zajcevVM

Очевидно, что система линейных уравнений (1.6) или (1.7) полностью определяется своей расширенной матрицей.

Решением системы (1.6) называется такая совокупность чисел с1 , c2 , ... , cn , что каждое из уравнений системы обращается в тождество после замены неизвестных xi соответствующими числами ci .

5 − 3 = 2

. Таким образом, x1 = 5, x2 = 3 – решение системы.

2 5 + 3 = 13

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет более одного решения.

Система может иметь бесконечное множество решений, как, например, система x1 − x2 = 0 , состоящая из одного уравнения ( m = 1 , n = 2 ). Решением этой системы является любая пара одинаковых чисел.

Две системы будем называть эквивалентными, если они или обе несовместны, или же обе совместны и имеют одни и те же решения.

Универсальным методом решения таких систем является метод Гаусса

(метод последовательного исключения неизвестных).

Идея метода заключается в том, что данную систему преобразуют в эквивалентную систему специального вида, которую уже легко будет решить.

Для этого используют элементарные преобразования системы (1.6):

1)перестановку любых двух уравнений;

2)умножение одного из уравнений на любое ненулевое число;

3)прибавление к одному уравнению другого, умноженного предварительно на произвольное число.

Каждое из перечисленных элементарных преобразований, а, значит, и любая их последовательность, переводит линейную систему в эквивалентную.

Элементарные преобразования системы уравнений равносильны элементарным

преобразованиям над строками ее расширенной матрицы A B . Поэтому в

21

1)1-я строка прибавлена ко 2-й, затем 1-я строка, умноженная на (–3), прибавлена к 3-й;

2)2-я строка, умноженная на 2, прибавлена к 3-й строке.

Получили r( A ) = 2, r( A | B ) = 3 . Согласно теореме Кронекера - Капелли

Здесь последовательно выполнены следующие элементарные преобразования:

1)1-я строка, умноженная на (–2), прибавлена ко 2-й, затем 1-я строка, умноженная на (–1), прибавлена к 3-й, затем 1-я строка, умноженная на (–3), прибавлена к 4-й;

2)переставлены местами 2-й и 3-й столбцы, при этом порядок неизвестных изменился;

3)2-я строка прибавлена к 3-й, затем 2-я строка, умноженная на 2, прибавлена

к4-й строке;

4)3-я строка, умноженная на (–3), прибавлена к 4-й.

Получили r = r( A ) = r( A | B ) = 3 , значит система совместна. Так как число

неизвестных n = 3 = r , то система имеет единственное решение. Полученной расширенной матрице соответствует система:

Из последнего уравнения имеем x2 = 2 , подставляя это значение во второе уравнение, получим x3 = 3 , а затем из первого уравнения находим x1 = 1 .

Итак, единственное решение системы: x1 = 1, x2 = 2 , x3 = 3 .

23

Последовательно находим

x4 = −2 − 13x5 , x3 = 2 − 9 x5 − 2 x4 = 2 − 9 x5 − 2( −2 − 13x5 ) = 6 + 17 x5 , x1 = 1 + 4 x5 − x2 + x3 + 2 x4 = 1 + 4 x5 − x2 + 6 + 17 x5 + 2 ( −2 − 13x5 ) =

= 3 − x2 − 5 x5 .

Итак, общее решение системы, т. е. общая формула для всех решений системы имеет вид: x1 = 3 − x2 − 5 x5 , x3 = 6 + 17 x5 , x4 = −2 − 13 x5 , где x2 , x5

могут принимать произвольные значения.

Рассмотрим частный случай системы линейных уравнений: матрица системы А – квадратная (число уравнений m совпадает с числом неизвестных n) и

невырожденная ( ∆ = A ≠ 0 ) ( крамеровская система).

24

В этом случае r = r( A ) = r( A | B ) = n , поэтому крамеровская система всегда имеет единственное решение.

Кроме универсального метода Гаусса, для решения крамеровских систем можно применять еще и другие методы. Рассмотрим эти методы.

Если ∆ ≠ 0 , то единственное pешение системы можно найти по правилу Кpамеpа:

где ∆j – опpеделители, получаемые из опpеделителя системы ∆ заменой j-го

Eдинственное pешение крамеровской системы можно получить и с помощью обратной матрицы по формуле:

Пример 1. 11. Решить систему из примера 1.10 с помощью обратной матрицы.

Решение. Имеем

25

Найдём обратную матрицу А−1 . Для этого вначале вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Итак, решение системы x1 = −3 , x2 = 2 , x3 = 1 . Сравните с результатом в примере 1.10.

Система линейных уравнений называется однородной, если все её свободные члены равны нулю.

Независимо от того, будет ли число уравнений m системы меньше, равно или больше числа неизвестных n, однородная система всегда совместна, так как имеет нулевое решение x1 = x2 = ... = xn = 0 .

Важным является вопрос о том, имеются ли у однородной системы решения, отличные от нулевого.

Так как однородная система является частным случаем системы (1.6), то все результаты, ранее полученные для систем линейных уравнений, будут справедливы и для однородных систем. Заметим, что однородную систему полностью определяет матрица коэффициентов А, поэтому использовать расширенную матрицу не нужно (добавление нулевого столбца ничего не изменит).

Используя теорему о числе решений для системы (1.6), запишем основные результаты для однородной системы.

1. Если rang( A ) = n , то одородная система имеет единственное решение, а

это означает, что система имеет только нулевое решение.

В частности, если при этом m = n (квадратная система), то условие rang( A ) = n равносильно условию | A |≠ 0 .

26

2. Если rang(A) < n, то однородная система имеет бесконечное множество ненулевых решений (например, при m < n). При этом, для квадратной однородной системы условие rang(A) < n равносильно условию | A |= 0 .

Пpимеp 1. 12. Решить однородные системы уpавнений:

поэтому система имеет единственное решение. Для однородной системы это

то система имеет бесконечное множество решений. Неизвестные x1 , x2 возьмём

27

базисными, а x3 – свободной. Тогда исходная система уpавнений сводится к

пpоизвольное значение, например, х3 = 3t, можно записать pешение исходной

28

1.2. Вычислить опpеделитель 3-го поpядка:

1)pазложив по элементам какой-либо строки или какого-либо столбца;

2)дpугим способом (напpимеp, по пpавилу Саppюса).

Сpавните pезультаты.