zajcevVM
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации
Алтайский государственный технический университет им. И. И. Ползунова
В. П. Зайцев
М А Т Е М А Т И К А
Учебное пособие для студентов-заочников 1-го курса
Барнаул 2009
УДК 517.5 (075.5)
Зайцев В. П. Математика: Учебное пособие для студентов - заочников 1-го курса /Алт. гос. техн. ун–т им. И. И. Ползунова. – Баpнаул: АлтГТУ, 2009. – 139 с.
Пособие ориентировано на организацию самостоятельной работы студентов-заочников по изучению учебной дисциплины «Математика» на первом курсе.
Содержит кpаткое изложение основных теоpетических понятий и методов pешения типовых пpимеpов по шести разделам высшей математики: линейная алгебра, элементы линейной алгебры и аналитической геометрии, введение в математический анализ, дифференцирование функции одной переменной, приложения дифференциального исчисления функции одной переменной, дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
Пpиведены задания шести контpольных pабот (по 30 ваpиантов в каждой работе). Пpилагается список литеpатуpы, котоpой рекомендуется пользоваться, наряду с данным пособием, при выполнении работ.
Сформулированы вопросы для проверки знаний теоретического материала.
Рекомендовано к изданию на заседании кафедpы высшей математики АлтГТУ.
Рецензент: А. С. Киркинский – к.ф.-м.н., профессор кафедры высшей математики АлтГТУ.
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ……………………………………………………….…......5 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ……………………………………….......6
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ……..…………………………………....... 8
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ……………….…………… ....... 12
Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
1.Матрицы и действия над ними ……………………………………............13
2.Определители………………………………………………………….........15
3.Обратная матрица………………………………………………..................17
4.Ранг матрицы ……………………………………………………................18
5.Системы линейных уравнений….………………………………................20
Варианты заданий контрольной работы № 1……………………..................28
Раздел 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
1.Линейные операции над векторами ………………………….……….........34
2.Координаты вектора и точки……………………………..……………........35
3.Скалярное произведение векторов……………………………………….....37
4.Векторное произведение векторов……………………………………….....38
5.Смешанное произведение векторов………………………………………...39
6.Прямая линия на плоскости………………………………………………....40
7.Плоскость и прямая в пространстве………………………………...............42
8.Линии второго порядка ……………………………………………......……45
Варианты заданий контрольной работы № 2…………………………………50
Раздел 3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1. |
Понятие функции ........................................................................................... |
53 |
2. |
Свойства функции .......................................................................................... |
54 |
3. |
Понятие сложной функции ........................................................................... |
56 |
4. |
Понятие обратной функции .......................................................................... |
57 |
5. |
Основные элементарные функции .............................................................. |
59 |
6. |
Понятие предела функции ........................................................................... |
62 |
7. |
Предел числовой последовательности...............…………………………..64 |
|
8. |
Бесконечно малые и бесконечно большие функции ................................. |
66 |
|
3 |
|
9. Непрерывность функции. Точки разрыва .................................................. |
72 |
Варианты заданий контрольной работы № 3.................................................. |
75 |
Раздел 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1.Определение производной……………………………………………....…85
2.Таблица производных основных элементарных функций………….........87
3.Основные правила дифференцирования……………………………..........88
4.Дифференциал функции………………………………………………........92
5.Производные и дифференциалы высших порядков……………………....93 Варианты заданий контрольной работы № 4………………………………...95
Раздел 5. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1.Теоремы о среднем ………………………………………………......…….105
2.Формула Тейлора ………………………………………………………......105
3.Правило Лопиталя ………………………………………………………....108
4.Исследование функций и построение графиков ……………………........110
5.Нахождение наименьшего и наибольшего значений функции ……........117 Варианты заданий контрольной работы № 5………………………………..119
Раздел 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
1.Понятие функции двух и более переменных……………………………....126
2.Частные производные ……………………………………………………....128
3.Полный дифференциал функции …………………………………………..129
4.Частные производные высших порядков ………………………………….130
5.Производная по направлению. Градиент ………………………………….131
6.Экстремум функции ………………………………………………………....132
7.Наименьшее и наибольшее значения функции …………………………....133
8.Касательная плоскость и нормаль к поверхности ………………………...134 Варианты заданий контрольной работы № 6………………………………....135
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
Математические методы успешно используются в таких точных науках, как механика, физика, астрономия, находят широкое применение в технике. В настоящее время существенно расширилось приложение математики и в других науках: экономике, химии, биологии, медицине, психологии, социологии.
Математика является фундаментальной дисциплиной для студентов технического университета. Студенты-заочники изучают математику в течение первых пяти семестров. При этом основной формой обучения является самостоятельная систематическая работа над учебным материалом. Организуемые для студентов лекции, практические занятия и консультации призваны помочь им в самостоятельной работе.
На первом курсе в первом семестре изучаются три раздела математики: линейная алгебра; элементы векторной алгебры и аналитической геометрии; введение в математический анализ.
Во втором семестре также изучаются три раздела математики: дифференцирование функции одной переменной; приложения дифференциального исчисления функции одной переменной; функции нескольких переменных.
По каждому из этих разделов необходимо выполнить контрольную работу. В конце каждого семестра – экзамен.
Данное пособие содержит по каждому разделу:
1) необходимые краткие теоретические сведения (определения, формулировки основных теорем, расчётные формулы, большое число подробно разобранных примеров);
2)задания контрольной работы (30 вариантов).
Вначале каждого раздела указывается учебная литература и те номера глав, модулей, которые студент должен изучить пеpед выполнением контpольного задания по данному pазделу. Пособия обозначаются номеpами в квадpатных скобках, согласно списку рекомендуемой литературы, который приводится в данном пособии.
Если студент испытывает затpуднения в освоении теоpетического или пpактического матеpиала, то он может получить консультацию у преподавателя.
Каждая контрольная работа должна быть сделана в отдельной тетради, на обложке которой студенту следует разборчиво написать свою фамилию, инициалы, адрес, учебную группу, название дисциплины, номер контрольной работы, номер варианта, дату отправки работы в университет.
Номер варианта задания контрольной работы каждому студенту определяет преподаватель.
Условие каждой задачи должно быть полностью переписано из задания перед её решением. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения.
5
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
x X – элемент x принадлежит множеству X. x X – элемент x не принадлежит множеству X.
N, Z, Q, R – множества натуральных, целых, рациональных, действительных чисел соответственно.
A B – из высказывания A следует B.
A B – высказывания А и B равносильны.
x : A(x) – существует такое x, что для него верно высказывание A(x).
! x : A(x) – существует единственное x, такое, что для него верно высказывание A(x).
x |
A(x) – для любого x верно высказывание A(x). |
|
|||||||||
A = ( aij )m×n – матрица А с элементами aij ( i = 1, K ,m , j = 1, K ,n ). |
|||||||||||
AT – транспонированная матрица. |
|
|
|
||||||||
|A| , det A – определитель матрицы А. |
|
|
|
||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ai |
|
= a1 + a2 + ...+ an – сумма элементов a1 , a2 , ..., an . |
|||||||||
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mij |
– минор элемента aij |
квадратной матрицы или её определителя. |
|||||||||
Aij |
– алгебраическое дополнение элементаaij |
квадратной матрицы или её |
|||||||||
|
|
|
определителя. |
|
|
|
|
|
|||
A–1 – обратная матрица. |
|
|
|
|
|||||||
r(A), rang A – ранг матрицы A. |
|
|
|
||||||||
A | B – расширенная матрица. |
|
|
|
||||||||
uuur |
|
r |
uuur |
r |
– векторы и их длина. |
|
|
||||
AB, a и |
| AB |, | a | |
|
|
||||||||
r |
|
r |
|
r |
r |
r |
r |
r |
r |
|
|
a |
|
b , |
a |
↑↑ b , |
a ↑↓ b |
– векторы a |
и b коллинеарны, одинаково направлены, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
противоположно направлены соответственно. |
|||
Пр |
|
ar; Прrar |
– проекция вектора ar |
на ось OP; на вектор b . |
|||||||
|
|
OP |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
ar ={ax ; ay ; az } – вектор a имеет координаты ax , ay , az . |
|||||||||||
A(x, y, z) |
– точка A |
имеет координаты x, y, z . |
|
||||||||
ir |
, |
rj , |
kr |
– правый ортонормированный базис. |
r |
|
|||||
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
a |
b |
|
– скалярное произведение векторов a и |
b . |
|
||||||
r |
|
r |
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
a |
×b |
|
– векторное произведение векторов a и b . |
|
|||||||
|
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
r |
r |
|
( a ,b ,c ) |
– смешанное произведение векторов a ,b ,c . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
[a, b] |
– отрезок. |
(a, b), |
(a, +∞), (–∞, b), (–∞, +∞) – интервалы. |
[a, b), |
(a, b], [a, +∞), (–∞, b] – полуинтервалы. |
| x | – модуль (абсолютное значение) числа x.
U( x0 ),Uε ( x0 ) – произвольная окрестность и ε - окрестность точки x0.
U0( x0 ), Uε0( x0 )– проколотая окрестность и проколотая ε - окрестность точки x0.
U−0 ( x0 ), U+0 ( x0 ) – проколотые левая и правая полуокрестности точки x0.
lim f ( x ) – предел функции f(x) в точке x0 ( при x → x0).
x→x0
f(a + 0) и f(a – 0) – правосторонний и левосторонний пределы функции.
∆x и ∆y = ∆ f ( x ) – приращение аргумента x и функции y = f(x).
α(x) = O (β (x)) – функции α(x) и β(х) одного порядка малости при x → x0.
→x0
α( x ) = o( β( x )) – функция α(x) более высокого порядка малости по
x→x0
α( x ) |
~ β( x ) |
|
|
|
|
сравнению с функцией β(x) при x → x0. |
||||||||||||||||||||||
|
|
– функции α(x) и β(x) эквивалентны при x → x0. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
′ |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
df ( x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y |
, |
f |
( x ), |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
– производная функции y = f(x) в точке x. |
||||||||||||||
|
dx |
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
′ |
|
−0 ) |
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f ( x |
и f ( x +0 ) – левая и правая производные функции y = f(x) в точке x. |
|||||||||||||||||||||||||||
dy, df ( x ) – дифференциал функции y = f(x) в точке x. |
||||||||||||||||||||||||||||
y( n ) , |
|
f ( n )( x ), |
|
|
d n y |
|
, |
d n f ( x ) |
– производная n-го порядка функции y = f(x). |
|||||||||||||||||||
|
|
|
dxn |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxn |
|
|
|
|
|
||||
d n y, d n f ( x ) – дифференциал n-го порядка функции y = f(x) в точке x. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
∂f |
|
|
|
|
∂z |
|
∂f |
|
|
|
|
|
|||||||
z′x , |
fx′, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
z′y , |
fy′, |
|
, |
|
|
– частная производная функции z = f(x,y) по |
||||||||||||
|
∂x |
∂x |
∂y |
∂y |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
переменной x ( по переменной y ). |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
′′ |
= |
∂2 f |
|
|
′′ |
|
|
∂2 f |
|
|
|
′′ |
|
∂2 f |
′′ |
|
∂2 f |
|||||||||||
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
fxx |
, fyy = ∂y2 |
, fxy = |
∂x∂y , fyx = ∂y∂x – частные производные 2-го |
|||||||||||||||||||||||||
∂z |
|
|
|
|
∂f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
порядка функции z = f(x,y). |
||
|
|
|
, |
|
|
|
–производная функции z=f(x,y) в точке M по направлению вектора s . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
∂s |
|
M |
∂s |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
grad z( M ), grad f ( M ) – градиент функции z = f(x,y) в точке M.
7
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1-й семестр
Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
1.Определить правила сложения матриц, умножения матрицы на число, умножения 2-х матриц.
2.Записать правила вычисления определителей 2-го и 3-го порядков.
3.Перечислить свойства определителей и проверить их для случая определителя 3-го порядка.
4.Что называется минором и алгебраическим дополнением элемента определителя?
5.Написать формулу разложения определителя n-го порядка по какой-либо строке или столбцу.
6.Что такое ранг матрицы?
7.Как можно определить ранг матрицы с помощью элементарных преобразований матрицы?
8.Определение и вычисление обратной матрицы. Для каких матриц существует обратная матрица?
9.Дать определение совместной, определённой и неопределённой системы линейных уравнений.
10.Сформулировать теорему Кронекера - Капелли.
11.Сформулировать теорему о числе решений совместной системы линейных уравнений.
12.Метод Крамера решения систем линейных уравнений.
13.Описать последовательность действий при решении системы линейных уравнений методом Гаусса.
14.Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
15.Сформулировать признак существования ненулевого решения однородной системы линейных уравнений.
16.Что такое общее решение неопределённой системы линейных уравнений? Как его получить методом Гаусса?
Раздел 2. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
1.Какие векторы называются коллинеарными, равными, компланарными?
2.Что называется суммой векторов и произведением вектора на число?
3.Что называется базисом на прямой, на плоскости и в пространстве?
4.Какой базис называется ортонормированным?
5.Что такое прямоугольные координаты вектора и точки?
6.Как вычислить координаты вектора по известным координатам его конца и начала?
7.Как найти расстояние между двумя точкам с известными координатами?
8
8.Что называется скалярным произведением векторов и каковы его свойства?
9.Вывести формулу для вычисления скалярного произведения в координатной форме.
10.Применение скалярного произведения.
11.Что называется векторным произведением векторов и каковы его свойства?
12.Вывести формулу для вычисления векторного произведения в координатной форме.
13.Применение векторного произведения.
14.Что называется смешанным произведением векторов и каковы его свойства?
15.Вывести формулу для вычисления смешанного произведения в координатной форме.
16.Применение смешанного произведения.
17.Вывести уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.
18.Вывести уравнение прямой на плоскости, проходящей через заданную точку, параллельно заданному вектору.
19.Вывести уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные
точки.
20.Как вычислить расстояние от точки до прямой на плоскости?
21.Эллипс: определение, каноническое уравнение, построение.
22.Гипербола: определение, каноническое уравнение, построение.
23.Парабола: определение, каноническое уравнение, построение.
24.Как привести к каноническому виду уравнение 2-й степени
Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = 0?
25.Вывести уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору.
26.Вывести уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.
27.Как вычислить расстояние от точки до плоскости?
28.Вывести уравнения прямой в пространстве, проходящей через заданную точку, параллельно заданному вектору.
29.Вывести уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные
точки.
Раздел 3. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1.Что называется действительной функцией действительного аргумента? Привести примеры функций и указать их область определения и область значений.
2.Какая функция называется сложной? Привести примеры.
3.Какая функция называется неявно заданной? Привести примеры.
4.В каком случае функцию называют чётной, нечётной, периодической, возрастающей, убывающей, монотонной, ограниченной?
9
5.Какие функции называют взаимно обратными? Как построить график обратной функции по графику заданной функции?
6.Основные элементарные функции и их графики.
7.Понятие предела функции.
8.Предел числовой последовательности. Привести примеры сходящейся и расходящейся последовательности.
9.Сформулировать условие сходимости монотонной числовой последовательности.
10.Какая функция называется бесконечно малой (б. м.) и какие у неё основные свойства? Привести примеры.
11.Какая функция называется бесконечно большой (б. б.) и какова её связь с бесконечно малой?
12.Сформулировать основные теоремы о пределах (об единственности предела; о пределе суммы, произведения и частного).
13.Сформулировать первый замечательный предел.
14.Сформулировать второй замечательный предел.
15.Что значит сравнивать две б. м. или две б. б. функции? Объяснить понятия: две функции одинакового порядка; эквивалентные; одна из них имеет больший порядок, чем другая. Привести примеры.
16.Привести таблицу эквивалентностей б. м.
17.Виды неопределенностей, способы их раскрытия. Применение эквивалентных б. м. и б. б. для раскрытия неопределенностей.
18.Дать равносильные определения непрерывности функции в точке.
19.Что называется точкой разрыва функции? Дать их классификацию и привести геометрическую иллюстрацию.
20.Сформулировать теоремы о непрерывности суммы, произведения и частного непрерывных функций.
21.Что можно сказать о непрерывности основных элементарных функций? Какие точки могут являться точками разрыва таких функций?
2-й семестр
Раздел 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1.Дать определение производной функции. В чем состоит механический и геометрический смысл производной?
2.Записать уравнения касательной и нормали к графику функции y = f(x) при
x= x0.
3.Правила дифференцирования суммы, произведения, частного функций.
4.Правила дифференцирования сложной функции, обратной функции и функций, заданных в параметрической и неявной формах.
10