2.2.Исследование механизмов распределения ресурсов

При изучении наук примеры полезнее правил.

Исаак Ньютон

Задача распределения ресурсов - одна из самых распространённых задач менеджера. Любой начальник обязательно что-то распределяет: финансы, работу подчинённым, сырьё, материалы, льготные путёвки в санаторий и т.д. Можно даже утверждать, что начальник является начальником только, когда он распределяет какой-то ресурс, то есть может оказывать влияние на целевые функции подчинённых.

Рассмотрим производственную фирму, состоящую из центра и n подразделений (агентов) (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Задача распределения ресурсов

В распоряжении центра имеется ресурс (заказ на производство продукции) в количестве R. Цена единицы продукции p. Затраты агентов . Коэффициентхарактеризует эффективность работыi-го агента, чем больше значение , тем меньше затраты агента при выполнении плана центра, следовательно, больше эффективность агента. Задача центра заключается в том, чтобы создать такой механизм распределения заказа между агентами, который бы максимизировал критерий эффективности – прибыль фирмы.

Будем оценивать эффективность механизма планирования как отношение целевой функции центра к её максимальному значению:

.

Для этого определим оптимальное распределение ресурсов с точки зрения центра, которое обеспечивает максимум целевой функции центра .

2.2.1.Определение оптимального распределения ресурса для центра

В мире не происходит ничего, в чём бы не был виден смысл какого-нибудь максимума или минимума.

Леонард Эйлер

В качестве целевой функции центра примем максимизацию прибыли фирмы:

. (2.1)

На распределение ресурса центром наложены следующие ограничения:

(2.2)

Оптимизационная задача (2.1)-(2.2) относится к задачам на условный экстремум. Перепишем ограничение (2.2) так, чтобы в правой части был 0:

. (2.3)

Используем для решения данной задачи метод множителей Лагранжа. Запишем функцию Лагранжа как сумму целевой функции (2.1) и ограничения (2.3), умноженного на множитель Лагранжа:

.

Найдём частные производные от функции Лагранжа по неизвестным переменным и приравняем к 0:

(2.4)

Из первого уравнения системы (2.4) следует:

. (2.5)

Подставляя (2.5) во второе уравнение системы (2.4), получаем

Откуда найдём множитель Лагранжа:

. (2.6)

Подставляя множитель Лагранжа (2.6) в (2.5), получаем оптимальный закон планирования для центра:

. (2.7)

Оптимальный план распределения заказа с точки зрения центра для i-го агента прямо пропорционален имеющемуся ресурсу R и отношению эффективности i-го агента к сумме эффективностей всех агентов.

Для нахождения максимального значения целевой функции подставим оптимальный план (2.7) в выражение для целевой функции (2.1):

.

Полученное выражение определяет максимально возможную прибыль для центра.

Пример 2.1. Оптимальное распределение ресурса для центра

Фирма занимается производством делимого продукта. Руководство фирмы (центр) заключило договор на производство продукта количеством R=150 единиц. Этот заказ могут выполнить два подразделения фирмы (агента). Цена единицы продукции p=4000 руб. Функции затрат агентов, соответственно равны и.

Определить:

1. оптимальное распределение заказа между подразделениями фирмы, в интересах центра;

2. максимальную прибыль агентов и центра.

Решение:

Сформулируем математическую постановку задачи. Запишем целевую функцию центра:

. (2.8)

Сумма планов для агентов должна быть равна заказу, полученному центром:

(2.9)

Оптимизационная задача (2.8)-(2.9) является задачей на условный экстремум. Её решение можно найти двумя способами.

I способ: решение методом подстановки.

Выразим план для второго агента из ограничения (2.9) и подставим в целевую функцию центра:

. (2.10)

Таким образом, от задачи с двумя переменными и ограничением (2.8)-(2.9) перешли к задаче с одной переменной (2.10).

Для нахождения экстремума функции одной переменной продифференцируем и приравняем к 0 выражение (2.10):

. (2.11)

Решая уравнение (2.11), получим план для первого агента:

.

Из ограничения (2.9) определим план для второго агента:

.