических навыков при аппроксимации корреляционных функций случайных процессов ортогональными функциями.

5.1.Теоретические основы вычислительного практикума

5.1.1.Основные понятия и определения

Важной частью статистического анализа является корреляционный анализ. Знание корреляционных функций позволяет решать задачи идентификации динамических систем, выбирать оптимальный интервал дискретизации исследуемого процесса, оценивать погрешности средств измерений, строить корреляционные приёмни-

ки и т.д.[21, 51].

Корреляционная функция представляет собой корреляционный момент ее значений при двух значениях аргумента t и t′, рассматриваемый как функция [48, 49]:

Kx (t, t')= M		o	o		,	(5.1)
Kx (t, t')= M		x(t) x(t		′)	,	(5.1)

o		(t), а	mx (t) – математическое ожидание случайного процесса в се-
где x(t)	= x(t) − mx	(t), а	mx (t) – математическое ожидание случайного процесса в се-

чении t.

Корреляционная функция характеризует степень линейной связи между сечениями процесса.

Часто вместо корреляционной функции для характеристики связи между сечениями процесса используют нормированную корреляционную функцию, которая представляет собой коэффициент корреляции значений процесса при двух значениях аргумента:

ρx	(t, t′) =	Kx (t, t′)		.	(5.2)
		Dx	(t) Dx
				(t′)

Для стационарно связанных (стационарных) случайных процессов корреляционная функция зависит лишь от разности аргументов и является четной функцией

[48]:	Kx (τ) = Kx (−τ) , τ = t − t′.				(5.3)

Это свойство позволяет определять одну ветвь корреляционной функции, т.е.
только во временном интервале [0,∞).
Нормированная корреляционная функция для стационарных процессов, в соот-
ветствии с выражением (5.2), равна:
	ρx (τ) =		Kx (τ)	.	(5.4)

			Kx (0)
Отсюда видно, что
	ρx (τ )	≤ 1.			(5.5)

Типовые модели нормированных корреляционных функций, широко приме-
няемых в приложениях, приведены в таблице 5.1 ( λi = 1 и ω0 ,i					= 5 ), а их классифика-

ция – на рис. 5.1 [21]. Обратите внимание на разную длительность корреляционных функций при одном и том же значении параметра затухания λi .

Типовые модели корреляционных функций

Таблица 5.1

Вид модели

)

Нормированная

№

ρx (τ,λi ,ω0,i

Случайный процесс

корреляционная функция

e−λ1

e−λ2

(1 + λ2

)

e−λ3

(1 − λ3

)

−λ

λ2τ 2

1 + λ4

e−λ5

cos(ω

τ )

0,5

−λ

sin(ω0 ,6

ω0 ,6

−λ

sin(ω0 ,7

ω0 ,7

Корреляционные функции

	Монотонные			Колебательные
	Монотонные			Колебательные

	Дифференцируемые			Недифференцируемые
	Дифференцируемые			Недифференцируемые

Рисунок 5.1 - Классификация корреляционных функций

Из анализа моделей видно, что все корреляционные функции можно разбить на два класса: монотонные (1-2) и колебательные (3-7).

Из графиков видно, что в ряде случаев (модели 1, 3, 5, 7) в «нуле» производная корреляционных функций при подходе к нулю слева и справа определяется неоднозначно, т. е. K ′(τ − 0)≠ K ′(τ + 0). Такие случайные процессы относятся к классу не-

дифференцируемых процессов. Случайный процесс называется дифференцируемым, если производная корреляционной функции в «нуле» непрерывна (см. модели 2, 4, 6).

Отметим, что корреляционная функция n-ой производной стационарного слу-

чайного процесса определяется выражением:
Kx( n ) (τ )= (−1)n Kx ( 2 n ) (τ ).	(5.6)

Отсюда видно, что все производные дифференцируемых стационарных случайных процессов являются стационарными случайными процессами [48].

Таким образом, корреляционные функции стационарных случайных процессов можно разделить на четыре класса:

1.монотонные недифференцируемые (модели 1);

2.монотонные дифференцируемые (модели 2, 4);

3.колебательные недифференцируемые (модели 3, 5, 7);

4.колебательные дифференцируемые (модели 6).

ρyx (τ )

ρxy (τ )

Такое разделение стационарных случайных процессов по виду корреляционной функции оказывается полезным при решении самых разнообразных задач, например, аппроксимации корреляционных функций, полученных экспериментально, параметрическими моделями [22, 23].

Взаимной корреляционной функцией двух случайных функций x(t) и y(t) на-

зывается неслучайная функция двух аргументов t и t' , которая при каждой паре значений t и t' равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции x(t) и случайной функции y(t):

	o	o
Kxy	(t,t')= M x(t)y(t') .		(5.7)

Если взаимная корреляционная функция не тождественно равна нулю, случайные процессы называются коррелированными, в противном случае они называются некоррелированными.

Следует отметить, что при одновременной перестановке аргументов и индексов

взаимная корреляционная функция не изменяется:
Kxy (t,t' )= K yx (t′,t).	(5.8)

аргумента:		Kxy	(t,t′)
ρxy	(t,t' )=			(5.9)
			.
	Dx	( t ) Dy ( t′)

Для стационарно связанных (стационарных) случайных процессов [48] корреляционная функция зависит лишь от разности аргументов τ = t − t' .

Нормированная корреляционная функция, в соответствии с выражением (5.25),


равна:
	ρxy (τ )=		Kxy (τ )	.	(5.10)

		σx σ y
Отсюда видно, что
	ρxy (τ )	≤ 1.			(5.11)

Из свойства взаимной корреляционной функции следует, что две взаимные корреляционные функции двух стационарно связанных случайных функций x(t) и y(t),

Рисунок 5.2 - Взаимные корреляционные функции

взятых в различных порядках,
связаны соотношением
ρxy (τ )= ρyx (−τ ).	(5.12)
Графически это означает,
что кривая ρyx (τ )	является

зеркальным отражением кривой ρxy (τ ) относительно оси

ординат (рис. 5.2).

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 315 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.09.20192.26 Mб8Vse_lektsii_po_assembleru.docx
#
16.03.2015131.26 Кб56Vse_otvety.docx
#
16.03.2015417.28 Кб166vse_voprosy.doc
#
09.11.2019638.46 Кб13Vvedenie_v_logiku_i_teoriyu_avtomatov.doc
#
16.03.2015280.47 Кб11VVT_KursovoyPrimer.pdf
#
16.03.20157.27 Mб12Vychislitelny_praktikum.pdf
#
16.03.201598.3 Кб12wop_int_11.doc
#
07.06.2015120.32 Кб34Word.doc
#
07.06.201574.24 Кб15XVIII век.doc
#
07.06.201540.68 Кб25ya.docx
#
07.06.2015337.57 Кб157yagudina_ot_istoria_testi.pdf