zaicevVM_2

9.2. Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала сходимости.

118

9.3. Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена и затем проинтегрировав его почленно.

119

9.4. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y = y( x ) указанной задачи Коши.

120

121

где d – наибольший из диаметров частей (∆σi ) площадью ∆σi.

Итак, чтобы найти массу фигур, нужно вычислить однотипные пределы

(10.1′) – (10.4′).

1.3. Интегральная сумма и определённый интеграл по фигуре.

Отвлечёмся от физического смысла рассмотренной задачи о массе фигуры E и перечислим те математические операции, которые привели к её решению.

Пусть теперь F(M)–произвольная функция, заданная в каждой точке M фигуры E. Для получения приближённых равенств были проделаны следующие операции:

1)фигура E произвольным образом разбивалась на n частей (∆Ei ), i =1,…,n, мерой ∆Ei каждая;

2)на каждой части (∆Ei ) бралась произвольная точка Mi и вычислялось значение функции f(Mi ) в этой точке;

3)значение f(Mi ) умножалось на меру ∆Ei соответствующей части (∆Ei );

4)составлялась сумма таких произведений.

Полученная в результате перечисленных операций сумма

i=1

называется интегральной суммой для функции f(M) по фигуре E. Для рассматриваемых фигур интегральные суммы записаны в правых частях выражений (10.1) – (10.4).

Замечание. При заданном числе n можно составить сколько угодно интегральных сумм, так как можно разными способами разбивать фигуру на части и на каждой части можно произвольным образом выбирать точку Mi.

При решении задачи о массе мы делали ещё одну операцию – рассматривали предел интегральной суммы при стремлении к нулю размеров частей, на которые

была разбита фигура (при этом, конечно, число частей n→∞). Важно заметить, что этот предел (в задаче о массе − это масса фигуры) не должен зависеть от способа

123

разбиения и способа выбора точек (т. е. от способа составления интегральной суммы).

Определённым интегралом по фигуре E от заданной на ней функции f(M) называется предел интегральной суммы, когда стремится к нулю наибольший из диаметров d частей, на которые разбивается фигура при составлении интегральных сумм. При этом предел не должен зависеть от способа составления интегральной суммы.

Общее обозначение определённого интеграла по фигуре E: ∫ f ( M )dE .

Замечание. В разделе 7 была рассмотрена фигура – отрезок [a, b], по которой аналогичным образом ввели понятие определённого интеграла от функции на отрезке (т. е. был рассмотрен частный случай).

Для отдельных рассматриваемых фигур определения, обозначения и названия интегралов следующие:

1) фигура – плоская область D:

Так же, как и для определённого интеграла на отрезке, f(M)dE называют подынтегральным выражением, эта запись напоминает об устройстве интегральных

сумм, состоящих из слагаемых f(Mi)∆Ei.

Иногда бывает удобно условно понимать интеграл ∫ f ( M )dE как «сумму

E

бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых вида f(M)dE». При таком неточном, упрощённом подходе величину f(M)dE надо понимать как произве-

124

дение меры dE бесконечно малого элемента фигуры на значение функции f(M) в произвольной точке M этого элемента.

Сформулируем достаточное условие существования определённого интеграла по фигуре:

если функция f(M) непрерывна на замкнутой, т. е. включающей границу, и ограниченной фигуре, то интеграл от неё существует.

В дальнейшем будем предполагать, что функция f и фигура E таковы, что достаточное условие существования интеграла выполнено.

Решение задачи о массе фигуры E было получено в виде

n

m( E ) = lim ∑ f ( Mi )∆Ei , где ρ(M) = f(M) – функция плотности. Отсюда сле-

d →0 i=1

E

т. е. определённый интеграл по фигуре от плотности равен массе этой фигуры.

1.4. Свойства определённого интеграла по фигуре.

В главе 7 были рассмотрены свойства определённого интеграла на отрезке [a, b] (по фигуре [a, b]). Так как определённые интегралы по другим четырём типам фигур имеют подобное устройство, то ранее рассмотренные свойства будут справедливы для всех других типов интегралов. Сформулируем основные из них.

Свойство 1 (о мере фигуры).

Если функция f(M) тождественно равна единице на фигуре E, то интеграл от неё дает меру S(E) этой фигуры:

∫1 dE = S( E ) .

E

Этот результат полезно записать подробно для всех типов интегралов:

Эти результаты непосредственно следуют из определения интеграла по фигуре, если положить f(M) ≡ 1.

125

Свойство 2 (линейность интеграла).

где точка с – некоторая точка фигуры E, f(с) называется средним значением функ-

ции f на фигуре E.

Перейдём к вычислению определённых интегралов по каждой из четырёх фигур. Непосредственное вычисление интегралов, как пределов интегральных сумм, чрезвычайно громоздко и применяется очень редко. Познакомимся с другими методами вычисления.

2. Вычисление криволинейного интеграла

Вычисление криволинейного интеграла ∫ f ( M )dL сводится к вычислению

L

обычного определённого интеграла.

Рассмотрим некоторые случаи (в зависимости от способа задания линии). 1) Пусть линия L на плоскости Oxy задана уравнением y = ϕ(x), x [a, b].

В этом случае дифференциал dL дуги линии L вычисляется по формуле dL = 1 + (ϕ′( x ))2 dx , а f ( M ) = f ( x,ϕ( x )), поэтому подынтегральное вы-

ражение f ( M )dL = f ( x,ϕ( x )) 1 + (ϕ′( x ))2 dx, при этом x [a, b]. Интегри-

руя этот результат в пределах возможного изменения переменной x, получим

126