Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Самарский национальный исследовательский университет им. ак. С.П. Королёва (бывш. СГАУ, СамГУ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Vychislitelny_praktikum

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.03.2015

Размер:

7.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

1 / 4 −

∑βk

Legk (τ,α)

2α k =0

(2k + 1)

1 ∑

k =0

2α

(2k + 1)

1 / 4

−

∑βk

(−1)

Dk (τ ,α)

2α

k =0

(k + 1)

∑

2α

k =0

(k + 1)

1 / 4

−

∑βk

(4k +

P(−12,0)(τ,γ)

k =0

1 ∑

k =0

(4k + 1)

1 / 4

−

∑βk

Pk(1 2,0)(τ,γ)

(4k +

k =0

1 ∑

k =0

(4k + 3)

1 / 4

−

∑βk

2γ

(k +

Pk( 1,0 ) (τ,γ)

k =0

1 ∑

k =0

2γ

(k + 1)

1/ 4 −

∑βk

2γ

Pk( 2,0 ) (τ,γ)

k =0

(2k + 3)

1 ∑

k =0

2γ

(2k + 3)

[(k + 1)mod 2] 2

− ∑

(k +

Pk( 0,1) (τ,γ)

k =0

4 γ

[(k + 1)mod 2]

∑

(k + 1)

k =0

−

(−1)k [(k + 2)div 2]2 2

∑

(k +

Pk( 0,2 ) (τ,γ)

k =0

1) (k + 2)

[(k + 2)div 2]4 (2k + 3)

∑

k =0

(k + 1) (k

[(k +1)mod 2] 2

−∑

(k +1)

L(k1)(τ ,γ )

k=0

γ 2

∑m

[(k +1)mod 2]

k=0

(k +1)

[(k + 2)div 2] 2

− ∑

L(k2 )(τ ,γ )

k =0

(k + 1)(k + 2)

γ 3

∑[(k + 2)div 2]

k =0

(k + 1)(k + 2)

7.2. Задание на самостоятельную работу

1. Для заданного ортогонального базиса, вида корреляционной функции, показателя колебательности μ , воспользовавшись средствами Mathcad найти выра-

жения для оценки α , коэффициентов разложения {βk }k =0 ,...m и δmin (α, m) (см. лабораторную работу 5).

2. Найти модель спектральной плотности мощности для определенных параметров нормированной корреляционной функции, проверить условие нормировки.

3. Найти модель спектральной плотности мощности для параметров {bk }k =0,...m нормированной корреляционной функции, проверить условие нормировки.

4. Для той же модели спектральной модели плотности мощности определить корректирующие коэффициенты ζk и построить ортогональную модель спек-

тральной плотности мощности. Проверить условие нормировки.

5.Оформить отчет.

7.3. Содержание отчёта

1.Цель работы.

2.Задание.

3.Исходный текст программы, написанной в MathCad.

4.Результаты выполнения работы в мат. пакете MathCad.

5.Основные соотношения.

6.Результаты расчета, представленные в графической форме.

7.Выводы.

Пример выполнения вычислительного практикума 7 приведен в Приложении

13.

7.4.Контрольные вопросы

1.Что такое условие нормировки для спектральной плотности мощности?

2.Из каких соображений определяются корректирующие коэффициенты?

3.Почему необходимо правильно выбирать интервал дискретизации спектральной плотности мощности? Каким образом?

4.Какие способы аппроксимации спектральной плотности мощности в ортогональных базисах существуют? В чем их суть?

8. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ СПЕКТРАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Цель работы: изучение методов и приобретение практических навыков при аппроксимации спектральных функций случайных процессов ортогональными функциями.

8.1. Теоретические основы вычислительного практикума

Определим спектральную функцию по аналогии с функцией распределения в

виде

Fx (ω)= ω∫Sx (ω)dω .	(8.1)
0

Спектральная функция позволяет определить мощность процесса в заданном

диапазоне частот P(ω1 ,ω2 )= Fx (ω2 )− Fx (ω1 ).

Аналитические выражения спектральной плотности мощности для типовых моделей корреляционных функций представлены в таблице 8.1.

Спектральная плотность мощности

Таблица 8.1

K x (τ )

(ω)=

∞

K x (τ )e− jωτ dτ

2π −∞∫

−α

2α

σ x e

π(α 2 +ω2 )

σ x2 e−α

(1 +α

)

2σ x2α 3

π(α 2

+ω2 )

σ x2 e−α

(1 −α

)

2σx2αω2

π(α 2

+ω2 )

−α

(1 +α

2 2

/ 3)

8σx2α5

σ x e

+α τ

3π(α 2 + ω2 )3

σ 2 e−α

Cosω τ

σ x

2π

α 2 + (ω −ω0 )

α 2 + (ω +ω0 )

−α

2σ 2α(α 2 +ω2 )

π[α

][α

]

ω0

+ (ω −ω0 )

+ (ω +ω0

)

σx e

Cosω0τ

Sinω0

−α

2σ 2αω2

−

π[α

][α

]

ω0

+ (ω −ω0 )

+ (ω +ω0

)

σx e

Cosω0τ

Sinω0

−α

(Cosω0τ + cSinω0

)

σ x2 [α(α 2 +ω2 +ω02 )+ cω0 (α 2 −ω2 +ω02 )]

σx e

π[α 2

+ (ω −ω0 )2

][α 2

+ (ω +ω0 )2

]

Более удобные выражения спектральной плотности мощности для нахождения спектральной функции (интегрирования), представлены в таблице 8.2.

Спектральные плотности мощности

Таблица 8.2

№ модели КФ

Sx (ω)

σ 2

cos2

λπ

2, 3

σx2

cos2 ϕ(1 ± cos 2ϕ)

arctg

λπ

ϕ(1

+ cos 2ϕ)+

cos2

cos3

ϕ cos 3ϕ

λπ

σ x2

(cos

ϕ1 + cos

ϕ2 )

ϕ1

= arctg

ω +ω0

2λπ

6, 7

σ 2

cos2 ϕ + cos2 ϕ

sin 2ϕ − sin 2ϕ

ϕ2

= arctg

ω −ω

2π

2ω0

Спектральные функции для типовых моделей КФ с учетом принятых обозначений представлены в таблице 8.3.

Спектральные функции

Таблица 8.3

№ модели КФ

Fx (ω)

sin 2ϕ

2, 3

ϕ ±

σ 2

2 sin 2ϕ

sin 4ϕ

ϕ +

σ x2

(ϕ

+ϕ

)

2π

σ x2

(ln

6, 7

+ϕ2

cosϕ1

−ln

cosϕ2

2π

ϕ1

ω0

)

Представив модель спектральной плотности в ортогональном базисе Лагерра в

виде [21]		2σx2 cosϕ
Sx (ω)=		2σx2 cosϕ	∑m	bk (− 1)k cos(2k + 1)ϕ ,	(8.2)
Sx (ω)=		απ	∑m	bk (− 1)k cos(2k + 1)ϕ ,	(8.2)
		απ	k =0
m
где ∑bk	= 1;

k =0

ϕ = arctg	2ω	,
ϕ = arctg	α	,
получим	α
получим			2σx2
Fx (ω)= ω∫Sx (ω)dω =			2σx2	∑m	bk (− 1)k ω∫cosϕcos(2k + 1)ϕ dω.
Fx (ω)= ω∫Sx (ω)dω =			απ	∑m	bk (− 1)k ω∫cosϕcos(2k + 1)ϕ dω.
0			απ	k =0	0

Из выражения (8.3), следует, что

ω = α2 tgϕ .

Отсюда

dω = 2cosα 2 ϕ dϕ .

(8.3)

(8.4)

Следовательно
Fx (ω)=		σx2	∑m	bk (− 1)k ϕ∫cos(2k + 1)ϕ dϕ .
		π	k =0		0	cosϕ
В соответствии с 2.539.7 [5]								ϕ, если k = 0;
ϕ	cos(2k + 1)ϕ							ϕ, если k = 0;
J = ∫	cos(2k + 1)ϕ
					dϕ =	k	k −s	sin 2sϕ	k
					dϕ =	k	k −s	sin 2sϕ	k
0		cosϕ			2∑(− 1)				+ (− 1) ϕ, если k > 0.
0		cosϕ			2∑(− 1)			2s	+ (− 1) ϕ, если k > 0.
						s=1		2s

(8.5)

(8.6)

Подставив (8.6) в (8.5), получим

Fx (ω)=	σ	2		m	k	s sin 2sϕ
	σ			m	k	s sin 2sϕ
		x	ϕ + 2∑bk ∑(− 1)			.	(8.7)
	π			k =1	s=1	2s
Отметим, что при ϕ = 0 F (ω)= 0 , а при ϕ =π / 2 F							(ω)=σ 2 .
					x	x	x

Результаты определения функции спектра для различных моделей в ортогональном базисе Лагерра приведены на рис. 8.1 (σx2 = 1).

Рисунок 8.1 - Спектральные функции для различных моделей в ортогональном базисе Лагерра

Следует отметить, что спектральную функцию для других ортогональных базисов без биномиальных коэффициентов определить невозможно. Это объясняется тем, что в отличие от ортогональных функций Лагерра у других ортогональных функций экспоненциального типа норма не постоянна, а зависит от порядка функции.

Выражения спектральной плотности мощности в ортогональных базисах Сони- на-Лагерра приведены в таблице 8.3, а соответствующие им спектральные функции – в таблице – в таблице 8.4.

Ортогональные модели спектральных плотностей мощности

в базисе Сонина-Лагерра

Таблица 8.3

№

ψk (τ ,γ )

Sx (ω)

( 1 ) τ γ

)

2σ x2 cosϕ

C k −s (− 2)s coss ϕ cos(s +1)ϕ

∑

Lk ( ,

πγ

k +1

2ω

k =0 ( k +1 ) s=0

arctg

( 2 ) τ γ

)

4σx2 cosϕ

C k −s (− 2)s coss ϕcos(s +1)ϕ

∑

Lk ( ,

πγ

k +2

k =0

( k +1)( k + 2 )s=0

Ортогональные модели спектральных функций в базисе Сонина-Лагерра

Таблица 8.4

№

ψk (τ ,γ )

Fx (ω)

L(k1 ) (τ ,γ )

ϕ + ∑

∑Ckk+−1s (− 2)

coss

ϕ sin sϕ

k +

2ω

k =1

1 s=1

arctg

L(k2 ) (τ ,γ )

ϕ +

∑

∑Ckk+−2s (− 2)

coss ϕ sin sϕ

( k + 1 )( k +

k =1

2 ) s=1

Для определения ортогональных моделей спектральной функции в ортогональных базисах Лежандра, Дирихле и Якоби воспользуемся другим представлением спектральной плотности мощности. Так как

2	m
S (ω)= σ x ∑b ReW (jω),

πk =0 k k

адля ортогональных функций Лежандра, Дирихле и Якобиa

	k	1 / 2		ψ s			2
							2

ReWk	(jω)= ∑Ak ,s								,

		1 / 4	ψ s		4	+ω		2
					4			2
	s=0
	s=0

выражения для ортогональных моделей спектральной плотности мощности представим в виде (см. таблицу 8.5). Соответствующие им модели спектральных функций представлены в таблице 8.6.

Ортогональные модели спектральных плотностей мощности

в базисах Лежандра, Дирихле, Якоби

Таблица 8.5

№

ψk (τ ,α / γ )

Sx (ω)

σ 2

α(2s + 1)

Legk (τ ,α )

∑bk ∑Cks Cks+s

( −1)s

+ω

k =0

s=0

(2s + 1)

σ 2

−

α(s + 1)

Dk (τ ,α )

∑bk

∑Cks Cks+s1+1 ( −1)k

(s + 1)

+ω

k =0

s=0

−

1 / 2 ,0 )(τ ,γ )

−

(−

γ (4s + 1)/ 2

Pk (

∑bk

∑CksCks+1s−21 2

(4s +

/ 4 + ω

k =0

s=0

(1 / 2 ,0 )

(τ ,γ )

σ x2

s+1 2

(−

γ (4s + 3)/ 2

∑bk

∑Ck Ck +s+1 2

γ 2 (4s +

k =0

s=0

3) / 4 +ω2

γ (s + 1)

Pk (1,0 )(τ ,γ )

∑bk ∑CksCks+s1+1 (−1)

+ ω

k =0

s=0

(0 ,0 )

σx2

γ (2s +1)

(τ ,γ )

∑bk ∑Ck

Ck +s (−1)

k =0

s=0

γ 2 (2s +1) +ω2

(2 ,0 )

σx2

s+2

γ (2s + 3)

(τ ,γ )

∑bk ∑Ck

Ck +s+2 (−1)

γ 2 (2s + 3)

+ω2

k =0

s=0

γ(2s +1)

(0 ,1)(τ ,γ )

∑

∑CksCks+s+1 (−1)

γ 2 (2s +1)

+ω2

k=0

(k +1)s=0

(0 ,2 )(τ ,γ )

2σ

(−

γ(2s +1)

∑

∑CksCks+s+2

+ω2

k=0

(k +1)(k +2)s=0

2 (2s +1)

σ2

∑bk

, k =0,

(τ ,γ )

k=0

σx2

k−s

(2(k −s)+1)γ

∑bk

∑

C2k−s (−4)

, k ≠0

k=0

s=0

2k −s

γ (2(k −s)+1) +ω

τ γ

)

σx2

C s

(− 4)k −s

(2(k − s)+ 1)γ

∑

Uk (

2 k −s+1

(2(k − s)

+ ω

k =0 k

1 s=0

Ортогональные модели спектральных функций

в базисах Лежандра, Дирихле и Якоби

Таблица 8.6

№

ψk (τ ,α / γ )

Fx (ω)

σ x

Legk (τ ,α )

∑bk ∑Cks Cks+s ( −1)s arctg

α(2s +1)

k =0

s=0

σ x

Dk (τ ,α )

∑bk ∑Cks Cks++s1+1

( −1)k −s arctg

α(s +1)

k =0

s=0

(−1 / 2 ,0 )

τ γ

)

σ x2

C s C s−1 2

(−1)s arctg

2ω

(

∑ k ∑

k +s−1 2

(4s +1)

k =0

s=0

(1 / 2 ,0 ) τ γ

)

σ x2

C s C s+1 2

(−1)s arctg

2ω

(

∑ k ∑

k +s+1 2

(4s + 3)

k =0

s=0

(1,0 )

τ γ

)

σ x2

C s C s+1

(−1)s arctg

∑

(

∑ k

k +s+1

(s +1)

k =0

s=0

(0 ,0 )

τ γ

)

σx2

C s C s

(− 1)s arctg

∑

(

∑ k

k +s

γ (2s + 1)

k =0

s=0

(2 ,0 ) τ γ

)

σ x2

k C s C s+2

(−1)s arctg

( ,

∑ k

∑

k k +s+2

γ (2s + 3)

k =0

s=0

( 0,1) τ γ

)

C s C s

(− 1)s arctg

∑

( ,

k k +s+1

(2s + 1)

k =0

1s=0

2 m

∑

CksCks+s+

(−1)

arctg

P( 0,2 ) (τ,γ)

2)s=0

γ (2s

+1)

π k =0 (k +1)(k +

σ2

∑bk arctg

, k =0,

Tk (τ ,γ )

k=0

C2ks −s (−4)

k−s

∑bk ∑

arctg

, k

≠0

2k −s

γ(2(k −s)+1)

k 0

s 0

Uk (τ ,γ )

σ 2

k −s

∑

∑C2sk −s+1 (− 4)

arctg

k =0

k + 1 s=0

γ (2(k − s)+ 1)

Недостатком такого представления, является то, что спектральную плотность мощности и спектральные функции нельзя определить для большого числа членов разложения ряда m .

На рис. 8.2 - приведены результаты определения спектральной функции для
ρx ,5 (τ ) в ортогональных базисах Лежандра и Дирихле (σx2							= 1).
0.5					0.5
0.42					0.42
0.33					0.33
F5(ω) 0.25					F5(ω) 0.25
0.17					0.17
0.083					0.083
0	0	3.33 6.67	10	13.3316.67 20	0	0	3.33 6.67	10	13.3316.67 20
			ω					ω

Рисунок 8.2 - Спектральные функции для ρx,5 (τ ) в ортогональных базисах Лежандра и Дирихле

8.2. Задание на самостоятельную работу

1. Для заданного ортогонального базиса, вида корреляционной функции и её параметров, воспользовавшись средствами Mathcad, найти численное значение параметра масштаба α , коэффициентов разложения {bk }k =0 ,...m (см. лабораторную работу

6).

2.Построить спектральную функцию и её ортогональную модель.

3.Найти приведенную погрешность определения спектральной функции её ортогональной моделью, построить график.

4.Оформить отчет.

100

8.3. Содержание отчёта

1.Цель работы.

2.Задание.

3.Исходный текст программы, написанной в MathCad.

4.Результаты выполнения работы в мат. пакете MathCad.

5.Основные соотношения.

6.Результаты расчета, представленные в графической форме.

7.Выводы.

Пример выполнения лабораторной работы 8 приведен в Приложении 14.

8.4.Контрольные вопросы

1.Поясните физический смысл спектральной функции.

2.Чему равно значение спектральной функции при ω → ∞?

3.Существует ли условие нормировки для спектральной функции? В чем оно выражается?

4.По аналогии с какой вероятностной характеристикой введено понятие спектральной функции?

5.По какой причине ограничено использование спектральной функции и ее ортогональной модели при решении ряда задач?

101

9. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ОБОБЩЕННЫХ КОРРЕЛЯЦИОННОСПЕКТРАЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

Цель работы: изучение методов и приобретение практических навыков при аппроксимативном анализе корреляционно-спектральных характеристик случайных процессов ортогональными функциями.

9.1. Теоретические основы вычислительного практикума

По найденной корреляционной функции возможно определение обобщенных корреляционных характеристик. К ним относятся [21, 48]:

•показатель колебательности, равный числу пересечений «нуля» корреляционной функцией и используемый при оценке интервала дискретизации случайного процесса, метрологическом анализе результатов оценивания вероятностных характеристик;

•интервалы корреляции, определяющие длительность существования корреляционной функции;

•корреляционные моменты, вводимые по аналогии с начальными моментами законов распределения и используемые, например, для идентификации процесса по виду корреляционной функции.

Обобщенные корреляционные характеристики широко применяются при решении разнообразных прикладных задач, связанных с:

•определением интервала дискретизации исследуемых процессов при цифровых методах анализа;

•идентификацией случайного процесса по виду корреляционной функ-

ции;

•метрологическим анализом результатов измерения вероятностных характеристик с целью получения оценок сверху, инвариантных к виду корреляционной функции исследуемого процесса.

Существуют различные способы определения интервалов корреляции, имеющие один и тот же физический смысл – длительность существования корреляционной функции.

Максимальный интервал корреляции τk(1) =τk max определяется в результате решения уравнения (см. таблицу 9.1):

ρ(τ ≥τk max )

≤ ,

(9.1)

где – заданное значение, принимаемое, как правило, равным 0,01; 0,02; 0,05.

То есть под максимальным интервалом корреляции понимается временной ин-

тервал от начала координат до точки пересечения с линиями	или −	[−	, после кото-
рой нормированная корреляционная функция не выходит из коридора			, ]. На ри-

сунке 9.1 поясняется, каким образом определяется максимальный интервал корреляции для колебательной модели корреляционной функции ρx (τ ,λ,ω0 )= e−λ τ cos(ω0τ )

при λ =1, ω0 = 5 , =0,05 .

102

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.09.20192.26 Mб8Vse_lektsii_po_assembleru.docx
#
16.03.2015131.26 Кб56Vse_otvety.docx
#
16.03.2015417.28 Кб166vse_voprosy.doc
#
09.11.2019638.46 Кб13Vvedenie_v_logiku_i_teoriyu_avtomatov.doc
#
16.03.2015280.47 Кб11VVT_KursovoyPrimer.pdf
#
16.03.20157.27 Mб12Vychislitelny_praktikum.pdf
#
16.03.201598.3 Кб12wop_int_11.doc
#
07.06.2015120.32 Кб34Word.doc
#
07.06.201574.24 Кб15XVIII век.doc
#
07.06.201540.68 Кб25ya.docx
#
07.06.2015337.57 Кб157yagudina_ot_istoria_testi.pdf