zaicevVM_2
.pdf1) ∫ |
A |
|
dx = A∫ |
|
1 |
|
|
d( x − c ) = A ln |
|
x − c |
|
+ C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x − c |
|
x − c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x − c )−k +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2) ∫ |
|
A |
|
dx = |
A∫( x − c )−k d( x − c ) = A |
+ C , k ≠ 1 . |
||||||||||||||||||||||||||||||
( x |
|
|
k |
|
|
|
−k + 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
− c ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3) Интегрирование дроби |
|
Mx |
+ N |
|
рассмотрим только для случая t = |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
t |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x + px+q ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. Вначале выделим полный квадрат в знаменателе: |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
p |
|
p2 |
|
p2 |
|
|
p |
|
2 |
|
|
|
||||||||||
|
x |
|
+ px + q |
= x |
|
|
+ 2x |
|
+ |
|
+ q − |
|
|
|
|
|
= x + |
|
|
|
|
+ a |
|
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Мыобозначилиq − |
p2 |
= a2 длякраткости, учитывая, что дискриминант |
|
p2 |
− q < 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(по определению простейшей дроби), а значит q − |
|
|
p2 |
> 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляем интеграл с помощью замены переменной:
∫ |
|
|
Mx + N |
dx =∫ |
|
|
Mx + N |
|
|
dx = |
||||||||||||||
|
x |
2 |
+ px + q |
|
|
|
|
p |
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
|
|
|
|
|
+ a |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tdt |
|
|
|
|
Mp |
|
|
|
dt |
|
|
||||||
|
= |
M ∫ |
|
|
|
|
+ N |
− |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
t |
2 |
+ a |
2 |
2 |
|
|
t |
2 |
+ a |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + |
p |
= t |
|
|
Mt − |
Mp |
+ N |
|
|
|
|
|
|||||||
|
∫ |
2 |
dt = |
||||||
2 |
= |
||||||||
|
|
t 2 |
+ a2 |
||||||
dx = dt |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Первый интеграл вычисляется подведением под знак дифференциала:
∫ |
|
|
tdt |
|
dx = |
1 |
∫ |
d( t 2 |
+ a2 ) |
= |
1 |
ln( t |
2 |
+ a |
2 |
) + C . |
||
t |
2 |
+ a |
2 |
2 |
t |
2 |
+ a |
2 |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл во втором слагаемом является табличным:
|
|
|
|
∫ |
|
|
dt |
|
dx = |
1 |
arctg |
t |
+ C . |
|
|
||
|
|
|
|
|
t |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
+ a |
|
|
a |
a |
|
|
|
||||
|
Итак, возвращаясь к переменной x, получим: |
|
|
|
|||||||||||||
∫ |
Mx + N |
M |
ln( x |
2 |
+ px + q) + |
|
N − 0,5Mp |
|
x + 0,5 p |
|
|||||||
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
+ C . |
|||||||
x2 + px + q |
2 |
|
|
|
|
q − 0,25 p2 |
q − 0,25 p2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
Пример 7.10. Найти J = ∫ |
x4 |
− x2 + 5 x − 2 |
dx . |
|||
x |
3 |
− 2 x |
2 |
+ 2 x |
||
|
|
|
|
Решение. Подынтегральная дробь является неправильной. Выделим целую часть, поделив числитель на знаменатель. Получим
x4 − x2 + 5 x − 2 |
= x + 2 |
+ |
x2 + x − 2 |
. |
|||
x3 − 2 x2 |
+ 2 x |
x3 − 2 x2 |
+ 2 x |
||||
|
|
|
Разложим получившуюся правильную дробь на сумму простейших:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + x − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 + x − 2 |
|
|
|
|
|
A |
|
Bx + D |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
+ |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 − 2 x2 + 2 x |
x (x2 − 2 x + 2) |
x |
x2 − 2 x + 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Избавимся в рассматриваемом разложении от знаменателей, умножая обе час- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ти равенства на x(x2 – 2x + 2): |
|
x2 + x − 2 = A(x2 − 2 x + 2)+(Bx + D) x . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Найдём коэффициенты А, В, D, приравнивая коэффициенты при одинаковых |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
степенях х в полученном тождестве: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
1 = A + B, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 = −2 A + D, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
−2 |
= 2A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение этой системы: A = –1, B = 2, D = –1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
2x −1 |
|
||||||||||||||||
J = |
|
|
|
x + |
2 |
− |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
xdx + 2 |
|
dx − |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||||||||||||||||||||||
|
∫ |
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
∫ |
∫ |
x |
∫ x2 − 2 x + 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 − 2 x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Имеем: |
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
∫ |
|
xdx = |
|
|
|
+C1 ; |
2 |
∫ |
dx = 2 x +C |
2 ; |
∫ |
dx |
= ln | x | +C3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|
|
2x −1 |
|
|
|
dx |
= ∫ |
|
|
|
|
|
2x −1 |
|
dx = |
|
x −1 |
= t x = t |
+ 1, dx = dt |
|
= |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
− 2x + 2 |
( x − |
1 ) |
+ |
1 |
d (t2 +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
=∫ |
2( t +1)−1 |
dt = |
∫ |
2tdt |
|
+∫ |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
= ∫ |
+arctgt =ln(t |
2 +1)+arctg t +C4 = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t2 +1 |
|
|
|
|
t2 +1 |
|
t2 +1 |
|
|
|
t2 +1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= ln((x −1)2 + 1)+ arctg (x −1)+C4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Итак, |
J = |
x2 |
|
+2x −ln |
|
x |
|
+ln(x2 −2x + 2)+arctg(x −1)+C . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
6. Понятие определённого интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть на отрезке [a,b] |
задана функция |
f (x) . Выполним следующие дейст- |
||||||
вия (см. рисунок 1): |
|
x0 = a, x1 , x2 , ... , xn = b (x0 < x1 < ...< xn ) разде- |
||||||
1) с помощью точек |
||||||||
лим отрезок [a,b]на n частичных отрезков [x0 , x1 ],[x1 , x2 ], ... ,[xn−1 , xn ]; |
||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
f(cn ) |
|
|
A |
f(c1) |
|
|
y = f(x) |
|
|
|
|
|
|
f(c2) |
|
f(ck) |
|
|
|
0 |
a |
|
|
|
|
|
b |
|
|
x0 |
c1 |
x1 c2 x2 |
. . . xk–1 |
ck |
xk . . . xn–1cnxn |
x |
|
|
|
|
|
|
Рисунок 1 |
|
|
|
2) выберем на каждом отрезке [ xi−1 , xi ], |
i = 1, ... , n по одной произволь- |
|||||||
ной точке ci [xi−1 , xi ] и вычислим значение функции в ней, т. е. |
f (ci ) ; |
|||||||
3) для |
каждого |
отрезка |
[ xi−1 , xi ], |
i = 1, ... , n составим |
произведение |
f(ci )∆xi , где ∆xi = xi − xi−1 – длина этого отрезка;
4)составим сумму всех таких произведений
n
Sn = f (c1 )∆x1 + f (c2 )∆x2 + ...+ f (cn )∆xn = ∑ f (ci )∆xi , (7.3)
i=1
называемую интегральной суммой функции f (x) на отрезке [a,b].
Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм
при n → ∞ (при условии, что λ = max ∆xi →0 ), который не зависит ни от спо-
i
соба разбиения отрезка [a,b] на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определённым интегралом от функции f (x) на отрезке
b
[a,b] и обозначается ∫ f ( x )dx . Таким образом,
a
23
b |
|
n |
|
∫ f ( x )dx = lim |
∑ f (ci )∆xi . |
(7.4) |
|
|
n→∞ |
|
|
a |
(λ→0) i=1 |
|
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.
Замечание. Понятие определённого интеграла распространяют на случаи, когда a > b и a = b :
b |
a |
при a > b полагают ∫ f (x)dx = −∫ f (x)dx ; |
|
a |
b |
a
при a = b полагают ∫ f (x)dx = 0 .
a
Сформулируем теорему существования определённого интеграла:
если функция f (x) ограничена на отрезке [a,b] и непрерывна на нём всюду,
кроме, быть может, конечного числа точек (в которых функция может быть и
b
не определена), то определённый интеграл ∫ f ( x )dx существует.
a
При этом говорят, что функция f (x) интегрируема на отрезке [a,b].
Геометрический смысл определённого интеграла: если f (x) ≥ 0 на отрезке
b
[a,b], то ∫ f ( x )dx численно равен площади криволинейной трапеции aABb (см.
a
рисунок 1).
Механический смысл определённого интеграла: путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t = a до t = b , равен определённому интегралу от скоро-
b
сти v (t ) : S = ∫v (t )dt .
a
7. Основные свойства определённого интеграла
1) Свойство линейности определённого интеграла:
если A, B – произвольные числа, то
b |
|
b |
b |
|
∫( Af1 |
(x) + Bf2 |
(x))dx = A∫ f1 |
(x)dx + B∫ f2 |
(x)dx , |
a |
|
a |
a |
|
т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов, а постоянный множитель можно
24
выносить за знак определённого интеграла.
2) Свойство аддитивности определённого интеграла:
b |
c |
b |
∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx, c (a,b) , |
||
a |
a |
c |
т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям. 3) Свойство монотонности определённого интеграла:
если x [a, b] f(x) ≤ g(x), то ∫b |
f ( x )dx ≤ ∫b g( x )dx , |
a |
a |
т. е. при a < b можно интегрировать неравенство почленно.
4) «Теорема о среднем»: |
|
|
|
|
||||
если функция f (x) |
непрерывна на отрезке [a,b], то |
|
||||||
|
|
c [a,b]: |
b |
|
||||
|
|
∫ f ( x )dx = f ( c )( b −a ) . |
|
|||||
|
|
|
|
a |
|
|||
|
|
1 |
b |
|
|
|
|
|
Число f (c) = |
|
∫ f (x)dx |
называется средним значением функции |
f (x) |
||||
b |
−a |
|||||||
|
a |
|
|
|
|
|||
на отрезке [a,b]. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
8. Формула Ньютона-Лейбница |
|
|||||||
Если функция |
F (x) является первообразной для непрерывной функции |
|||||||
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
f (x) на отрезке [a,b], то определённый интеграл ∫ f ( x )dx можно вычислить |
||||||||
по формуле Ньютона-Лейбница: |
|
|
a |
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
∫ f ( x )dx = F( x ) |
|
= F (b)− F (a) . |
(7.5) |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
a |
|
|
a |
|
b
Запись F( x )
a
является краткой символической записью разности F (b)− F (a).
Пример 7.11. Вычислить определённые интегралы:
25
4 |
|
|
1 |
|
|
2 |
1 − x, |
0 ≤ x < 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) ∫ |
2 x − |
|
+ 3 |
dx ; |
2) ∫ f (x)dx , если |
f (x) = 1 |
, 1 |
< x ≤ 2 |
. |
||||
x |
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
26
Решение. 1) Подынтегральная функция непрерывна на отрезке [1,4], поэтому можно использовать формулу Ньютона-Лейбница:
4 |
|
|
1 |
|
|
4 |
4 |
|
1 |
4 |
|
4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
= (x |
2 − 2 x + 3x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫ |
2 x − |
|
+ 3 |
dx = 2 |
∫xdx − ∫x |
|
2 dx + 3∫dx |
|
= |
|||||
x |
|
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= ( |
42 − 2 |
4 |
+ 3 4)−(12 − 2 |
1 + 3 1) = 22. |
2) |
Функция |
f (x) ограничена и непрерывна во всех точках отрезка |
[0,2], |
||||||||||||||
кроме точки x = 1, где она имеет разрыв 1-го рода, значит она интегрируема. |
|
||||||||||||||||
Используя свойство аддитивности определённого интеграла, получим |
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
|
x |
2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
∫ f ( x )dx = ∫ |
f ( x )dx + ∫ f ( x )dx = |
∫(1 − x)dx + ∫ |
dx = x − |
|
|
|
|
− |
|
|
|
= 1. |
|||||
2 |
2 |
|
|
x |
|
|
1 |
||||||||||
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Все методы, позволяющие вычислять неопределённые интегралы, применимы и для вычисления определённых интегралов. В частности, можно использовать интегрирование по частям или производить замену переменной. При применении этих методов к определённым интегралам имеются некоторые особенности. Рассмотрим их.
Формула интегрирования по частям для определённого интеграла может быть записана в виде
|
|
|
|
b |
|
ab |
|
b |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
∫udv = (uv ) |
|
− ∫vdu . |
(7.6) |
||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|||||
|
Пример 7.12. Вычислить ∫x sin xdx . |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
u |
= x, |
dv =sinxdx |
|
=(−xcos x) |
|
π |
|
π =π . |
||||
|
|
|
|
||||||||||
∫xsinxdx = |
|
|
+∫cos xdx =−π cosπ +sinx |
|
|||||||||
0 |
|
du =dx, |
v =−cos x |
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
Пусть для вычисления определённого интеграла ∫ f ( x )dx от непрерывной |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
функции сделана подстановка x =ϕ (t ) . Тогда, если: |
|
|
|||||||||||
|
1) функция |
x =ϕ (t ) и её производная |
|
x′ =ϕ′(t ) непрерывны на |
|
отрезке |
|||||||
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
[α,β ];
2)множеством значений функции x =ϕ (t ) приt [α,β ]является отрезок [a,b];
3)ϕ (α) = a и ϕ (β ) = b ,
то справедлива формула замены переменной в определённом интеграле
∫b |
β |
|
f ( x )dx = ∫ f (ϕ( t ))ϕ′( t )dt . |
(7.7) |
|
a |
α |
|
Замечания.
1) Новые пределы интегрирования α и β являются корнями уравнений
ϕ(t ) = a и ϕ (t ) = b соответственно.
2)Иногда замена переменной в определённом интеграле производится не по формуле x =ϕ (t ) , а по формуле t = g (x) . Тогда новые пределы α и β легко оп-
ределяются: α = g (a) , β = g (b) . В этом случае должна существовать обратная функция x = g−1 (t ) .
3)При вычислении определённого интеграла по формуле (7.7) не нужно возвращаться к старой переменной интегрирования (как обязательно нужно делать в неопределённом интеграле), так как пределы интегрирования уже будут изменены
всоответствии с подстановкой.
4)При использовании подстановки в определённом интеграле необходимо проверять выполнение всех сформулированных условий, иначе может быть получен неверный результат.
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 7.13. Вычислить ∫4 |
dx |
|
|
|
|
с помощью подстановки tgx = t . |
||||||||||||
|
1 + 2 sin |
2 |
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
2 |
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫4 |
dx |
|
= |
tgx = t , |
x = arctgt , |
dx = |
|
, |
sin |
|
x = |
|
, |
|
= |
||||
|
1 + t 2 |
|
1 + t 2 |
||||||||||||||||
2 |
x |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
0 |
1 + 2 sin |
|
x = 0 |
t = 0, x = |
t = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
28
1 |
|
|
dt |
|
|
|
1 |
dt |
|
|
1 |
1 |
|
|
dt |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
t |
|
1 |
π |
|
|||
|
|
1 + t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= ∫ |
|
|
|
|
|
= ∫ |
|
|
= |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
arctg |
|
|
= |
|
. |
|||
|
|
|
t |
2 |
|
1 + 3t |
2 |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
1 |
1 |
3 3 |
||||||||||||
0 |
1 |
+ 2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
+ t |
2 |
|
|
|
|
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
+ t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Несобственные интегралы
Вводя определённый интеграл как предел интегральных сумм, мы предполагали, что отрезок интегрирования конечный, а подынтегральная функция ограничена на этом отрезке. Если хотя бы одно из этих условий не выполнено, данное выше определение теряет смысл. Рассмотрим некоторые возможные обобщения понятия определённого интеграла.
9.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами.
Пусть функция f (x) определена на промежутке [a,+∞) . Если существует
b
конечный предел |
blim→+∞ ∫ f ( x )dx, то его называют несобственным интегралом |
||
|
a |
|
|
от функции f (x) |
на неограниченном промежутке [a,+∞) |
(несобственный ин- |
|
|
|
+∞ |
|
теграл 1-го рода) и обозначают символом |
∫ f ( x )dx. Таким образом, по опре- |
||
делению |
|
a |
|
|
|
|
|
|
+∞ |
b |
|
|
∫ f ( x )dx = blim→+∞ ∫ f ( x )dx, |
(7.8) |
|
|
a |
a |
|
если этот предел существует и конечен. В этом случае принято говорить, что несобственный интеграл существует или сходится. Если же этот предел не сущест-
вует или он бесконечен, то символу +∞∫ f ( x )dx никакого числового значения не
a
приписывают и, называя его по-прежнему несобственным интегралом, говорят, что этот несобственный интеграл не существует или расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке (−∞,b]:
∫b |
f ( x )dx = alim→−∞ ∫b |
f ( x )dx |
(7.8′) |
−∞ |
a |
|
|
и несобственный интеграл на всей числовой оси (−∞,+∞): 29
+∞ |
c |
+∞ |
|
∫ |
f ( x )dx = ∫ |
f ( x )dx + ∫ f ( x )dx , |
(7.8″) |
−∞ |
−∞ |
c |
|
где с – любое число (при условии существования обоих несобственных интегралов справа).
Несобственные интегралы 1-го рода обладают рядом свойств, присущих определённым интегралам. В частности, для них можно записать обобщённые форму-
лы Ньютона-Лейбница:
+∞ |
|
+∞ |
||||
|
||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
f ( x )dx = F( x ) |
|
a = F( +∞ ) − F( a ), |
||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫b |
|
|
|
|
−∞b = F( b ) − F( −∞ ) , |
|
f ( x )dx = F( x ) |
|
|
||||
−∞ |
|
|
|
|||
|
|
|
||||
+∞∫ |
f ( x )dx = F ( x ) |
|
−∞+∞ = F ( +∞ ) − F ( −∞ ) . |
|||
|
||||||
−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь сделаны обозначения: lim F (x) = F (+∞), |
lim F (x) = F (−∞) . |
x→+∞ |
x→−∞ |
Пример 7.14. Исследовать на сходимость несобственный интеграл 1-го рода
+∞∫ dx , где р − произвольное число.
1 x p
|
|
|
|
|
+∞ |
dx |
|
x− p+1 |
|
|
|
|
1 |
, p > 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|||||||||
Решение. а) Если р ≠ 1, то ∫ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= p − 1 |
|
|||||||||||
x |
p |
− p + 1 |
|
1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, p < 1 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|||||
б) Если р = 1, то |
+∞ |
|
|
|
1 |
= ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
∫ dx = ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
+∞ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, несобственный интеграл ∫ |
|
сходится при р > 1 и расходится |
|||||||||||||||||||
p |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
+∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
dx |
|
|
|||||
при р ≤ 1. Например, ∫ |
|
сходится и равен 1 , а ∫ |
расходится. |
||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
9.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций.
Пусть теперь функция f (x) определена на промежутке [a,b), интегрируе-
ма на любом отрезке [a,b1 ] , гдеb1 [a,b) и не ограничена в окрестности точки b. 30