zaicevVM_2

УДК 517.5 (075.5)

Зайцев В. П. Математика: Учебное пособие для студентов – заочников 2-го курса /Алт. гос. техн. ун–т им. И. И. Ползунова. – Баpнаул: АлтГТУ, 2009. – 151 с.

Данное учебное пособие является продолжением пособия Зайцева В. П. по математике для студентов – заочников 1-го курса.

Пособие ориентировано на организацию самостоятельной работы студентов-заочников по изучению учебной дисциплины «Математика» на втором курсе.

Содержит кpаткое изложение основных теоpетических понятий и методов pешения типовых пpимеpов по четырём разделам высшей математики: неопределённый и определённый интеграл; дифференциальные уравнения; ряды; определённые интегралы по фигурам.

Пpиведены задания четырёх контpольных pабот (по 30 ваpиантов в каждой). Пpилагается список литеpатуpы, котоpой рекомендуется пользоваться, наряду с данным пособием, при выполнении работ.

Сформулированы вопросы для проверки знаний теоретического материала.

Рекомендовано к изданию на заседании кафедpы высшей математики АлтГТУ.

Рецензент: А. С. Киркинский – к.ф.-м.н., профессор кафедры высшей математики АлтГТУ

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ ……………………………………………………….…......5 ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ ……………………………………….......5 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ……..…………………………………....... 6

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ……………….……………. ....... 9

Раздел 7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ И ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.Первообразная и неопределённый интеграл..……………………….......10

2.Таблица интегралов.…………………………………………………........12

3.Интегрирование методом замены переменной…………………….........13

4.Интегрирование по частям...………………………………………….......16

5.Интегрирование рациональных дробей..…………………………….......17

Варианты заданий контрольной работы № 7…………………………..........40

Раздел 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

3. Дифференциальные уравнения второго порядка...……..……………........61 3.1. Основные понятия. Задача Коши...... ………………………………...61

3.2.Уравнения, допускающие понижение порядка……………………....62

3.3.Линейные уравнения. Общие вопросы……………………………….65

3.4.ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами………….68

3.5.ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами………….70

4.Понятие о системе дифференциальных уравнений..……………...............74 Варианты заданий контрольной работы № 8………………………………...77

Раздел 9. РЯДЫ

2.Вычисление криволинейного интеграла............................………….........126

3.Вычисление двойного интеграла ..........……………………………..........128

Варианты заданий контрольной работы № 10.……………………………..143

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное пособие предназначено для студентов – заочников 2-го курса и является продолжением пособия автора для студентов – заочников 1-го курса.

Втретьем семестре изучаются два раздела математики: неопределённый и определённый интеграл; дифференциальные уравнения.

Вчетвёртом семестре также изучаются два раздела математики: ряды; определённые интегралы по фигурам.

По каждому из этих разделов необходимо выполнить контрольную работу. В конце каждого семестра – экзамен.

Данное пособие содержит по каждому разделу:

1) необходимые краткие теоретические сведения (определения, формулировки основных теорем, расчётные формулы, большое число разобранных примеров);

2) задания контрольной работы (30 вариантов).

Вначале каждого раздела указывается учебная литература и те номера глав, модулей, которые студент должен изучить перед выполнением контpольного задания по данному pазделу. Пособия обозначаются номеpами в квадpатных скобках, согласно списку рекомендуемой литературы, который приводится в данном пособии.

Если студент испытывает затpуднение в освоении теоpетического или пpактического матеpиала, то он может получить консультацию у преподавателя.

Каждая контрольная работа должна быть сделана в отдельной тетради, на обложке которой студенту следует разборчиво написать свою фамилию, инициалы, адрес, учебную группу, название дисциплины, номер контрольной работы, номер варианта, дату отправки работы в университет.

Номер варианта задания контрольной работы каждому студенту определяет преподаватель.

Условие каждой задачи должно быть полностью переписано из задания перед её решением. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

∫ f (x)dx – неопределённый интеграл от функции f(x). Здесь ∫ - знак интеграла,

f(x)- подынтегральная функция, dx - дифференциал переменной x.

b

∫ f (x)dx – определённый интеграл от функции f(x) на отрезке [a, b].

a

F (b)− F (a) = F (x)ba – знак подстановки. r ,ϕ – полярные координаты.

5

∞

∑an – числовой ряд с общим членом an .

n=1

Sn = a1 + a2 + ...+ an – n-я частичная сумма ряда.

∞

∑an (x − x0 )n – степенной ряд ( по степеням x − x0 ).

n=0

E – общее обозначение всех четырёх рассматриваемых фигур (D, Т, L, Σ ). ∫ f ( M )dE – общее обозначение определённого интеграла по фигуре E .

E

∫∫ f (M )dS – двойной интеграл по плоской области D от заданной на ней

D

функции f (M ).

∫∫∫ f (M )dV – тройной интеграл по пространственному телу Т от заданной

T

на нём функции f (M ).

∫ f (M )dL – криволинейный интеграл по линии L от заданной на ней функции

L

f (M ).

∫∫ f (M )dσ – поверхностный интеграл по поверхности Σ от заданной на ней

Σ

функции f (M ).

ρ(M ) – плотность массы в любой текущей точке M фигуры E.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 3-й семестр

Раздел 7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ И ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1.Что называется первообразной для данной функции? Привести примеры.

2.Как устроено множество всех первообразных для функции?

3.Что называется неопределённым интегралом?

4.В чём состоит метод подведения под знак дифференциала?

5.Как осуществляется интегрирование с помощью подстановки или замены переменной?

6.Сформулировать метод интегрирования по частям. Для интегралов каких типов применяют этот метод?

7.В чём состоит метод интегрирования рациональных дробей?

6

8.Как составляются интегральные суммы для данной функции на данном отрезке? Что называется определённым интегралом?

9.Каков геометрический и механический смысл определённого интеграла от

данной функции y = f(x) на отрезке [a, b]?

10.Сформулировать основные свойства определённого интеграла.

11.Сформулировать формулу Ньютона −Лейбница. Привести пример.

12.В чём состоит метод замены переменной (подстановки) в определённом интеграле?

13.Что называется несобственным интегралом от данной функции по бесконечному интервалу?

14.Что называется несобственным интегралом от неограниченной функции?

15.Вычисление площади плоской фигуры.

16.Вычисление длины дуги кривой.

17.Вычисление объёма тела вращения.

18.Вычисление площади поверхности тела вращения.

Раздел 8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1.Что называется д. у. 1-го порядка и его решением? Задача Коши. Дать определение общего решения, частного решения, особого решения.

2.Дать определение д. у. с разделяющимися переменными и указать метод его решения.

3.Какие д. у. называются однородными? Метод их решения.

4.Какие д. у. 1-го порядка называются линейными? Методы их решения.

5.Дать определение д. у. Бернулли и указать методы его решения.

6.Дать определение д. у. в полных дифференциалах. Необходимое и достаточное условие. Метод решения.

7.Что называется д. у. 2-го порядка и его решением? Задача Коши. Дать определение общего решения, частного решения.

8.Изложить способ решения д. у. y′′ = f ( x).

9.Изложить способ решения д. у. y′′ = f (x, y′) .

10.Изложить способ решения д. у. y′′ = f ( y, y′) .

11.ЛОДУ 2-го порядка. Свойства решений. Понятие фундаментальной системы решений.

12.Сформулировать теорему о структуре общего решения ЛОДУ 2-го порядка.

13.Сформулировать теорему о структуре общего решения ЛНДУ 2-го поряд-

ка.

14.В чём состоит метод вариации произвольных постоянных получения общего решения ЛНДУ 2-го порядка?

15.Общее решение ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае различных действительных характеристических чисел.

16.Общее решение ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами в

7

случае комплексных характеристических чисел.

17.Общее решение ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами в случае равных характеристических чисел.

18.Отыскание частного решения ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью f(x) = eax Pm(x).

19.Отыскание частного решения ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффи-

циентами и правой частью f(x) = eax [Pm(x)cosbx + Qk(x)sinbx].

20.Нормальная система д. у. Задача Коши. Что называется общим и частным решениями такой системы?

21.Описать приём сведения нормальной системы 2-х д. у. к одному д. у. 2-го порядка.

4-й семестр

Раздел 9. РЯДЫ

1.Понятие ряда. Дать определение сходящегося и расходящегося рядов, суммы ряда. Привести примеры.

2.В чём состоит необходимый признак сходимости ряда? Привести пример, показывающий, что он не является достаточным.

3.Сформулировать интегральный признак сходимости. Ряд Дирихле.

4.Сформулировать 1-й признак сравнения знакоположительных рядов.

5.Сформулировать 2-й признак сравнения знакоположительных рядов.

6.Сформулировать признак сходимости Даламбера.

7.Сформулировать признак сходимости Коши.

8.Сформулировать признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов.

9.Что называется абсолютной и условной сходимостью знакопеременного ряда? Привести примеры.

10.Какой ряд называется степенным?

11.Сформулировать теорему Абеля.

12.Нахождение радиуса сходимости и интервала сходимости степенного ряда.

13.Сформулировать основные свойства степенных рядов.

14.В чём заключается задача разложения функции в степенной ряд?

15.Что называется рядом Тейлора функции f(x)?

16.Сформулировать теорему о необходимом и достаточном условиях разложимости функции в ряд Тейлора.

17.Разложения в ряд Маклорена функций ex, sinx, cosx, (1+x)a, ln(1+x),

arcsinx, arctgx. Указать их области сходимости.

18.Приближенное вычисление значения функции с помощью степенных рядов. Привести пример.

19.В чём состоит метод интегрирования функций с помощью степенных рядов? Привести пример.

20.В чём состоит метод интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов? Привести пример.

8

21.Записать общую формулу разложения в ряд Фурье функции с периодом

2π.

22.Сформулировать условия разложения функции в ряд Фурье (теорема Дирихле).

23.Записать разложение в ряд Фурье функции с произвольным периодом.

24.Как можно раскладывать в ряд Фурье непериодическую функцию?

Раздел 10. ОПРЕДЕЛЁННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО ФИГУРАМ

1.Как составляются интегральные суммы для данной функции по плоской области D? Что называется двойным интегралом?

2.Как составляются интегральные суммы для данной функции по простран-

ственному телу Т? Что называется тройным интегралом?

3.Как составляются интегральные суммы для данной функции по линии L? Что называется криволинейным интегралом 1-го рода?

4.Как составляются интегральные суммы для данной функции по поверхно-

сти Σ ? Что называется поверхностным интегралом 1-го рода?

5.Сформулировать основные свойства определённого интеграла по фигуре.

6.Вычисление двойного интеграла.

7.Вычисление тройного интеграла.

8.Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода.

9.Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода.

10.Геометрические приложения определённого интеграла по фигуре.

11.Приложения определённого интеграла по фигуре к решению некоторых задач механики.

РЕКОМЕHДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Зайцев В. П. Математика: Учебное пособие. Часть 2. / Алт. гос. техн. ун-т им. И. И. Ползунова. Центр дистанционного обучения. – 4-е изд., испр. – Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2005. – 237 с.

2.Зайцев В. П. Математика: Учебное пособие. Часть 3. / Алт. гос. техн. ун-т им. И. И. Ползунова. Центр дистанционного обучения. – 4-е изд., испр.– Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2005. – 209 с.

3.Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. – 3-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2005. – 608 с.: ил. – (Высшее образование).

4.Фролов С. В., Шостак Р. Я. Курс высшей математики, том 2. Изд. 2-е, переработ. и доп. Учеб. пособие для втузов. – М.: Высш. шк., 1973. – 400 с.

5.Сбоpник задач по математике для втузов. Линейная алгебpа и основы математического анализа / Под pед. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. – М.: Hаука. – 1981.– 464 с.

9

6. Сборник задач по математике для втузов: Специальные разделы математического анализа / Под ред. А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича: В 3т. Т.2.– М.: Наука, 1986.– 368 с.

Раздел 7. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ И ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Литература: [1, модуль 14, 15]; [3, глава 7, 8]; [5, глава 6].

1. Первообразная и неопределённый интеграл

Основной задачей дифференциального исчисления является отыскание производной f ′(x) для данной функции f (x) или её дифференциала df (x) = f ′(x)dx .

Интегральное исчисление решает обратную задачу: найти функцию F (x),

зная её производную F ′(x) = f (x) (или дифференциал).

Функция F ( x) называется первообразной для функции f ( x) на интервале

(a, b), если f ( x) является производной для F (x) , т. е. если

x (a, b) F ′(x) = f (x) .

Если F ( x) – первообразная для f (x) , а C – любое число, то F (x) +C –

тоже первообразная для f ( x) , так как (F(x)+C)′ = f (x) .

Таким образом, первообразных для функции существует бесконечно много,

вообще, F (x) = sin x +C , где С – любое число.

Верно и обратное утверждение: любые первообразные для данной функции отличаются на постоянное слагаемое, т. е. если F (x) – какая-либо первообраз-

ная для f (x) , то все первообразные для f (x) можно записать в виде

F (x) +C .

Множество всех первообразных F (x) +C для функции f ( x) называется не-

определённым интегралом от функции f ( x) . 10