zaicevVM_2

Заметим, что при p ≤ 0 интегральным признаком воспользоваться нельзя, но расходимость ряда следует из того, что его общий член в этом случае не стремится

к нулю при n → ∞, т. е. нарушается необходимое условие сходимости ряда.

2.2. Признаки сравнения рядов.

Первый признак сравнения (или признак мажорации).

88

но убывает на промежутке [2, +∞). Но f(2) = ln 2 – 2 < 0, поэтому f(x) < 0 при

Второй признак сравнения (или предельный признак сравнения).

ет конечный предел lim an = A ≠ 0 , то оба рассматриваемых ряда сходятся или

n→∞ bn

расходятся одновременно.

Для того чтобы пользоваться признаками сравнения, нужно иметь набор рядов, про которые заранее известно, сходятся они или расходятся. Обычно в роли

n=1

89

ряд расходится) и удаётся определить его порядок малости p, то следует этот ряд

одинаковый порядок малости (в частном случае, при A = 1, эквивалентны).

Вывод: знакоположительные ряды, у которых общие члены являются б. м. одинакового порядка малости при n → ∞ (в частности, эквивалентные) одновременно сходятся или расходятся. Если этот порядок малости p > 1, то такие ряды будут сходящимися, иначе расходящимися.

n=1 n

ный ряд также сходится.

2) У общего члена ряда числитель и знаменатель дроби являются б. б. величи-

n=1 n

порядка малости, то и исходный ряд расходится.

2.3. Признак Даламбера.

90

то при r < 1 ряд сходится, при r > 1 ряд расходится, а при r = 1 никакого вывода о сходимости или расходимости ряда делать нельзя. В этом случае нужно пользоваться другими признаками.

Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражение вида n! = 1 2 3 ... n – факториал натурального числа n, или

сn – показательную функцию аргумента n.

Пример 9.7. Исследовать на сходимость ряды

Следовательно, по признаку Даламбера данный ряд сходится.

2) Определим вначале вид общего члена ряда an . Так как a1 = 53 , a2 = 53 58 ,

менателе которой будет n сомножителей, являющихся членами арифметической прогрессии bn (для числителя разность d равна 3, для знаменателя 2). Используя формулу общего члена арифметической прогрессии bn = b1 + d (n − 1) , получим

Вычисляем

91

n=1

lim n an = r , то при r < 1 ряд сходится, при r > 1 – расходится, а при r = 1 во-

n→∞

прос о сходимости остаётся открытым.

Решение. Используем признак Коши. Имеем

Ряд расходится.

3. Знакочередующиеся ряды

Рассмотрим ряды, положительные и отрицательные члены которых следуют друг за другом поочерёдно. Такие ряды называются знакочередующимися рядами.

Знакочередующийся ряд можно записать в виде

∞

a1 − a2 + a3 − a4 + ... = ∑(−1)n+1 an или

n=1

∞

−a1 + a2 − a3 + a4 − ... = ∑(−1)n an ,

является знакочередующимся рядом.

Для знакочередующихся рядов имеется простой и удобный в применении

достаточный признак сходимости Лейбница.

92

∞

Если члены знакочередующегося ряда ∑(−1)n+1 an , an > 0 удовлетворяют

n=1

двум условиям:

1) последовательность {an} монотонно убывает (т. е. a1 > a2 > a3 > ... );

2) общий член ряда стремится к нулю (т. е. lim an = 0 ),

n→∞

то данный ряд сходится. При этом |S – Sn| < an+1 , где S и Sn соответственно сумма и n-я частичная сумма данного ряда.

Итак, ошибка, которая получится, если заменить сумму S сходящегося знакочередующегося ряда его частичной суммой Sn (т. е. отбросить все члены ряда, начиная с an+1) не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов, т. е. an+1.

Решение. Проверим условия признака Лейбница для данного знакочередую-

щегося ряда. При возрастании n знаменатель дроби an = n +1 5 возрастает, поэто-

му an убывает. В этом можно также убедиться, вычислив производную от an , счи-

1

личается от суммы ряда S по абсолютной величине меньше, чем на n + 6 .

Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда

∞

∑an , который содержит бесконечное число как положительных, так и отрица-

n=1

тельных членов, сменяющих друг друга по некоторому закону.

Сформулируем достаточный признак сходимости знакопеременных рядов,

который, конечно, будет справедлив и для частного случая – знакочередующихся рядов.

93

∞

Пусть дан знакопеременный ряд a1 + a2 + ...+ an + ... = ∑an . Если сходит-

n=1

∞

ся ряд a1 + a2 + ...+ an + ... = ∑ an , составленный из модулей членов данного

n=1

ряда, то сходится и знакопеременный ряд.

Заметим, что рассмотренный признак сходимости знакопеременного ряда является достаточным, но не необходимым, так как существуют знакопеременные ряды, которые сходятся, а ряды, составленные из модулей их членов, расходятся.

ный из модулей его членов, расходится (гармонический ряд). Таким образом, все сходящиеся ряды можно разделить на два вида:

1)абсолютно сходящиеся (когда также сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда);

2)не абсолютно (условно) сходящиеся (когда данный ряд сходится, а ряд,

составленный из модулей членов данного ряда, расходится).

Пример 9.10. Исследовать на сходимость ряды:

ного ряда. Для этого знакоположительного ряда воспользуемся признаком Даламбера:

94

дится, т. е. исходный ряд абсолютно не сходится.

Проверим ряд на условную сходимость. Считая n непрерывной переменной, вычислим

щийся, то, согласно признаку Лейбница, исходный ряд сходится. Поскольку данный ряд абсолютно не сходится, то сходимость условная.

В заключение отметим (без доказательства) некоторые свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов.

1.Если ряд сходится абсолютно, то он остается абсолютно сходящимся при любой перестановке его членов. При этом сумма ряда не зависит от перестановок его членов.

2.Если ряд сходится условно, то можно так переставить члены этого ряда, что сумма его окажется равной любому числу, в том числе и бесконечности, т. е. ряд окажется расходящимся.

95

3. Сумма (разность) двух абсолютно сходящихся рядов с суммами S(1) и S(2) есть абсолютный сходящийся ряд с суммой S(1) + S(2) (S(1) – S(2)).

Итак, абсолютно сходящиеся ряды обладают свойствами конечных сумм, а условно сходящиеся ряды в общем случае такими свойствами не обладают.

96

4. Степенные ряды

4.1. Интервал и радиус сходимости.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Здесь x – действительная переменная. Числа an (n = 0, 1, 2, …) называются коэффициентами ряда. В дальнейшем ограничимся случаем, когда все an и величина x0 – действительные числа. Степенной ряд (9.5) называют также рядом по степеням разности x − x0.

Если x0 = 0, то получим степенной ряд вида

n=0

который называют рядом по степеням x.

Степенной ряд (9.5) приводится к виду (9.6) с помощью простого преобразо-

вания x − x0 = t (перенос начала на числовой оси). В силу этого теория степенных рядов (9.5) и (9.6) общая. Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением основных свойств рядов вида (9.6).

При рассмотрении степенных рядов основным вопросом является определение их области сходимости, т. е. множества тех значений x, при которых ряд сходится.

Эта задача решается на базе теоремы Абеля.

Если степенной ряд (9.6) сходится при некотором значении x = x1 ≠ 0, то он абсолютно сходится при всех значениях x, удовлетворяющих неравенству |x|< |x1|.

Если же ряд расходится при некотором значении x = x2, то он расходится и

при всех x, удовлетворяющих неравенству |x| > |x2|.

Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда (9.6).

Действительно, если x1 – точка сходимости, то весь интервал (− |x1|, |x1|) заполнен точками абсолютной сходимости.

Если x2 – точка расходимости, то интервалы (−∞, − |x2|) и (|x2|, +∞) состоят из точек расходимости.

Из этого можно заключить, что существует такое число R, что при |x| < R степенной ряд абсолютно сходится, а при |x| > R – расходится.

Интервал (− R, R) называется интервалом сходимости степенного ряда (9.6). Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Отметим, что интервал сходимости некоторых рядов представляет собой всю числовую прямую (в этом случае R = ∞), у других вырождается в одну точку (слу-

97