II способ: решение методом множителей Лагранжа.

Перепишем ограничение (2.9) в следующем виде:

. (2.12)

Запишем функцию Лагранжа как сумму целевой функции (2.8) и ограничения (2.11), умноженного на множитель Лагранжа :

.

Найдём частные производные от функции Лагранжа по неизвестным переменным и приравняем к нулю:

Отнимем из первого уравнения второе, множитель Лагранжа сократится, получим систему из двух уравнений:

Решая полученную систему, определим планы для первого и второго агентов:

Определим максимальную прибыль центра:

Определим прибыль для первого и второго агента:

2.2.2.Определение оптимального распределения ресурса для агентов

Большая часть вопросов практики приводится к задачам наибольших и наименьших величин, … и только решением этих задач мы можем удовлетворить требованиям практики, которая везде ищет самого лучшего, самого выгодного.

П.Л. Чебышев

Рассмотрим математическую постановку задачи. Фонд заработной платы каждого подразделения составляет определённый процент от прибыли, зарабатываемой этим подразделением. Поэтому в качестве целевой функцииi-го подразделения будем рассматривать максимизацию зарабатываемой прибыли:

, (2.13)

где - распределение заказа с точки зрения i-го агента.

Оптимизационная задача (2.13) - это задача на безусловный экстремум функции одной переменной. Для решения задачи продифференцируем эту функцию по и приравняем к нулю:

. (2.14)

Решая уравнение (2.13), определим оптимальный план для каждого агента:

. (2.15)

Анализируя полученные формулы (2.7) и (2.15), можно сделать вывод о противоречии между интересами центра и агента.

Пример 2.2. Оптимальное распределение ресурса для агентов

Фирма занимается производством делимого продукта. Руководство фирмы (центр) заключило договор на производство продукта количеством R=150 единиц. Этот заказ могут выполнить два подразделения фирмы (агента). Цена единицы продукции p=4000 руб. Затраты первого и второго подразделений зависят от объёма выполняемого заказа и. Фонд заработной платы каждого подразделения фирмы составляет 10% от прибыли, зарабатываемой этим подразделением.

Определить:

1. оптимальное распределение заказа между подразделениями фирмы в интересах подразделений;

2. максимальную прибыль агентов.

Решение:

Сформулируем математическую постановку задачи. Запишем целевые функции агентов:

, .

Возьмем производную от целевых функций и приравняем к нулю:

, .

Решив полученные уравнения, определим оптимальные планы для подразделений:

,

Максимальная прибыль агентов составит:

Сравнивая с прибылью подразделений при оптимальном плане центра, приходим к выводу о противоречиях в интересах центра и агентов.

2.3.Исследование приоритетных механизмов распределения ресурсов

…никогда и ничего не просите! Никогда и ничего, и в особенности у тех, кто сильнее вас. Сами предложат и сами всё дадут.

Совет Воланда Маргарите.

Булгаков М.А. МАСТЕР И МАРГАРИТА

В приоритетных механизмах распределение ресурса происходит на основе заявок агентов, с учетом приоритетов (предпочтений) центра. Каждый агент получает запрашиваемое количество ресурса, если сумма всех заявок на ресурс не превышает количество имеющегося ресурса. В противном случае ресурс между агентами делится пропорционально заявкам с учетом приоритетов. Приоритетные механизмы в общем случае описываются выражением

(2.16)

где -величина заявки i-го агента на ресурс; n – число агентов; -монотонная функция приоритета i-го агента в зависимости от его заявки. Операция минимума в данной формуле отражает простое условие: агент получает ресурс в количестве не более заявляемой величины;

-общий для всех агентов параметр, задаваемый в условии полного использования ресурса:

. (2.17)

В зависимости от вида функции можно выделить два вида приоритетов:

1. Прямой приоритет при возрастающей функции .

2. Обратный приоритет при убывающей функции .