книги из ГПНТБ / Измайлова В.Н. Структурообразование в белковых системах
.pdfстадией образования зародышей. Аналогичные закономерности отмечались и ранее в работе Влодавца, Ребиндера и сотр. [18] при изучении образования аморфной фазы из метастабильных раство ров полимеров. Образование новой фазы в лиофильных полимер ных системах облегчено по сравнению с лиофобными тем, что меж фазное натяжение на границе сравнительно невелико, а это значи тельно снижает энергетический барьер, преодоление которого не обходимо для образования зародышей новой фазы.
В отличие от водных систем желатины, для которых объемное структурообразование можно наблюдать в широком диапазоне pH, гелеобразование в водных растворах яичного альбумина происхо дит лишь при денатурации белка в кислых и щелочных областях pH. При pH ниже 3 и выше 10 молекулы яичного альбумина, полипептидная цепь которых в нативном состоянии содержит при мерно 30% а-спиральных участков и уложена в компактную гло булу, претерпевают глубокие конформационные изменения, при водящие к потере нативных свойств молекул и к образованию не упорядоченных клубков.
лГлобулярная пространственная структура белков в значитель-
1 ной мере стабилизована гидрофобными взаимодействиями неполяр-
Iных аминокислотных остатков. Энтальпия перехода из разверну того состояния в свернутое невелика, уменьшение же энтропии при переходе развернутой полипептидной цепи в свернутое компактное состояние компенсируется выигрышем энтропии в результате сок ращения контактов неполярный остаток — вода. Процесс денату рации можно рассматривать как изменение окружения неполярных аминокислотных остатков от неводного окружения к водному. При этом резко увеличивается число контактов неполярных боковых групп с молекулами воды, что должно вызывать дополнительное структурирование воды и приводить к возрастанию свободной энергии системы. Возникновение множества случайных межмоле кулярных гидрофобных взаимодействий, осуществляющихся при столкновениях денатурированных макромолекул, приводит к сни жению свободной энергии системы. В результате протекающих при этом процессов макромолекулы белков частично теряют раст воримость и в растворах появляются агрегаты макромолекул, на копление которых обусловливает в дальнейшем возникновение прочных объемных дисперсных структур [301, 302].
Скорость процессов денатурации молекул яичного альбумина при pH, далеких от изоточки, в значительной мере зависит от тем пературы. Из измерений удельного оптического вращения было найдено, что выдерживание растворов яичного альбумина при 55° С в течение 2 час приводит к полному переходу молекул белка в бес порядочные клубки [301, 302].
При исследовании структурообразования в водных растворах яичного альбумина при 55° С обнаружено, что при концентрациях белка выше 4,5 г/100 мл временные зависимости прочности прохо дят через максимум, после достижения которого наблюдается сни
130
жение прочности. Быстро образующийся гель самопроизвольно растрескивается, что, вероятно, связано с возникновением внут ренних напряжений в системе вследствие одновременного протека ния процессов формирования каркаса трехмерной структуры и де натурации молекул яичного альбумина. Это может служить при чиной разрыва уже образовавшихся связей между агрегатами. Действительно, если образование геля происходит медленно, на пример при кислотной денатурации (при комнатной температуре), то предельная прочность возникающей структуры со временем не уменьшается.
Макромолекулы казеина и его а- и ^-фракции в основном на ходятся в конформации статистического клубка (90—98%), и лишь небольшая доля полипептидных цепей имеет конформацию а-сцирали и ^-структуры [249,282]. Гелеобразование в водных раст ворах казеина отчетливо проявляется только при больших кон центрациях белка и высоких pH. Результаты исследований зави симости оптического вращения от pH показали, что в щелочной области pH молекулы казеина находятся в наиболее развернутом состоянии, следовательно, обладают повышенной склонностью к агрегации и образованию пространственных сеток.
Индукционный период структурообразования в водных дис персиях казеина в области pH 12—13 минимален, тогда как при pH 8 прочные пространственные структуры не возникают совсем (индукционный период равен бесконечности), хотя в обоих случаях в течение некоторого времени можно наблюдать протекание конформационных изменений макромолекул и формирование агрега тов, нерастворимых в водной среде и являющихся элементами трех мерной структуры малой прочности. На второй стадии происходит дальнейшая агрегация частиц, число связей между ними увеличи вается и прочность системы достигает максимального значения (че рез 10—12 суток при pH г=г 12).
Конформационные изменения и процессы взаимодействия мак ромолекул белков, а также характер структур, образующихся при таком взаимодействии, определяются двумя основными факто рами: 1 ) специфическими свойствами макромолекул, определяе мыми линейной последовательностью аминокислотных остатков, типом спирализации и пространственной укладкой всех полипеп тидных цепей; 2 ) условиями, которые могут вызвать тот или иной из разнообразных типов изменений взаимодействий, возможных при данной внутренней структуре макромолекул. Такие изменения приводят к образованию дисперсных пространственных структур либо в связи с денатурацией (яичный альбумин, казеин), либо в связи р процессом ренатурации — образованием коллагеноподоб ных спиралей (желатина).
Сравнение результатов по кинетике образования пространствен ных структур различных белков, первоначально имеющих раз личную конформацию макромолекул в водном растворе, с резуль татами определения предельной прочности трехмерных структур
5* 131
понизило, что существуют оптимальные времена выделения новой фазы. Медленное выделение новой фазы приводит к образованию крупных частиц н в результате к малому числу контактов между частицами. Очень же быстрое выделение новой фазы приводит к образованию структур с внутренними напряжениями, которые самопроизвольно разрушаются.
Для возникновения дисперсной пространственной структуры необходима определенная критическая концентрация макромоле кул белка. Для водных растворов желатины она равна 1, для яич ного альбумина — 2, для казеина — 15 г/100 мл (при 20° С). Раз личная критическая концентрация, необходимая для образования пространственных структур в разных белках, обусловлена специ
фикой |
макромолекул (их асимметрией) и спецификой агрегатов |
|
(частиц |
новой лпофильной фазы), образующих структуру гелей. |
|
'Гак, |
соотношение полуосей молекул |
казеина равно 10—12 |
(pH ~ |
1 2 ) при молекулярном весе 30 0 0 0 |
, для макромолекул же |
латины соотношение полуосей равно 50—70 при Mw = 70 000, для яичного альбумина после денатурации соотношение полуосей -5 ? 70 при Л/ w = 35 000. При критической концентрации гелеобра-
1зования желатины также наблюдалась и наибольшая асимметрия светорассеяния, что характеризует большую асимметрию агрега тов. Существование критической концентрации при гелеобразова-
t нин белков связано с тем, что структурообразование осуществля ется лишь при достижении определенной концентрации фазовых частиц, обеспечивающей возникновение необходимого для под держания прочной объемной структуры числа контактов между та кими частицами.
Исследование кинетики гелеобразования показало, что ско рость нарастания прочности гелей тем больше, чем выше концент рация болка в системе. Эта скорость для гелей желатины наиболь шая, когда макромолекулы находятся в изоэлектричестшм. спстоянии, и уменьшается при переходе в кислую.и-щедочную область. Образование структур из водных растворов казеина наблюдается только при высоких pH (оптимум pH 12—13), а в водных раство рах яичного альбумина — при низких значениях pH (оптимум
Р Н < 3 ) .
Исследования зависимости предельного напряжения сдвига от концентрации белка в водной системе позволили обнаружить квадратичную зависимость этой механической характеристики от концентрации белка [64, 304, 305J.
Данные по измерению интенсивности рассеянного света и его дисперсии позволили проследить за развитием новой лиофильной фазы при образовании геля. На рис. 49 представлены зависимости интенсивности светорассеяния, температуры плавления и предель ного напряжения сдвига от концентрации желатины. При увели чении концентрации желатины светорассеяш:е увеличивается, а затем уменьшается (в согласии с данными Доти и Вейса). Макси мальное значение светорассеяния совпадает с концентрацией геле
132
образования zz 1 г/100 мл. Рост прочности, уменьшение светорас сеяния и повышение температуры плавления гелей при увеличении концентрации желатины дают основание предположить, что с уве личением концентрации образовавшаяся сетка геля приобретает более упорядоченную трехмерную структуру. Появление упоря доченной структуры геля с увеличением концентрации желатины подтверждается рентгенографическими исследованиями [185].
Возможность образования упорядоченных кристаллических структур в полимерных системах при высоких концентрациях была доказана экспериментально в работе Френкеля и сотр. [166] (для
Рис. 49. Зависимость пре дельного напряжения сдви га (1), температур плавле
ния (2) и интенсивности светорассеяния растворов гелей желатины в 0,15 N NaCl (3) и в 8 М растворе мочевины (4) от концентра
ции желатины при pH 4,9 и 20° С (концентрация с, г/100 мл и Рк даны в лога
рифмическом масштабе)
поли-у-1 /-бензилглютамата), где методом дифрактометрии было по казано упорядочение агрегатов в течение длительного времени (4 месяца) при неизменности конформационного состояния макромо лекул. Интенсивность светорассеяния с ростом концентрации же латины в присутствии 8 М раствора мочевины незначительно уве личивается (см. рис. 49, кривая 4), однако остается на порядок меньше соответствующей величины без мочевины. Структура в таких системах также не возникала.
Сложная зависимость интенсивности светорассеяния от кон центрации желатины (до 20 г/100 мл) наблюдается и при 40ч С, когда макромолекулы находятся в состоянии статистического клуб ка. Интенсивность светорассеяния растворов желатины при добав лении 8 М водного раствора мочевины при тех же условиях зна чительно меньше. При 40° С по мере увеличения концентрации желатины все большую роль приобретают гидрофобные взаимо действия макромолекул. Наличие гидрофобных областей в макро молекулах желатины при 40° С было показано в нашей работе [39] при исследовании солюбилизации углеводородов в этих условиях.
Сложную концентрационную зависимость светорассеяния в условиях гелеобразования, по-видимому, нельзя объяснить только изменением объемного заполнения системы и следует учитывать закономерности возникновения агрегатов, их размеры, возможные конформационные изменения макромолекул в агрегатах, специфи
133
ку взаимодействия между частицами новой фазы и их пространст венную агрегацию [145].
Так, при охлаждении растворов различной концентрации вы деляющаяся фаза имеет различную морфологическую структуру. При получении гелей из малоконцентрированных растворов жела тины агрегаты размером меньше 4500 А содержат коллагенопо добные спирали. Элементы структуры геля, возникающие в кон центрированных растворах, имеют размеры до 1 мк. В этом случае в процессе образования элементов структуры геля из макромолекул желатины большую роль играют гидрофобные взаимодействия и в
Рис. 50. Зависимость пре дельного напряжения сдви га (1, б), интенсивности све торассеяния (2, 4) и удель
ного оптического вращения (3, в) от температуры для ге ля желатины (с=2г/100 мл) (4, 5, 6) и растворов жела тины в 8 М растворе моче вины, (1, 2, 3) при pH 4, 9
процессе гелеобразования существенное значение могут иметь структурные изменения воды. Ранее было отмечено [81, 82, 306, 307], что с ростом концентрации желатины в растворе вода стано вится более «твердой» или льдоподобной. Зависимость свойств гелей желатины от концентрации также отмечалась и другими авторами по набору периодов релаксации в работе [259] и по ско рости седиментации в работах [283—285].
Сложность процесса гелеобразования и взаимообусловленность структурных организаций дисперсных систем ярко проявляются при изучении зависимости процесса структурообразования в гелях желатины от температуры.
На рис. 50 представлены зависимости светорассеяния, удель ного оптического вращения и предельного напряжения сдвига от температуры, из которых видно, что с ростом температуры одно временно происходят процессы плавления коллагеноподобных спи ралей (кривая 6), уменьшение прочности (кривая 5) в связи с раз рушением контактов между агрегатами и исчезновение частиц новой фазы (кривая 4), Интересно отметить, что при 25° С и кон центрациях желатины 1 — 2 г/ 1 0 0 мл в системе отсутствует прочная пространственная структура, однако в растворе уже обнаружи ваются агрегаты и макромолекулы желатины частично образуют коллагеноподобные спирали. Это свидетельствует о большой роли взаимодействий между частицами новой фазы, возникающими из
Пересыщенных растворов при образований прочных структур гелей желатины. При добавлении к раствору желатины 8 М водного раствора мочевины интенсивность светорассеяния (кривая 2), удельное оптическое вращение (кривая 3) и предельное напряже ние сдвига (кривая 1) не зависят от температуры. Эти результаты показывают, что при больших концентрациях мочевины в системе не образуются агрегаты, не возникают участки коллагеноподобных спиралей и не происходит гелеобразования.
Понижение температуры приводит к резкому увеличению свето рассеяния, что свидетельствует о выделении новой фазы в процессе гелеобразования. Выделившаяся новая фаза является элементом структуры прочного геля. Однако прочный гель может образовы ваться только при достаточно быстром выделении новой фазы из пересыщенного раствора, когда между возникающими частицами возможно образование контактов. Выделение фазы в равновесных условиях может и не привести к образованию прочности, как это имеет место при образовании коацерватов или тиксотропном вос становлении гелей. Сравнительно небольшая прочность тиксотроп но восстановившегося геля обусловлена гидрофобными взаимодействями между частицами.
Взаимодействие между агрегатами макромолекул белков приводит к образованию прочной пространственной структур!!. Кон такты между частицами выделяющейся "фазы могут осуществляться за счет образования водородных связей, а также вследствие гид: рофобных взаимодействий между неполярными участками макромолекул. Взаимодеиствйё~1к«зжду ионогенными группамидне двля-— ется основным в процессе гелеобразования и влияет только на ско рость гелеобразования__
Проведенные исследования позволяют предложить следующий механизм образования гелей белков. При соответствующих темпе ратурах в растворах белков совершается конформациспк^й. пере ход макромолекул. Этот процесс сопровождается образованием аг регатов макромолекул, которые являются частицами дисперсной лиофильной фазы. Накопление таких частиц приводит к возникно вению контактов между ними и появлению объемной структуры геля, характеризующейся определенными твердообразными ме ханическими свойствами.
По классификации Ребиндера [1—3], пространственно струк турированные системы можно разделить на два типа: коагуляцион ные (тиксотропно обратимые] со слабыми структурными связями и , конденсационножристадлизационные (необратимо разрушающиеся) с сильными связями. Для выяснения типа структуры, возника ющей в гелях белков, исследойалось нарастание прочности в струк туре,, разрушенной на равных этапах ее формирования.
В гелях яичного альбумина после повторных разрушений проч ность практически полностью восстанавливается во времени. Тик сотропные свойства гелей яичного альбумина подтверждались сня тием полных реологических кривых на приборе Шведова. Вязкость
135
разрушенной структуры на восемь порядков ниже неразрушенной. После снятия нагрузки система полностью тиксотропно восстанав ливалась во времени. Большой вклад гидрофобных связей в обра зование трехмерной структуры яичного альбумина, вероятно, и обусловливает тиксотропность.
Таким образом, в гелях яичного альбумина возникает слабая структуру, подобная обычным тиксотропным коагуляционным структурным сеткам, в которых частицы дисперсной фазы и агре гаты макромолекул связаны ван-дер-ваальсовыми силами. В гелях яичного альбумина коагуляционные контакты, возникающие меж ду агрегатами макромолекул, обусловлены гидрофобными взаимо действиями в системе, в результате которых происходит слипание агрегатов по их неполярным участкам в соответствии с известными представлениями о'роли структуры воды в гидрофобных взаимо действиях.
Малоконцентрированные гели желатины представляют собой смешанный тип структуры (коагуляционно-конденсационный). В малоконцентрированных гелях желатины (0,7—3 г/100 мл) при 20° С после разрушения геля наблюдается процесс нарастания прочности, но возникающая вновь пространственная структура обладает меньшей прочностью, чем у неразрушенного геля. Воз никшие таким образом слабые структуры обнаруживают при пов торных разрушениях полную тиксотропию. После разрушения системы в них развиваются структуры с той же малой прочностью. Следовательно, эти системы являются коагуляционными структу рами. Коагуляционный характер на этом этапе подтверждается полной обратимостью структуры при механическом разрушении. Для образования коагуляционной структуры белковых гелей не обходимо наличие фазовых частиц, анизометричность этих частиц, мозаичность или дифильность структурных единиц. Общие свойст ва коагуляционных структур подробно рассмотрены одним из ав торов этой книги [4, 308].
При образовании коагуляционной сетки и отдельных ее эле ментов — агрегатов или цепочек в контакте между частицами оста ется весьма тонкая и равновесная прослойка жидкой дисперсион ной среды, толщина которой соответствует минимуму свободной энергии системы. Такие относительно устойчивые прослойки могут возникать и при двух различных значениях толщины, что соответ ствует слабому коагуляционному сцеплению при большей толщине и прочному (ближнему) — при наименьшей толщине [308, 309]. Такие остаточные тонкие прослойки жидкой среды аналогичны тем, которые образуются, как это впервые показал Фрумкин [310], при возникновении краевого угла смачивания по периметру пузырька
газа (водорода), прилипающего к поверхности ртути в водных ра створах.
Именно в связи с наличием тонких устойчивых прослоек жид кой среды в участках коагуляционного сцепления, препятствую щих дальнейшему сближению частиц, коагуляционные структуры
136
обладают характерными механическими свойствами. Это — пони женная прочность (на несколько порядков более низкая, чем до статочно высокая прочность при той же степени объемного запол нения, но при непосредственных контактах между частицами), пол зучесть даже при самых малых напряжениях сдвига, структурная вязкость, а в более концентрированных дисперсиях (пастах) — явная пластичность. С наличием тонких адсорбционно-пластифи- цирующих прослоек среды в контактах между частицами связана и полная тиксотропия коагуляционных структур — их способность обратимо разрушаться при механических воздействиях, постепен-
► - ••
lg E'’lduHCM~2) 1
Рис. 51. Кинетика развития |
|
: |
упругого последействия быст |
-6 |
- |
рой и медленной высокоэласти- |
||
веских деформаций в коагуля |
„ |
|
ционных структурах с жест- |
|
|
ними частицами |
а |
|
lg Е= lg (Р/е) |
-До _ |
0 |
2 |
4 6 |
|
-6 - 4 - 2 |
lEjT/ftfA'J
но восстанавливаясь во времени до той же предельной прочности в результате броуновских соударений частиц по коагуляционным участкам. Тиксотропия коагуляционных структур позволяет уста новить для них в условиях практически однородного сдвига (на пример, в ротационных вискозиметрах с коаксиальными цилинд рами с узким зазором) полные реологические кривые зависимости эффективной вязкости от напряжения сдвига, т. е. от равновесной степени разрушения структуры в стационарном потоке. Такие кривые воспроизведены в прямом и обратном направлениях (ли шены гистерезиса) при условии, что время перехода будет доста точным для тиксотропного восстановления.
С этими особенностями коагуляционных структур связано и еще одно их замечательное свойство — способность к замедленной упругости, ярко выраженному упругому последействию, аналогич ному каучукообразной высокоэластичности. У эластомеров высокоэластичность, как это хорошо известно, связана с гибкостью мак ромолекул, с изотермическим уменьшением энтропии при выпрям лении длинной гибкой цепи молекулы и, наоборот, с увеличением энтропии при спонтанном свертывании макромолекул в клубок. Для коагуляционных же структур сдвиговая высокоэластичность наблюдается, как это установлено реологическими исследования ми, даже для совершенно жестких частиц дисперсной фазы, обра зующих пространственную сетку. Как показали Щукин и Ребиндер [311], при анализе экспериментальных данных Серб-Сербиной и Федотовой [312] высокоэластическое последействие в коагуляцион ных структурах связано с взаимной ориентацией анизометричных
137
частиц — палочек, пластинок или цепочек, образуемых изометричными частицами в направлении сдвига. Каждому значению де формации сдвига соответствует определенная степень ориентации, непрерывно возрастающая с деформацией. Если наложить на сис тему достаточно малое постоянное напряжение сдвига, не превы шающее пределы текучести, чтобы пространственная структура не испытывала остаточных разрушений, успевая тиксотропно вос станавливаться (в области практически неразрушенных струк
тур — на верхнем предельном уровне |
эффективной вязкости т] 0 |
Рис. 52. Схемы быстрой и мед |
|
ленной высокоэластических де |
|
формаций |
коагуляционных |
структур с жесткими частица |
|
ми в результате ориентации |
|
частиц при сдвиге |
по реологической кривой), то легко различить два деформацион ных процесса (рис. 51).
А. Развитие быстрой высокоэластической деформации с перио дом ретардации порядка 1 0 - 2 — 1 0 - 3 сек связано с поворотом частиц вокруг коагуляционных контактов без скольжения, лишь с уменьшением углов между осями частиц (рис. 52), что и приводит к повышенной степени ориентации, отвечающей данной деформа ции сдвига (е).
Б. Развитие медленной высокоэластической деформации с пе риодом ретардации 1 0 2 — 1 0 3 сек, вызванной не только поворотом частиц вокруг узлов контакта с уменьшением угла между ними,
но и перемещением |
этих узлов по поверхности |
одной из частиц |
в направлении сдвига (см. рис. 52). |
возникающей со |
|
Модуль истинной |
упругой деформации Е и |
скоростью звука (для обычных размеров образца уже за 1 0 -в сек), по порядку величины составляет 1 0 9 дин!см%, тогда как для завер шенной (квазиравновесной) быстроэластической деформации мо дуль Е2 имеет порядок 1 0 3 —1 0 s дин!см2, а равновесный модуль после завершения медленной высокоэластической деформации Е т еще в 2 —4 раза меньше, чем Е2. Соответствующие деформации об ратны модулям — е0/Р = IIEU eJP — 11Е2, гт!Р = 11Ет, таким образом, высокоэластические деформации коагуляционных струк тур в 103 раз и более превышают истинно упругие (см. рис. 51).
После разгрузки — удаления действующей силы происходит спонтанное восстановление недеформированного состояния во времени, исчезает быстрая, а потом и медленная высокоэластичес кая деформация. Это может быть объяснено только энтропийным характером соответствующих величин сдвиговых деформаций, а
именно: самопроизвольным возрастанием энтропии |
А |
0 , |
определяющим изотермическое уменьшение свободной |
энергии |
138
— AF = TAS при обратной дезориентации частиц, — переходе к их беспорядочному расположению в структуре сначала путем од них поворотов, а затем дальнейших взаимных поворотов частиц с относительными смещениями, т. е. перемещениями участков кон
такта вдоль поверхности частиц. |
релаксации |
Одновременно, но с гораздо большим периодом |
|
0 = Tj0 1Ет порядка часов, отвечающим предельно |
высокой эф |
фективной вязкости т] 0 порядка 1 0 8 пз, развивается истинно вязкое течение — стационарный процесс ползучести, которым вполне можно пренебречь при малых напряжениях сдвига за сравнительно короткие времена, достаточные для завершения даже медленной
высокоэластической |
деформации. |
|
|
|
|
||||
|
Изменение конфигурационной энтропии, соответствующее де |
||||||||
формации е упругого последействия, |
ASt |
= — ntkB2, где |
к = |
||||||
= |
R/N. |
При |
независимости внутренней |
энергии |
системы |
U |
|||
от |
е, |
dU/дг = |
0 и |
соответствующие |
напряжения |
сдвига |
Р |
||
составляют |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Р = |
— TdASJdz = Е те, |
|
|
|
(32) |
|||
откуда |
равновесный |
модуль высокоэластичности Е т — 2 пкТ. |
|||||||
|
Число частиц, образующих пространственную сетку, на еди |
||||||||
ницу |
объема составляет |
|
|
|
|
||||
|
пг = Ci/ 1 0 0 |
Р1 6 3, |
|
|
|
|
|
где б — эффективный диаметр частиц; р — их плотность; с* — ве совая концентрация дисперсной фазы, %.
Таким |
образом, Е т = 2 cJcTl100 р^ |
3 и, |
полагая с да 10% и |
||||
Pi да 3 г1см3, для |
тиксотропно структурированной |
1 0 %-ной |
сус |
||||
пензии бентонита в воде при |
Т да 300° К |
|
|
|
|||
£ m» 3 |
.1 0 - 1 5 6~2. |
|
|
|
|
|
|
Так как можно принять б равным 10_б—10- 7 см, |
находим Е т в |
||||||
области |
значений |
1 0 3 —1 0 6 |
дин!см2, |
что |
согласуется с |
экс |
|
периментальными |
данными. |
|
|
|
|
|
При дальнейшем уменьшении б до атомных размеров Е т рас тет, приближаясь к модулю истинной упругости (Ет —>Е0 да 109), рассчитанному по аддитивной зависимости для заданной пористос ти структуры. Кинетика развития и спада высокоэластической де формации не передается экспоненциальными уравнениями, выво димыми из механических моделей, а следует уравнениям с одной характеристической константой, выводимой из самых простых представлений: при Р = const
In (1 |
— z) + z = |
— т /0 д ; |
(33) |
|
после |
P = 0 |
|
(34) |
|
In |
z |
-f (1 — z) = |
— T/Or . |
139