Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

zajcevVM

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Неопределенности вида (∞ – ∞), (0 ∞) рекомендуется предварительно приводить путём тождественных алгебраических преобразований к

неопределенностям вида	0			∞
			или	.
		0
				∞

Пример 3.20. Вычислить

lim

x2 + 2 x − x

)

x→+∞(

Решение. Неопределённость вида (∞ − ∞).

Умножив и разделив выражение

x2 + 2 x − x на

x2 + 2 x + x ,

∞

сведём неопределённость к виду

, а затем

∞

раскроем её:

(

x2 + 2 x − x) ( x2 + 2 x + x) =

lim

(

x2 + 2 x − x) = lim

x→+∞

x2 + 2 x + x

= lim

x2 + 2 x − x2

= lim

2 x

x2 + 2 x ~ x

= lim

2 x

= 1 .

x2 + 2 x + x

x→+∞

x2 + 2 x + x

x→+∞ 2 x

Пример 3.21. Вычислить lim( x −1 ) ctgπ( x −1 ).

x→1

Решение. Неопределённость (0 ∞).

Сведём неопределённость к виду

lim( x −1 ) ctgπ( x −1 ) = lim

x −1

1 )

= tgπ( x −1 ) ~ π ( x −1 )

x→1

x→1 tgπ( x −

= lim

x −1

= 1 / π .

π( x −1 )

x→1

x − 3 2 x+1

Пример 3.22. Найти lim

x→∞

x + 2

Решение.

Так

как

lim

x − 3

= 1 ,

а lim ( 2 x + 1 ) = ∞ ,

то имеем предел,

x→∞ x + 2

x→∞

связанный с раскрытием неопределенности вида ( 1∞ ). Преобразуем её так, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом (см. (3.8)):

2 x+1

x+2 −5

( 2 x+1 )

x − 3

−5

x+2

lim

= lim

− 1

= lim

1 +

x + 2

x→∞ x + 2

x→∞

			−5	x+2		lim	−10 x−5
				−5
= lim	1	+			= e	= ex→∞	x+2 = e−10 .
			x + 2
x→∞

9. Непрерывность функции. Точки разрыва

Пусть функция	y = f (x) определена в точке x = x0 и в некоторой окрестности
этой точки. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x0,		если в этой
точке существует	конечный предел функции и он совпадает с её	значением
f (x0 ) , т. е.
	lim f ( x ) = f ( x0 ) .	(3.10)
	x→x0

Итак, в точке x0 непрерывности функции f(x) должны быть выполнены следующие условия:

1)функция определена в точке x = x0 и в некоторой её окрестности;

2)существуют конечные односторонние пределы функции

lim f ( x ) = f ( x0 −0 ),	lim f ( x ) = f ( x0 +0 ) ;
x→x0 −0	x→x0 +0

3)односторонние пределы совпадают: f ( x0 −0 ) = f ( x0 +0 ) ;

4)совпадающие односторонние пределы функции в точке x0 равны значению функции в этой точке, т. е. f ( x0 −0 ) = f ( x0 +0 ) = f ( x0 ) .

Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области, то она называется непрерывной в этой области.

Справедлива теорема: все элементарные функции непрерывны в области определения.

Если функция определена хотя бы в проколотой окрестности некоторой точки и не является в ней непрерывной, то говорят, что функция имеет разрыв в этой точке, а саму точку называют точкой разрыва функции.

Правило нахождения точек разрыва и выяснения характера разрыва функций.

1)Находим область определения и точки, в которых функция не определена, но в окрестности которых имеются бесконечное число точек области определения. Если функция задается несколькими формулами, то выделяем ещё точки перехода от одной формулы к другой.

2)Ищем пределы слева и справа в этих точках.

3)Если пределы справа и слева конечны и различны, то имеем разрыв 1-го рода. Если пределы равны, то разрыв устранимый. Во всех остальных случаях имеем разрыв 2-го рода (если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует).

Пример 3.23. Исследовать функцию y =	x	+	1	на непрерывность. Найти

	x		x + 1

точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.

Решение. В точках x = 0 и x = – 1 функция не определена, так как знаменатели дробей обращаются в 0, а, значит, разрывна. Исследуем поведение функции вблизи этих точек, вычисляя односторонние пределы.

Заметим, что исходную функцию можно записать в виде:

1 +

если

x > 0

+ 1

f ( x ) =

−1

если

x < 0

x +

Для точки x = 0:

f ( 0 −0 ) = lim

−1 +

= 0,

f ( 0 +0 ) =

lim

= 2 .

x + 1

x→0−0

Односторонние пределы функции в точке x = 0 существуют и конечны, но не равны между собой. Следовательно, эта точка является точкой разрыва 1-го рода.

Для точки x = –

f ( −1 −0 ) = −1 +

lim

= −∞, f ( −1 +0 ) = −1 +

lim

= +∞ ..

x + 1

Итак, в точке x = – 1

x→−1−0

x→−1+0

функция имеет разрыв 2-го рода.

Так как

lim f ( x ) =

lim 1

=1,

lim

f ( x ) = lim

−1

= −1 ,

x +1

x→+∞

x→−∞

то схематический график функции имеет вид:

	y
	2•
	1	y =1
–1	0	x
	–1	y = –1

		1		,	x < 1

			1
	x +		1
Пример 3.24.					1 ≤ x ≤ 2 найти точки разрыва,
Пример 3.24.	Для функции f ( x ) = x2 ,				1 ≤ x ≤ 2 найти точки разрыва,
		1
					x > 2

	e x−2 ,

указать характер разрыва, построить схематический график функции.

Решение. Данная функция составная и определена для всех действительных значений x ≠ −1 . Но нельзя сразу сказать, что она непрерывна для всех таких x. Разрывы могут быть в точках x = 1 и x = 2, где меняется ее аналитическое выражение. Итак, подлежат исследованию точки x = –1, x = 1, x = 2.

Исследуем точку x = – 1. Значение f(–1) не определено.

f ( −1 −0 ) =

lim

f ( −1+

0 ) =

lim

= −∞,

= +∞.

x→−1−0

x +1

−0

x→−1+0

x +1

Итак, точка x = – 1 является точкой разрыва 2-го рода.

Исследуем точку x = 1.

f(1) = 12 = 1,

f ( 1 − 0 ) =

lim

, f ( 1 + 0 ) =

lim

x2 = 1 .

x→1−0 x + 1

x→1+0

Итак, точка x = 1 является точкой разрыва 1-го рода.

Исследуем точку x = 2. Имеем

f(2) = 22 = 4,

x2 = 4 ,

= (e+∞ ) = +∞.

f ( 2 − 0 ) = lim

f ( 2 +0 ) =

lim e

x−2

x→2−0

x→2+0

Итак, точка x = 2 – точка разрыва 2-го рода.

= e+0 = 1 + 0 ,

Так как lim

f ( x ) = lim

= −0 , а

lim

f ( x ) = lim e

x−2

x→−∞

x→−∞ x +

x→+∞

то график данной функции имеет вид:

Варианты заданий контрольной работы № 3

3.1. Дана сложная функция y = f (u(v (x))) . Записать функции f(u), u(v), v(x). Составить сложную функцию v (u(x)).

1.	y = cos		4	1				2.		y = e	sin x				3.	y = lg(arccos x ) .
						.						.
					x	.						.
					x
	y = lg3 ( 1				− x2 ).								1			y = log53 (lg x).
4.								5.		y = 3 arctg				.	6.
4.								5.		y = 3 arctg				.	6.
													x
7.	y =			1			.	8.	y = tg (4 ln x ) .						9.	y = ectg		2	x .
7.	y =	cos(10 x )					.	8.	y = tg (4 ln x ) .						9.	y = ectg			x .
		cos(10 x )
	y = arcsin2 ( x ) .									sin(3 x ) .						1
10.	y = arcsin2 ( x ) .							11.		sin(3 x ) .					12.	y = 2	ln x			.
13.	y = arcctg (lg2 x) .							14.	1			.			15.	y = log02,1 (cos x).
13.	y = arcctg (lg2 x) .							14.		3 cos(5 x )		.			15.	y = log02,1 (cos x).
										3 cos(5 x )

16.	y = arctg(		ln x ) .		17.	y = 2 arcsin x .
19.	y = sin	3	1		20.	y = 3	arccos(x			2 )
				.								.
				.								.
			x
	y = ln3 (arcsin x) .							1
22.					23.	y = 4 tg					.
22.					23.	y = 4 tg		x	2		.
								x

18.	y =		1	.
		log3 (lg x)
21.	y =		tg ( x ) .
24.	y =		1		.
			sin(x3 )

		1										1				1
		1										1			y = 9cos		2
25.	y =			.		26.	y =	arcsin						. 27.				x .
25.	y =	cos3	(2x )	.		26.	y =	arcsin						. 27.				x .
		cos3	(2x )									x
28.	y = log3		(sin x).			29.	y =	1		.				30.	y =			1		.
28.	y = log3		(sin x).			29.	y =			.				30.	y =					.
		4					2	3	x							arctg (e x )
3.2. Дана функция						y = f (x).			Найти			обратную			функцию				y = f −1 (x) .
Указать области определения и множества значений этих функций.
				x+2							arcsin		x		3. f (x)				1 − x 3
1. f ( x ) = log3 ( 2					− 4 ) .		2. f ( x ) = 2					2		−1 .				=			.
1. f ( x ) = log3 ( 2					− 4 ) .		2. f ( x ) = 2					2		−1 .				=	1 + x		.
																			1 + x


4. f ( x ) = 3				arc tg( x+1 ) .
7.	f ( x ) =	arctg x + 1			.

		arctg x −1
10.	f ( x ) =			arcsin x		.
			arcsin x −1

13.	f ( x ) = 4 2arctgx −1 .
16.	f ( x ) = lg(arcsin x ) .
19.	f ( x ) = 4			2x +2 −8 .

5. f (x) =	1			.
	lg (1 − 2 x)
8. f ( x ) =		x −1	− 3 .
		x + 1

6.f (x) = tg3 2 .

x+1

9.f ( x ) = 2 x−2 + 1 .

11.f ( x ) = lg( 3x + 1 ) .

14.f ( x ) = 4 x + 1 + 3 . 4 x −1

17. f ( x ) = 3	1
	2	x	−1 .

20. f ( x ) = arctg 2 x +1 . 2x −1

12.f ( x ) = 3 11 +− xx + 1 .

15.f ( x ) = lg( 2 2 x+3 −1 ) .

18.f ( x ) = log3 ( 4 x −1 ) .

21.	f ( x ) =	arcsin x3	+ 1	.
		arcsin x3	−1

f ( x ) =

x + 2

x −1

. 24. f ( x ) = 2

log

( x+2 )

22.

23. f ( x ) = arcsin

x + 1

25.

f ( x ) =

2arcsin x+1

26. f ( x ) = 3log5 ( 2x −2 ) .

27. f ( x ) = lg( 4

x +1 + 1 ) .

2arcsin x + 1

30. f ( x ) = arctg (

lg x ).

28.

f ( x ) = arcsin( 2x −1 ) . 29. f ( x ) = 10log3 x+2 .

3.3. Вычислить пределы функций.

1.	1)	lim			x2 −9			;
				x2
		x→3			− 4 x + 3
	3)	lim		1 −cos 2 x			;
					3x2
		x→0
2.	1)	lim		x	2 −1	;

		x→∞ 3x2 + 1
	3)	lim		arcsin 2 x			;

		x→0		2 x2 − x
3.	1)	lim		x2 −8 x + 15					;
			x2		−10 x + 21
		x→3

2)	lim		2 + x −					2 − x	;
					3x
	x→0
	lim	x + 4				2 x
4)						.
				− 2
	x→∞ x
2)	lim		3 + x − 3					;
			x −6
	x→6
	lim (1 −					x )	2−x
4)								x .
	x→+0
2)	lim	x −		x		;
		x3 −1
	x→1

lim

1 −cos 4 x

;

tgx

x→0

lim

3x3 + x2 −5

;

x→∞ 2 x4 − x + 1

lim

5−x −1

;

arctgx

x→0

lim

( x2 − 4 )2

;

x2 − 4 x + 4

x→2

lim

cos x −cos3 x

;

ln2 (1 + 2 x)

x→0

lim

2 x3 + x + 4

;

x→∞ x4 − 2 x + 1

lim

x2 ctg5 x

;

tg3x

x→0

lim

x2 −6 x + 9

;

( x2 −9 )2

x→3

lim

1 −cos 3x

;

x→0

1 −cos x

8. 1)

lim

5 − 3x

;

x→∞ x2 + x −5

lim x2 ctg2 2 x ;

x→0

9. 1)

lim

x3 − 4 x

;

x2 −5 x +

x→2

lim

1 −cos 4 x

;

x ln(1 + 2 x)

x→0

10. 1)

lim

3x2 + 4

;

(2x −1)2

x→∞

	3x + 1 2 x
4) lim		.
	3x
x→∞

lim

1 − x

;

x→1

1 + 3x − 2

lim( 1 − 2 x )1 / x .

x→0

lim

3 − 9 − x2

;

x→0

lim x ln

x −1

x→∞

lim

1 + 2 x −

1 − 4 x

;

3x2 + x

x→0

lim (x + 1)

sin 4 x

x→0

lim

1 − 3x2 −1

;

x3 + 2 x2

x→0

lim (1 − 2 sin x)

1+x

x .

x→0

lim

x −1 −

;

9 − x2

x→3

lim (2 − x)

x−1

x→1

lim

1 + 3x −

2 x +6

;

x2 −5 x

x→5

lim

2 x + 3 −x

2 x −1

x→∞

lim

x − 3

;

3x − 3

x→3

lim (e2 x −1) ctg3x ;

x→0

11. 1)

lim

4 x

2 − x − 3

;

x2 −1

x→1

lim

2 − 2 x

;

sin 3x

x→0

12. 1)

lim

( 2 x + 3 )2 − 25

;

3x2 −6 x +

x→∞

lim

cos2 2 x −1

;

x2 − 2 x

x→0

13. 1)

lim

2 − 2 x − 21

;

x2 − 4 x +

x→3

lim

sin(x − 2)

;

x2 − 3x + 2

x→2

14. 1)

lim

x2 −7 x + 10

;

4 − x2

x→∞

lim

x3 + 4 x

;

x→0 l n(5 x + 1)

15. 1)

lim

2 x

2 + 3x −5

;

x2 −1

x→1

lim (1 − x) ctg

x2 −1

;

x→1

16.1) lim 1 −5 x ; x→∞ 3x − 4

3) lim sin( x2 − 2 x ) ; x→0 tg( x2 + 3x )

17. 1) lim	x2	− 4	;
	x2 −	4 x + 4
x→2

4) lim (3 − x)2 / (x−2) .

x→2

lim

1 + 2 x − 3

;

x→4

x − 2

lim

3x −10 x−3

3x + 2

x→∞

lim

1 − x −

;

x + 2

x→−2

lim (4 − x)

2 x

x−3

x→3

lim

x + 3 −

;

x2 − 4

x→2

lim

7 x + 1 2 x+1

x→∞

7 x −6

lim

1 + 3x − 2

;

x→1

1 + x −

4 x −1

lim

(x −1) ln

4 x + 3

x→∞

lim

;

x + 3 −

x→0

lim

x + 4 2 x+1

x→∞

x −1

lim

2 + x −1

;

x→−1

3 + x −

lim (1 −5 x)

2−x

3 x

x→0

lim

3 + x −1

;

6 + x − 2

x→−2

lim

x2 − 2 x

;

1 −e−2 x

x→0

18. 1)

lim

2 x3 + x2 − 3

;

x3 + x −

x→∞

lim

arcsin 4 x

;

x→0

2 x + x

19. 1)

lim

x2 −1

;

x2 + x − 2

x→1

lim

lg (3x + 1)

;

x→0

x2 − 2 x

20. 1)

lim

2 x3 +6 x −5

;

x2 − x +

x→∞

lim

sin(x2 )

;

(2x2 + x)2

x→0

21. 1)

lim

2 x2 − 3x + 1

;

1 − x4

x→1

lim

arc sin2 ( x2 − 4 x )

;

x→0

22.1) lim 7 − 2 x3 ;

x→∞ x2 + x

3)	lim	3−x −1		;

	x→0 tg (x2 − x)
23. 1)	lim	2 x	2 + x −10		;
		x2	−7 x + 10
	x→2
3)	lim	sin2 ( x2 − 3x )				;
		(1 −102 x ) tg2 x
	x→0

x − 2		3 x
4) lim		.

x→∞ x + 1

lim

x2 + 2 − 2

;

x2 − 2

x→ 2

lim (1 + x2 )

5 x−1

x2 .

x→0

lim

2 −

x + 1

;

x +6 − 3

x→3

lim

5 x + 1 x+1

5 x − 2

x→∞

lim

x + 3 −

;

4 −

x + 13

x→3

lim (1 − 4 x)

x+3

2 x

x→0

lim

x + 3 − 2

;

5 − x + 4

x→1

lim

4 x −1 −x

4 x + 1

x→∞

lim

x + 2 −1

;

3 −

x + 4

x→−1

lim (1 − tg2 x)

5 x+1

x .

x→0

lim

x +7 −

;

x2 + x

x→−1

3x −7 −

lim

3x + 1

x→∞

24. 1) lim	2 x2 − x −6		;
	x2	− 4
x→∞

lim

sin2

;

(x2 − 4 x)2

x→0

25. 1)

lim

4 x2

−1

;

2 x2 − 3x +

x→

lim

arctg2 ( x2 − x )

;

ln(1

− x

)

x→0

26. 1)

lim

x2 +7 x −8

;

x→∞ 2 x2 + x − 3

lim

sin( x2

− 2 x )

;

x2 −6 x + 8

x→2

27. 1)

lim

4 x2 − x − 3

;

x2 + x

− 2

x→1

lim

arc sin( x2 − x )

;

−1

x→1

28.1) lim 2 x2 +7 x −9 ; x→∞ 3x2 + 4 x −7


3)	lim	tg( x		2 − 4 x )		;
		x2		−16
	x→4
29. 1)	lim	x2	+ 3x −10				;
		x2	+	4 x −12
	x→2
3)	lim	sin2 ( x2 −5 x )						;
			(43 x −1)
	x→0 x
30. 1)	lim	x3 − x2
					;

	x→∞ x2		+7 x −8

lim

x +6 − 2

;

3 −

x +7

x→2

lim

(1 + 2 x3 )ctg3 x .

x→0

lim

x +6 − 3

;

−

x→3

x + 13

lim

2 x + 3 4 x−1

2 x +

x→∞

lim

x +7 − 3

;

2 −

x→2

lim (3 − 2 x)

2 x+1

x−1

x→1

lim

x + 3 −

;

−

x→3

2 x − 2

lim

8 x −1 3 x

8 x +

x→∞

lim

1 + x

−

;

3 −

x +

x→1

lim (5 x + 1)

−2 x+1

3 x .

x→0

lim

x + 8 −

;

4 −

x + 14

x→2

lim

5 x − 3 −x+3

5 x +

x→∞

lim

x + 90 −10

;

7 −

x + 39

x→10

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.2015193.02 Кб31ZADAChI_1.doc
#
14.02.2015134.14 Кб66ZADAChI_V.doc
#
14.02.2015866.93 Кб199zadat-fkh.pdf
#
14.02.201515.12 Mб32zaginajlov-kvl.pdf
#
14.02.20151.33 Mб24zaicevVM_2.pdf
#
14.02.20151.25 Mб29zajcevVM.pdf
#
12.03.2016345.72 Кб28zarnitsina-e-g-mapp-549003aae0d37.pdf
#
14.02.20154.64 Mб56zarn_met_kp.pdf
#
14.02.2015527.89 Кб23zarn_met_lab.pdf
#
14.02.20152.32 Mб8Zaschita_ot_shuma_404.doc
#
14.02.201521.04 Mб34zrumov_inf_pos.pdf