Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Vychislitelny_praktikum

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2015

Размер:

7.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3117 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

NormMP

3.2. Определить значение нормы ортогональных полиномов k - ого порядка, используя выражение, приведенное в таблице 1.2. Результат представить в виде вектора значений.

2 NormPTi := i + 1

NormPTi =

0.667

0.5

0.4

0.333

4. Проверить выполняемость 1 - ого условия ортогональности.

m := 0.. 15

⌠b

Norm(m,n) := P(m,x) P(n ,x) μ(x) dx

⌡a

163

Norm(m,16) =

1.768·10-6

-1.285·10-6

6.731·10-7

5.008·10-8

3.222·10-7

-1.308·10-7

-4.025·10-7

7.898·10-7

-9.839·10-7

9.833·10-7

-8.235·10-7

5.652·10-7

-2.808·10-7

3.314·10-8

-1.771·10-7

2.112·10-7

0.25
0.219
Norm(m,9) 0.188
Norm(m,15)0.156
Norm(m,16)0.125
Norm(m,19)0.094
0.063
0.031
0	0	2.5	5	7.5	10	12.5	15
				m
1 - ое условие ортогональности выполнено

5. Проверить выполняемость 2 - ого условия ортогональности.

x := 0	j := 1.. 25
f (j ,x) := P(j ,x)
solution j	:= root (f (j ,x) ,x)

solution j =

-0.333

0.29

-0.181

0.167

-0.124

0.117

-0.094

0.09

-0.076

0.073

-0.064

0.062

-0.055

0.053

-0.048

...

0.4
0.2
solutionj	10	20
	10	20
− 0.2
− 0.4
		j
2 - ое условие ортогональности выполнено

164

Приложение 3

ВИД ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 0 – 5 ПОРЯДКОВ

Лагерра

Сонина-Лагерра (1)

Сонина-Лагерра (2)

Лежандра

Якоби (1, 0)

Якоби (2, 0)

165

Продолжение приложения 3

Якоби (0, 1)

Якоби (0, 2)

Якоби (-0,5, 0)

Якоби (0,5, 0)

Чебышева 1-ого рода

Чебышева 2-ого рода

Дирихле

166

Приложение 4

ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ НАД КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ КОМБИНАТОРНЫХ ЧИСЕЛ

Правила действий над коэффициентами

Таблица П 4.1

Правило 1 (снятия коэффициента)

Coef A( w )w−k −1 = Coef B( w )w−k −1 ,k = 0,1,...,

тогда и только тогда, когда

A( w ) = B( w )

Правило 2 (линейности)

α Coef A( w )w−k −1

+ β Coef B( w )w−k −1 = Coef (α A( w ) + β B( w ))w−k −1

Правило 3 (замены переменных)

Если z R , то

∞

∑z k

Coef A( w )w−k −1 = A( z )

k =0

A( w ) -

полином, а

Соотношение

остается

справедливым

и в случае,

когда

∞

z = ∑ak wk ,am

≠ 0, где m - натуральное число.

k =−m

Правило 4 (обращения)

Если

f ( w ) R0 , то

∞

Coef A( w ) f

( w )w

−k −1

′

−1

∑z

= [A( w )( f ( w )h ( w ))

]

w=g ( z )

k =0

где

h( w ) = wf −1 ( w ) ,

g( z ) R -

обратный

элемент

кольце

R к ряду

z = h( w ) R .

Правило 5 (замены переменных под знаком Coef)

Если

f ( z ) R0 , то

Coef ( A( w ) f

( w )w

−k −1

′

−1

]

−k −1

= 0,1,...,

) = Coef [A( w )( f ( w )h ( w ))

w=g ( z )

где

h( w ) = wf −1 ( w ) ,

g( z ) R -

обратный

элемент

кольце

R к ряду

z = h( w ) R .

Правило 6 (разложения в ряд Бюрмана-Лагранжа)

Если g( w ) R,h( z ) = zf −1 ( z ) R - обратный элемент в кольце R к ряду g(w) , то

		∞
		= ∑w		k		′		k +1	( w )w	−k −1
				k		′		k +1		−k −1
B( z )	z =g ( w )				Coef B( w )h ( w ) f
		k =0				w
Правило 7 (дифференцирования)
k Coef A( w )w			−k −1			′	−k	,k = 0,1,...
k Coef A( w )w						= Coef A ( w )w		,k = 0,1,...
	w					w

167

Продолжение таблицы П 4.1

Правило 8 (интегрирования)

−k −1

−k −2

Coef A( w )w

= Coef ∫

A( w )dw w

,k = 0,1,...

k +1

Таблица М интегральных представлений чисел

Таблица П 4.2

1. Биномиальный коэффициент

Определение и интегральное представление -

M 1 = M 1 ( w )

n = 0

•

α(α −1)(α − 2)...(α − n + 1)

n = 1,2,3...

Cα

n = −1,−2,−3,...

Cαn

• Cmn

= Coef (1 + w)α w−n−1 =

∫(1 + w)α w−n−1 dw

0 < ρ < 1

2πi

=ρ

n = 0

n = 1,2,3,..., m

n!(m − n)!

n = −1,−2,−3,..., n > m

Cmn

= Coef (1 + w)m w−n−1 =

(1 + w)m w−n−1 dw

0 < ρ < ∞

2πi

∫=ρ

Зная, что Cmn

= Cmm−n

используют представление вида

Cmn

= Coef (1

+ w)m w−m+n−1 =

(1 + w)m w−m+n−1 dw

0 < ρ < ∞

2πi

∫=ρ

• C−nm

= (−1)n Cmn +n−1

n = 0,±1,±2,...

Cmn +n−1 = Coef

(1 − w)−m w−n−1

(1 − w)−m w−n−1 dw

0 < ρ < 1

2πi

∫=ρ

Зная, что Cmn +n−1

= Cmm+−n1−1 используют представление вида

Cmn +n−1 = Coef

(1 − w)−n−1 w−m

(1 − w)−n−1 w−m dw

0 < ρ < 1

(2n −1)!!

2πi

∫=ρ

−n

•

C−1 2 = 4

C2 n =

(2n)!!

C2nn

= Coef (1

− 4w)−1 2 w−n−1

(1 − 4w)−1 2 w−n−1 dw

0 < ρ < 1

2πi

w∫=ρ

168

Продолжение таблицы П 4.2

2. Коэффициенты разложения логарифмической функции - ln( 1 − w )

Определение и интегральное представление - M 2

= M 2 ( w )

n =0,

= −

ln(1−w)w

0 < ρ <1

= Coef(−ln(1−w))w

−n−1

∫=ρ

n =1,2,3,..

2πi

3. Коэффициенты разложения экспоненциальной функции - eαw

Определение и интегральное представление - M 3

= M 3 ( w )

α n

= Coef

(eαw w−n−1 )=

∫eαw w−n−1 dw

0 < ρ < ∞,

n = 0,1,2,...

2πi

=ρ

4. Числа Эйлера - En (обычные), n = 0,1,2,...

Определение и интегральное представление - M 4

= M 4 ( w )

= n!Coef ch−1 (w)w−n−1 = n!

ch−1 (w)w−n−1dw

0 < ρ < ∞

n = 0,1,2,...

2πi

∫=ρ

5. Числа Бернулли - Bn , n = 0,1,2,...

Определение и интегральное представление - M 5

= M 5 ( w )

= n!Coef (ew −1)−1 w−n =

(ew −1)−1 w−n dw

0 < ρ < ∞

n = 0,1,2...

2πi

∫=ρ

6. Числа Стирлинга 1-ого рода - s1 (m,n), n = 0,1,2,...

Определение и интегральное представление - M 6

= M 6 ( w )

(w)m = ∑∞

s1 (m,n)wn ,

s1 (0,0)= 1

n=0

s (m,n)=Coef (w)

w−n−1

Coef(ln(1+w))n w−m−1 =

(ln(1+w))n w−m−1dw 0<ρ<1

n! w

n! 2πi

∫=ρ

7. Числа Стирлинга 2-ого рода - s2 (m,n), n = 0,1,2,...

Определение и интегральное представление - M7

= M7 ( w )

wm = ∑∞

s2 (m,n)(w)n ,

s2 (0,0)= 1

n=0

s (m,n)=

Coef (ew −1)n w−m−1 =

(ew −1)n w−m−1dw

0 < ρ <∞

m =0,1,2,...

n! w

n! 2π i

∫=ρ

8. Гамма – функция - Γ(z)

Определение и интегральное представление - M 8

= M 8 ( s )

Γ(z)= ∞∫e−s s z−1 ds,

Re z > 0

Частный случай

n! = Γ(n + 1)= ∞∫e−s sn ds

n = 0,1,2,...

169

Продолжение таблицы П 4.2

9. Бета – функция - B(u,v)

Определение и интегральное представление -

M 8

= M 9 = M 9 ( t )

B(u,v)=

Γ(u)Γ(v)

= ∫1 t u −1 (1 −t)v−1 dt,

Reu > 0,Re v > 0

Γ(u + v)

Частный случай

n! m!

= B(n + 1,m + 1)= ∫1 t n (1 − t)m dt

n,m = 0,1,2,...

(n + m + 1)!

10. Обобщенные числа Стирлинга 2-ого рода - s2

(α )(m,n,k ), n = 0,1,2,...,k

Определение и интегральное представление - M 10

= M 10 ( w )

(α )

αw (ekw −1)n

m! 1

αw

−m−1

(m,n,k )=

Coef e

−1)

< ρ < ∞

wm+1

n! 2π i

∫=ρ

11. Обобщенные числа Бернулли - Bn (m ) , n = 0,1,2,...

Определение и интегральное представление - M 11 = M 11 ( w )

B (m) = n!Coef (ew −1)−m w−n+m−1 = n!

(ew −1)−m w−n+m−1dw

0 < ρ <∞

n =0,1,2,...

2π i

∫=ρ

12. Числа Эйлера - En (m ) m – ого порядка, n = 0,1,2,...

Определение и интегральное представление - M12 = M12 (w)

En (m) = n!Coef (chw)−m w−n−1 = n!

(chw)−m w−n−1dw

0 < ρ < ∞

n = 0,1,2,...

2πi

∫=ρ

13. Обобщенные числа Эйлера -

A(n,k ), n = 0,1,2,...

Определение и интегральное представление - M13

= M13 (w, z)

A(n,k )= n!Coef

(z −1)n+1 dw dz

0 < ρ1 < ∞,0 < ρ2

< 1

n,k = 0,1,2,...

(ze−w −1)wn+1 z k +1

w,z

170

Приложение 5

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ПРАКТИКУМ 2. «ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ»

Цель работы: исследование свойств ортогональных функций и определение их основных характеристик.

1. Получение ортогональных функций k-ого порядка:

1.1. Получить ортогональные функции из ортогональных полиномов k-ого порядка путем введения соответствующей замены. Найти аналитические выражения и графики для первых шести порядков:

(k + s + 1)! x − 1 s

P1(k ,x) := ∑

k! (s + 1)!

μ(x) := 1

− x

(k − s)! s!

s = 0

x(τ ,γ ) := 1 − 2e− γ τ

x(τ ,γ ) → 2 γ e− γ τ

μ(τ ,γ ) := 1 − x(τ ,γ )

dτ

(k + s + 1)! x(τ ,γ ) − 1 s

x(τ ,γ )

μ(τ ,γ )

dτ

P1(k ,τ ,γ ) := ∑

− s)! s! k! (s + 1)!

2γ

s = 0

γ := 1

P1(0,τ ,γ ) simplify → e− τ

P1(1,τ ,γ ) simplify → 2 e− τ − 3 e− 2 τ

P1(2,τ ,γ ) simplify → 3 e− τ − 12 e− 2 τ + 10 e− 3 τ

P1(3,τ ,γ ) simplify → 4 e− τ − 30 e− 2 τ + 60 e− 3 τ − 35 e− 4 τ

171

P1(4,τ ,γ ) simplify		→ 5 e− τ		− 60 e− 2 τ + 210 e− 3 τ					− 280 e− 4 τ + 126 e− 5 τ
P1(5,τ ,γ ) simplify		→ 6 e− τ		− 105 e− 2 τ + 560 e− 3 τ					− 1260 e− 4 τ + 1260 e− 5 τ		− 462 e− 6 τ
	1
P1(0,τ ,γ )	0.5
P1(1,τ ,γ )	0.5
P1(1,τ ,γ )
P1(2,τ ,γ )
P1(3,τ ,γ ) 0
P1(4,τ ,γ )
P1(5,τ ,γ )
− 0.5
	− 10			2	4				6	8	10
							τ
1.2. Получить ортогональные функции, используя представление, приведенное в
таблице. Найти аналитические выражения и графики										для первых шести порядков:
	k		k!		(k + s + 1)!	s		− (s+1) γ τ
P(k ,τ ,γ ) := ∑		(k − s)! s!			k! (s + 1)! (−1)		e
	s = 0
	1
P(0,τ ,γ )	0.5
P(1,τ ,γ )	0.5
P(2,τ ,γ )
P(3,τ ,γ )	0
P(4,τ ,γ )
P(5,τ ,γ )
− 0.5

− 1
− 1	0	2	4	6	8	10
				τ

172

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3117 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.09.20192.26 Mб8Vse_lektsii_po_assembleru.docx
#
16.03.2015131.26 Кб56Vse_otvety.docx
#
16.03.2015417.28 Кб165vse_voprosy.doc
#
09.11.2019638.46 Кб13Vvedenie_v_logiku_i_teoriyu_avtomatov.doc
#
16.03.2015280.47 Кб11VVT_KursovoyPrimer.pdf
#
16.03.20157.27 Mб12Vychislitelny_praktikum.pdf
#
16.03.201598.3 Кб12wop_int_11.doc
#
07.06.2015120.32 Кб34Word.doc
#
07.06.201574.24 Кб15XVIII век.doc
#
07.06.201540.68 Кб25ya.docx
#
07.06.2015337.57 Кб157yagudina_ot_istoria_testi.pdf