Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Vychislitelny_praktikum

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2015

Размер:

7.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 314 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСИМАЛЬНОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ И ИНТЕРВАЛА ДИСКРЕТИЗАЦИИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Цель работы: изучение методов и приобретение навыков в определении максимальной длительности и интервала дискретизации ортогональных функций.

3.1. Теоретические основы вычислительного практикума

	Длительность ортогональной функции k-ого порядка τk max определяется в ре-
зультате решения уравнения [15]:
		ψk (τ >τk max ,α / γ )	≤ ,	(3.1)

где		– заданная погрешность,
	α / γ – параметр масштаба ортогональных функций.
	Таким образом, под длительностью ортогональной функции понимается времен-
ной интервал от начала координат до точки пересечения с линиями				или −	, после
которой функция не выходит из коридора [− , ]. На рисунке 3.1 показан пример
определения длительности ортогональной функции k - ого порядка. Также,					с задан-

ной погрешностью можно считать, что вне интервала [0,τk max ] функция тождественно равна нулю.

P(k,τ,γ)

P(k,τ,γ)+δ

P(k,τ,γ) −δ

1
0.5
			τk max		δ
					− δ
0	2	4	6	8	10
0.5
1
			τ
	Рисунок 3.1 - Длительность ортогональной функции

Интервал дискретизации при линейной интерполяции с заданной погрешностью можно вычислить по формуле [21]:

t =	8δ		,	(3.2)
	ψ ''
	k	max
		max

где δ – заданная погрешность восстановления,

	ψk''	max	– максимальное по модулю значение второй производной соответствую-


щей функции.
Число интервалов дискретизации:
			τ
				k max
	n = ent				+ 0,5 ,	(3.3)
				t
где ent[
			] – целая часть от числа,

τk max –максимальная длительность ортогональной функции k-ого порядка,

t– интервал дискретизации.

3.2.Задание на самостоятельную работу

1.Задать вид ортогональной функции.

2.Задать порядок ортогональной функции.

3.Задать значение параметра масштаба.

4.Задать погрешность приближения δ = 0,02; 0,05; 0,1.

5.Построить график ортогональной функции.

6.На основании графика приблизительно определить интервал, внутри ко-

торого находится значение τk max для данной функции и заданном значении погрешности приближения.

7.Получить на основании общей формулы ортогональных функции частные формулы функции, ее первой, второй и третьей производных.

8.Вычислить максимум второй производной.

9.Вычислить интервал дискретизации для ортогональной функции.

10.Определить максимальную длительность ортогональной функции.

11.Вычислить количество интервалов дискретизации.

12.Занести все полученные значения (максимум второй производной, длительность функции, интервал дискретизации, число интервалов дискретизации) в таблицу.

13.Повторить пункты 4-12 для каждого из заданных значений погрешности приближения.

14.Повторить пункты 3-13 для каждого заданного значения параметра мас-

штаба.

15.Повторить пункты 2-14 для каждого заданного порядка ортогональных

функций.

16.Построить зависимость τk max = f1 (k / α).

17.Построить зависимость τk max = f2 (α / k ).

18.Построить зависимость t = ).f (k / α

19.Оформить отчет.

3.3. Содержание отчета

1.Цель работы.

2.Задание.

3.Исходный текст программы, написанной в MathCad.

4.Результаты выполнения работы в мат. пакете MathCad.

5.Метод и алгоритм нахождения интервала дискретизации и длительности

функции.

6.Графики заданных ортогональных функций.

7.Формулы заданных ортогональных функций и их трех первых производ-

ных.

8.Выводы.

Пример выполнения вычислительного практикума 3 приведен в Приложении 6.

3.4.Контрольные вопросы

1.Поясните физический смысл длительности ортогональной функции?

2.Какой информацией необходимо располагать для определения интервала дискретизации ортогональных функций?

3.Как изменяется длительность ортогональной функции с увеличением её

порядка?

4.Как изменяется длительность ортогональной функции с увеличением параметра масштаба?

5.Как изменяется число интервалов дискретизации с увеличением погрешности восстановления?

4. ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Цель работы: исследование частотных характеристик ортогональных функций.

4.1. Теоретические основы вычислительного практикума

Многие задачи аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа удобнее решать с использованием частотных характеристик ортогональных функций

[21, 34, 38, 45 - 47].

Рассмотрим ортогональные базисы, представленные в таблице 2.1. Найдем преобразование Фурье ортогональных функций (см. таблицу 4.1)

∞	(τ,α)e− jωτ dτ .
Wk (jω)= ∫ψk	(τ,α)e− jωτ dτ .	(4.1)
0

Из результатов, представленных в таблице 4.1, видно, что преобразование Фурье ортогональных функций 1, 4-10 (μ(τ )=1) можно представить в общем виде:

[

k (0,

)]

jω − 1 / 2

(α)

Wk (jω)=

k −1

∏

1 / 2

ψk (α)

+ jω

jω + 1 / 2

ψ s (α)

s=0

Выражение (4.2) приведем к виду

Wk (jω)=

ψk (α)

2 [ψk (0,α)]

k −1

ψ s (α)

2 ω − 1

∏

ψk (α)

ψ s (α)

ω + 1

s=0

Введем обозначения tgϕs

= 2

ψ s (α)

2 ω , ϕs

= arctg2

ψ s (α)

2 ω . Тогда

Wk (jω)

ψk (α)

2 [ψk (0,α)]k −1

jtgϕs

− 1

∏

1 + jtgϕk

jtgϕs

+ 1

s=0

ψk

(α)

k −1

= 2(− 1)

ψk (0,α)cosϕk exp −

j ϕk

+ 2∑ϕs .

Отсюда

s=0

2(−

k −1

;

ReWk (jω)=

1 )

ψk (α)

ψk (0,α)cosϕk cos ϕk

+ 2∑ϕs

s=0

2(−

k +1

k −1

;

ImWk (jω)=

ψk (α)

ψk

(0,α)cosϕk

sin ϕk

+ 2∑ϕs

W (jω)

(α)

s=0

= 2

2 cosϕ

;

k −1

ϕk + 2∑ϕs

s=0

Φk (jω)= − ϕk

+ 2∑ϕs

+ ent

+ 0,5 π .

s=0

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

(4.6)

(4.7)

(4.8)

Частотные характеристики с использованием экспоненциальных и тригонометрических функций, представленные в виде (4.4) – (4.8), удобно применять при корре- ляционно-спектральном анализе [15].

Примеры частотных характеристик исследуемых ортогональных функций различных порядков, соответствующие таблице 4.1 и формуле (4.4) представлены в Приложении 7.

Преобразование Фурье ортогональных функций

Таблица 4.1

№

Ортогональные

Wk (jω)

функции

Lk (τ ,α)

jω −α

/ 2

jω +α

/ 2

jω +α / 2

L(1)(τ ,γ )

jω −γ / 2

k +1

1 −

jω +γ

/ 2

γ (k +1)

jω

−γ / 2

k +1

(2 )

(τ ,γ )

−1 (jω

−γ / 2)+γ(k +1)

(k +1)(k

jω +

γ / 2

+ 2)

Legk (τ ,α)

∏k −1

(2s + 1)α − jω

(2k + 1)α +

(2s + 1)α + jω

jω s=0

Dk (τ ,α)

∏ jω − (s + 1)α

k −1

jω + (k + 1)α

s=0

jω + (s + 1)α

Pk( −1 2,0 ) (τ ,γ )

∏k −1 (4s +1)γ / 2 − jω

(4k +1)γ / 2 + jω s=0

(4s +1)γ / 2 + jω

Pk( 1 2,0 ) (τ ,γ )

∏k −1 (4s + 3)γ / 2 − jω

(4k + 3)γ / 2 +

jω s=0

(4s + 3)γ / 2 + jω

Pk( 1,0 ) (τ ,γ )

∏k −1

(s + 1)γ − jω

(k + 1)γ +

(s + 1)γ + jω

jω s=0

Pk( 0 ,0 ) (τ ,γ )

∏k −1 (2s + 1)γ − jω

(2k + 1)γ +

jω s=0

(2s + 1)γ + jω

Pk( 2 ,0 ) (τ ,γ )

∏k −1 (2s + 3)γ − jω

(2k + 3)γ +

jω s=0

(2s + 3)γ + jω

( 0 ,1 ) τ γ

C sC s

(− 1)s

( , )

∑ k

k +s+1

k +

(2s + 1)γ + jω

1 s=0

( 0 ,2 ) τ γ

C s C s

(− 1)s

( ,

)

∑ k k +s+2

(k +

1)(k +

(2s

+ 1)γ + jω

2)s=0

, k = 0

Tk (τ ,γ )

γ + jω

C2sk −s (− 4)k −s

∑

, k ≠ 0

− s

(2(k − s)+ 1)γ + jω

Uk (τ ,γ )

1 ∑C2sk −s+1 (− 4)k −s

k + 1

s=0

(2(k − s)+ 1)γ + jω

Частотные характеристики ортогональных функций Сонина-Лагерра (1) и (2), как видно из таблицы 4.1, не описываются формулой (4.2). Однако, введя обозначе-

ния tgϕ = 2ω / γ , ϕ = arctg2ω / γ , также можно получить аналитические выражения

частотных характеристик с использованием экспоненциальных и тригонометрических функций.

Так для ортогональных функций Сонина-Лагерра (1):


Wk(1)(jω)=	1					(1 + (− 1)k exp[− 2(k + 1)jϕ]);
	γ (k			+ 1)
ReWk(1)(jω)=			1				(1 + (− 1)k cos[2(k + 1)ϕ]);
			γ (k		+ 1)
ImWk(1)(jω)=		1					((− 1)k +1 sin[2(k + 1)ϕ]).
		γ (k			+ 1)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

Для ортогональных функций Сонина-Лагерра (2):

(2)

exp[−(2k +3) jϕ]

exp(− jϕ) (−1)

Wk (jω)=

2cosϕ

+k +1 ;

(4.12)

γ (k +1)(k +2)

(−

(2 )

(jω)=

1) cos[(2k + 3)ϕ]

ReWk

;

(4.13)

2cosϕ

+ k + 1

γ (k + 1)(k + 2)

(−

k +1

sin[(2k + 3)ϕ]

tgϕ

(2 )

(jω)=

ImWk

−

(4.14)

2cosϕ

γ (k + 1)(k + 2)

Частотные характеристики ортогональных функций Якоби (0, 1) и Якоби (0, 2)

с учетом обозначения tgϕs =

, ϕs

= arctg

равны:

γ (2s + 1)

Wk(0 ,1)(jω)=

∑Cks Cks+s+1 (− 1)s cosϕs

exp(− jϕs );

(k + 1)γ

s=0

(2s + 1)

ReWk(0 ,1)(jω)=

∑Cks Cks+s+1 (− 1)s cos

ϕs

;

(k + 1)γ

s=0

(2s + 1)

sinϕs

;

ImWk(0 ,1)(jω)= −

∑CksCks+s+1 (− 1)s cosϕs

Wk(0 ,2 )(jω)=

(k + 1)γ

s=0

(2s + 1)

∑Cks Cks+s+2 (− 1)s

cosϕs exp(− jϕs );

(k + 1)(k + 2)γ

s=0

(2s + 1)

ReWk(0 ,2 )(jω)=

∑CksCks+s+2 (− 1)s cos

ϕs

;

(k + 1)(k + 2)γ

s=0

(2s + 1)

sinϕs .

ImWk(0 ,2 )(jω)= −

∑Cks Cks+s+2 (− 1)s

cosϕs

(k + 1)(k + 2)γ

s=0

(2s + 1)

(4.15)

(4.16)

(4.17)

(4.18)

(4.19)

(4.20)

Модули и фазы частотных характеристик ортогональных функций СонинаЛагерра (1) и (2), Якоби (0, 1) и Якоби (0, 2) определяются следующими общими выражениями:

	W	(jω)	= ReW (i / 0 ,i )		(jω)2	+ ImW (i / 0 ,i )(jω)2		;

	k			k			k
Φk		(jω)= arctg		ImW (i / 0 ,i )(jω)			.
				k

ReWk(i / 0 ,i )(jω)

(4.21)

(4.22)

Полученные выражения для преобразования Фурье ортогональных функций позволяют решать разнообразные задачи аппроксимативного анализа случайных процессов. Так, например, из выражения (4.1) можно найти выражение для определения длительности ортогональных функций (см. таблицу 4.2), необходимые для оценки интервала корреляции [21].

∞

(τ ,α)dτ =Wk (0,α).

τk(

2,и) = ∫ψk

(4.23)

Длительность ортогональных функций

Таблица 4.2

№

Ортогональные

τk(2,и)

функции

Lk (τ ,α)

2(−1)k

L(1)(τ ,γ )

(k +1)mod 2

L(2 )(τ ,γ )

4 (k + 2)div 2

(k +1)(k + 2)

Legk (τ ,γ )

α(2k +1)

Dk (τ ,γ )

(−1)k

α(k

+1)

P( −1 2,0 ) (τ ,γ )

γ (4k

+ 1)

P( 1 2,0 ) (τ ,γ )

γ (4k

+ 3)

P( 1,0 ) (τ ,γ )

γ (k

+1)

P( 0 ,0 ) (τ ,γ )

γ (2k

+ 1)

P( 2 ,0 ) (τ ,γ )

γ (2k

+ 3)

P( 0 ,1 )

(τ ,γ )

(k + 1)mod 2

( k + 1 )2 γ

P( 0 ,2 )

(τ ,γ )

4(− 1)k [(k + 2)div2]2

( k + 1 )2 ( k + 2 )2 γ

Введем понятие полосы пропускания линейной динамической системы [21]:

ωс

∞∫

Wm* ( jω )

2 dω

(4.24)

W *

( jω )

max

∞

W * (jω)=

(τ ,α)μ(τ )e− jωτ dτ

где

ψm

2 ∫

– частотная характеристика семейства ор-

тогональных фильтров (см. таблицу 4.3);

Wm* ( jω ) =Wm* ( jω ) Wm* ( − jω ) – квадрат модуля частотной характеристики

семейства ортогональных фильтров.

Вид частотных характеристик ортогональных фильтров приведен в Приложе-

нии 8.

Следует отметить, что для ортогональных функций 1, 4 - 10 μ(τ )= 1 и

W * (jω)=	1			W	(jω)
W * (jω)=				W	(jω)
m		ψm	2	m		.	(4.25)

Графически полоса пропускания показана на рисунке 4.1.

Wm* ( jω)	2	Wm* ( jω )	2
Wm* ( jω)	2	Wm* ( jω )	2
			max

∆ωс ω

Рисунок 4.1 - Полоса пропускания линейной динамической системы

Частотные характеристики ортогональных фильтров

Таблица 4.3

№

Ортогональные

W *

(jω)

функции

Lk (τ ,α)

jω −α / 2

jω +α / 2

L(1)(τ ,γ )

jω − γ / 2

jω + γ / 2

(jω + γ / 2)

L(2 )(τ ,γ )

jω − γ / 2

2(jω +

jω + γ / 2

γ / 2)

Legk (τ ,γ )

2α(2k + 1)

∏k −1

(2s + 1)α − jω

(2k + 1)α + jω s=0 (2s + 1)α + jω

Dk (τ ,γ )

2α(k + 1)

∏k −1

jω − (s + 1)α

jω + (k + 1)α

jω + (s + 1)α

s=0

Pk( −1 2,0 ) (τ ,γ )

(4k + 1)γ

∏k −1

(4s + 1)γ / 2 − jω

(4k

(4s + 1)γ / 2 + jω

+ 1)γ / 2 + jω s=0

Pk( 1 2,0 ) (τ ,γ )

(4k + 3)γ

∏k −1 (4s + 3)γ / 2 − jω

(4k

+ 3)γ / 2 + jω s=0

(4s + 3)γ / 2 + jω

Pk( 1,0 ) (τ ,γ )

2γ (k + 1)

∏k −1

(s + 1)γ − jω

(k + 1)γ + jω s=0 (s + 1)γ + jω

Pk( 0 ,0 ) (τ ,γ )

2γ (2k + 1)

∏k −1

(2s + 1)γ − jω

(2k + 1)γ + jω s=0 (2s + 1)γ + jω

Pk( 2 ,0 ) (τ ,γ )

2γ (2k + 3)

∏k −1

(2s + 3)γ − jω

(2k + 3)γ + jω s=0 (2s + 3)γ + jω

Pk( 0 ,1 ) (τ ,γ )

8γ 2 (k + 1)3

∏k −1 (2s + 1)γ − jω

[(2k + 1)γ + jω][(2k + 3)γ +

jω]s=0 (2s + 1)γ + jω

Pk( 0 ,2 ) (τ ,γ )

4γ3 (2k +3)(k +1)2 (k +2)2

∏k−1 (2s +1)γ − jω

[(2k +1)γ + jω][(2k +3)γ + jω][(2k +5)γ + jω]s=0 (2s +1)γ + jω

Квадраты модулей частотных характеристик ортогональных фильтров и их максимумы приведены в таблице 4.4.

Квадраты модулей частотных характеристик и их максимумы Таблица 4.4

Ортого-

W * ( jω )

№

нальные

функции

max

Lk (τ ,α)

α 2

/ 4 +ω2

L(k1)(τ ,γ )

γ 4

(m +1)2

16 (m +1)2

(γ 2

/ 4 +ω2 )

L(k2 )(τ ,γ )

γ 6

(m + 1)2 (m +

2)2

16(m +1)2 (m + 2)2

4(γ 2

/ 4 + ω2 )

Legk (τ ,γ )

4(2m + 1)2 α

ω2

(2m + 1) α 2 +

Dk (τ ,γ )

4(m + 1)2 α 2

(m + 1) α 2 + ω2

P( −1 2,0 ) (τ ,γ )

(4m + 1)2 γ

+ ω2

(4m + 1) γ 2 / 4

P( 1 2,0 ) (τ ,γ )

(4m + 3)2 γ

+ω2

(4m + 3) γ 2 / 4

P( 1,0 )

(τ ,γ )

4(m + 1)2 γ

(m +

ω2

1) γ 2 +

P( 0 ,0 )

(τ ,γ )

4(2m + 1)2 γ 2

γ 2 + ω2

(2m + 1)

P( 2 ,0 )

(τ ,γ )

4(2m + 3)2 γ 2

(2m + 3)

γ 2 + ω2

P( 0 ,1 )

(τ ,γ )

64(m +1)6 γ 4

64(m+1)6

[(2m + 1)2 γ 2 +ω2

][(2m + 3)2 γ 2 +ω2 ]

(2m+1)2 (2m+3)2

P( 0 ,2 ) (τ ,γ )

16(2m+3)2 (m+1)4 (m+2)4 γ6

16(m+1)4 (m+2)4

[(2m 1)

][(2m 3)

][(2m 5)

]

(2m

+1)2 (2m

+5)2

γ2 +ω2

2 γ2 +ω2

γ2

+ω2

Значения полосы пропускания линейной динамической системы для различных ортогональных функций приведены в таблице 4.5.

	Значения полосы пропускания линейной динамической системы
			Таблица 4.5
№	Ортогональные		ωс
№	функции
	функции
1	Lk (τ ,α)		πα
1	Lk (τ ,α)		4
			4
2	L(1)	(τ ,γ )	πγ
2	L(1)	(τ ,γ )
	k		8
			8
3	L(2 )	(τ ,γ )	3πγ
	k		32
			32
4	Legk (τ ,γ )		πα(2m + 1)
4	Legk (τ ,γ )		2
			2
5	Dk (τ ,γ )		πα(m + 1)
5	Dk (τ ,γ )		2
			2
6	P( −1 2,0 ) (τ ,γ )		πγ(4m + 1)
	k		4
			4
7	P( 1 2,0 ) (τ ,γ )		πγ(4m + 3)
	k		4
			4
8	P( 1,0 ) (τ ,γ )		πγ(m + 1)
	k		2
			2

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 314 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.09.20192.26 Mб8Vse_lektsii_po_assembleru.docx
#
16.03.2015131.26 Кб56Vse_otvety.docx
#
16.03.2015417.28 Кб165vse_voprosy.doc
#
09.11.2019638.46 Кб13Vvedenie_v_logiku_i_teoriyu_avtomatov.doc
#
16.03.2015280.47 Кб11VVT_KursovoyPrimer.pdf
#
16.03.20157.27 Mб12Vychislitelny_praktikum.pdf
#
16.03.201598.3 Кб12wop_int_11.doc
#
07.06.2015120.32 Кб34Word.doc
#
07.06.201574.24 Кб15XVIII век.doc
#
07.06.201540.68 Кб25ya.docx
#
07.06.2015337.57 Кб157yagudina_ot_istoria_testi.pdf