zaicevVM_2

A(2; 2) и B(8; 4),

если линейная плотность ρ =

2 x .

16.

Найти момент инерции относительно начала

координат

дуги

кривой

y = e−x , 0 ≤ x ≤ 1 , если линейная плотность

ρ =

1

.

y2 + 1

17.

Найти координаты центра тяжести дуги гиперболы

y =

1

,

1 ≤ x ≤ 2 ,

x

1

если линейная плотность ρ =

.

1 + x5 y

18.

Найти момент инерции относительно начала

координат

дуги

кривой

y =

x −1 ,

2 ≤ x ≤ 5 , если линейная плотность

ρ = y

4 x − 3 .

19.

Найти

координаты

центра

тяжести

дуги

синусоиды

y = sin x ,

0 ≤ x ≤ π , если линейная плотность ρ =

x

.

2

2 − y2

20.

Найти

момент

инерции

относительно

оси

ординат

дуги

кривой

y = e x ,

ln2 ≤ x ≤ ln4 ,

если линейная плотность ρ =

y

.

x2

21.

Найти координаты центра тяжести дуги кривой

x =t, y =t3 ,

0 ≤t ≤1 ,

если линейная плотность ρ = 9xy + 1 .

22.

Найти

момент

инерции относительно

начала

координат

дуги

кривой

r = 4

cos 2ϕ ,

0 ≤ϕ ≤ π , если линейная плотность

ρ = r .

6

23.

Найти

координаты

центра

тяжести

части

окружности

x = 4 cos t ,

y = 4 sint ,

расположенной в первой четверти,

если линейная плот-

ность

ρ = x + 2 y .

24.

Найти момент инерции относительно начала

координат

дуги

кривой

x =cos t +t sint ,

y = sint −t cos t ,

0 ≤ t ≤ π ,

если

линейная

плотность

2

линейная плотность

ρ =

1

.

1 + r 2

26. Найти момент инерции относительно оси абсцисс прямолинейного отрез-

ка, соединяющего

точки

A(0;

–2) и B(4; 0), если линейная плотность

t2

t3

0 ≤t ≤1, если линейная плотность ρ = x .

x =t,

y =

,

z =

,

2

3

28.

Найти

момент

инерции относительно оси

абсцисс дуги

кардиоиды

r = 1 −cosϕ,

0 ≤ϕ ≤π , если линейная плотность ρ = cos ϕ .

2

29. Найти координаты центра тяжести дуги параболы y = 1 − x2 ,

0 ≤ x ≤ 1 ,

если линейная плотность ρ =

4x2 +1 .

30. Найти момент инерции относительно оси ординат однородной дуги аст-

роиды

x = cos3 t ,

y = sin3 t ,

0 ≤ t ≤ π .

2

10.4. Вычислить поверхностный интеграл.

1.

∫∫( 2 y2 z2 + y4 + z4 )dσ , где Σ – часть плоскости x + y + z = 9, вырезан-

Σ

ная цилиндром

y2 + z2 = 1 .

2.

∫∫yzdσ , где Σ – цилиндрическая поверхность

x2 + z2 = 1 , заключённая

Σ

между плоскостями y = 0 и y = 1.

∫∫Σ

2

3.

x

+ y2 + z2 −

3

dσ , где Σ – конечная часть поверхности параболоида

y

2

z2

x = 2 −

−

, отсечённая плоскостью x = 0.

2

2

4.

∫∫( x2 + y2 )dσ , где Σ– коническая поверхность z =

x2 + y2

при усло-

Σ

вии 0 ≤ z ≤ 1.

5.

∫∫z( x + y ) dσ , где Σ – часть цилиндрической поверхности z =

9 − x2 ,

Σ

отсечённая плоскостями y = 0,

y = 2.

x2 + y2

6.

∫∫( 2 − z )dσ , где Σ –

часть поверхности параболоида z = 2 −

,

2

Σ

расположенная над плоскостью Oxy.

7. ∫∫( x2 + y2 + z2 ) dσ ,

где Σ – полусфера z =

R2 − x2 − y2 .

Σ

8.

∫∫( 6 x + 4 y + 3z )dσ , где Σ – часть плоскости

x + 2y + 3z = 6, располо-

Σ

женная в первом октанте.

9.

∫∫ x2 − z2 dσ , где Σ – часть конической поверхности

x =

y2 + z2 , вы-

Σ

резанная цилиндрической поверхностью y = x2.

10.

∫∫( x2 + y + z2 − 2 )dσ , где Σ –

часть

поверхности

параболоида

Σ

2 y = 9 − x2 − z2 , отсечённая плоскостью y = 0.

11.

∫∫zdσ , где Σ – часть поверхности параболоида z = x2 + y2

при условии

Σ

0 ≤ z ≤ 1.

12.

∫∫( x2 + y2 )dσ , где Σ – полусфера z =

R2 − x2 − y2 .

Σ

13.

∫∫( x + y )dσ , где Σ – часть плоскости

z = x,

ограниченная плоскостями

Σ

x + y = 1 , y = 0 , x = 0.

14.

∫∫yx2dσ , где Σ – часть цилиндрической поверхности y =

1 − x2 , вы-

15.

∫∫

dσ

, где Σ – часть цилиндрической поверхности z = 2 x , выре-

1 + 2 x

Σ

занная поверхностями y2 = x и x = 2.

16.

∫∫

x

dσ , где Σ – часть поверхности x =

y2 − z2

, вырезанная плоско-

Σ

y

стями y = 1 и y = 2.

17.

∫∫xyzdσ , где Σ – часть плоскости x + y + z = 1, ограниченная коорди-

Σ

натными плоскостями.

18.

∫∫xyz2dσ , где Σ – часть конической поверхности

z = x2 + y2 , выре-

Σ

занная цилиндром x2 + y2 = R2 при условии x ≥ 0, y ≥ 0 .

19.

∫∫x2 zdσ , где Σ – полусфера z = R2 − x2 − y2 .

Σ

20.

∫∫

y2 + z2 dσ , где Σ– часть плоскости z =7 − 2x − 2 y , вырезанная ци-

Σ

линдром z2 + y2 = 1 .

21.

∫∫

2z

dσ , где Σ – часть поверхности параболоида z = x2 + y2, вы-

1 + 4z2

Σ

резанная конусом z2 = x2 + y2 .

22.

∫∫(x + y + z)dσ , где Σ – полусфера z =

4 − x2 − y2 .

Σ

23.

∫∫

dσ

, где Σ – часть плоскости x + y + z = 1, расположенная в

(1 + x + y)

2

Σ

первом октанте.

24.

∫∫xdσ , где Σ– часть конической поверхности z =

x2 + y2 , вырезанная

Σ

25.

∫∫

x2 + y2 dσ , где Σ– боковая поверхность конуса z =

x2 + y2 при

Σ

условии z ≤ 1 .

26.

∫∫ydσ , где Σ – часть поверхности параболоида 4z = x2 + y2 при условии

Σ

0 ≤ z ≤ 4.

27.

∫∫dσ , где Σ – часть поверхности параболоида z = x2 + y2 + 4 , вырезан-

Σ

ная цилиндром x2 + y2 = 9 .

28.

∫∫x 1 + 2zdσ , где Σ – часть поверхности параболоида

2z = x2 + y2 ,

Σ

вырезанная цилиндром x2 + y2 = 2 ( x ≥ 0,

y ≥ 0 ) .

29.

∫∫zdσ , где Σ – часть полусферы z =

16 − x2 − y2 при условии

Σ

1

x ≤ y ≤

3x .

3

30.

∫∫x( z + y ) dσ , где Σ – часть цилиндрической поверхности

Σ

x =

9 − z2 , отсечённая плоскостями y = 0,

y = 1.