zajcevVM

Рисунок 7б

5) Обратные тригонометрические функции y = arcsinx, y = arccosx,

y = arctgx и y = arcctgx, называемые соответственно арксинусом, арккосинусом,

арктангенсом и арккотангенсом.

Нарисунках8а и8бпоказаны графикиобратныхтригонометрических функций.

61

Элементарными называются функции, получаемые из основных элементарных функций с помощью арифметических операций и суперпозиций (взятия функций от функций), примененных конечное число раз.

6. Понятие предела функции

При рассмотрении предела функции используется понятие окрестности точки.

Любой интервал (a, b), содержащий некоторую точку x0 числовой прямой, называется окрестностью этой точки и обозначается U( x0 ) . В частности,

попадание точки x в δ - окрестность точки x0 .

Если из окрестности U( x0 ) исключить точку x0, то говорят о проколотой

окрестности U°( x0 ).

Множество Uδo ( x0 ) ={ x R : 0 < x − x0 <δ} называется проколотой δ -

окрестностью точки x0 .

Проколотые окрестности бесконечно удалённых точек +∞, –∞ и их объединения ∞ считаются совпадающими с окрестностями этих точек, т. е. при δ > 0

Uδo ( +∞) =Uδ ( +∞ ) ={x R : x > 1δ} = (1δ , + ∞), Uδo ( −∞) =Uδ ( −∞ ) ={x R : x < − 1δ}= (−∞, − 1δ ),

Uδo ( ∞) =Uδ ( ∞) ={x R : | x |> 1δ}= (−∞, − 1δ ) (1δ , + ∞).

Число b называют пределом функции f(x) в точке x0 и обозначают

b = lim f ( x ) , если для любой окрестности точки b найдётся такая проколотая

x→x0

окрестность точки x0, что любое число x из неё переводится функцией f(x) в окрестность точки b.

Это определение коротко можно записать так:

lim f (x) = b Uε (b) Uδo (x0 ) : x Uδo (x0 ) f (x) Uε (b) . (3.1)

x→x0

При обозначении предела иногда пишут f(x)→ b при x→ x0 и читают так: « f(х) стремится к b при x стремящемся к x0 ».

62

Это достаточно общее определение предела функции и в нём точки x0 и b числовой прямой не обязательно конечны. Важно лишь правильно выбрать окрестности, когда эти точки конечны и когда они таковыми не являются.

Например, для случая конечных x0 , b:

lim f (x) = b ε > 0 δ > 0 : 0 < x − x0 < δ f (x) − b < ε . (3.2)

x→x0

Если x→ x0 и при этом x < x0, то говорят, что x стремится к x0 слева и пишут x→ x0 – 0. Аналогично, если x→ x0 и x > x0, то x стремится к x0 справа и

положительное число. Поэтому в качествеδ можно взять любое положительное число.

Односторонние пределы не совпадают, поэтому lim sgn x не существует.

x→0

Сформулируем основные теоремы о пределах.

Теорема об единственности предела. Если существует предел функции при

х→ x0, то он единственный.

63

Теорема о пределе суммы, произведения и частного. Если существуют

Замечание. Из последней теоремы следует, что:

1) постоянный сомножитель с можно выносить за символ предела, т. е.

Теорема о пределе элементарной функции. Предел элементарной функции в любой точке x0 её области определения равен значению функции в этой точке:

lim f ( x ) = f ( x0 ) .

x→x0

7. Предел числовой последовательности

Рассмотрим действительную функцию натурального аргумента, т. е. f(n) R,

n N. Такую функцию называют числовой последовательностью и обычно обозначают так:

xn = f(n) R, n N или {xn}, n N.

Числа x1 , x2 , x3 , …, xn , … называют элементами (или членами)

последовательности, символ xn – общим элементом последовательности, а число n

– его номером.

Формула, задающая величину xn , называется формулой общего элемента последовательности {xn} и она полностью определяет последовательность.

Например, последовательность {n2} задана формулой xn = n2. С помощью

этой формулы можно вычислить любой элемент этой последовательности: x1 = 12 = 1, x2 = 22 = 4, x5 = 52 = 25 и т. д.

Однако знание нескольких первых элементов последовательности ещё не определяет саму последовательность. Нужно ещё определить вид общего элемента.

Например, последовательность задана такими первыми элементами: 2, 10, 26,

82, 242, 730, … . Заметим, что 2 = 3 – 1, 10 = 32 + 1, 26 = 33 – 1, 82 = 34 +1 и

т. д. Итак, формула общего элемента xn = 3n +(–1)n.

64

Последовательность {xn} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число M (число m) такое, что n N xn ≤ M (xn ≥ m) .

Последовательность {xn} называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу. Условие ограниченности можно записать в виде:

C : xn ≤ C n N .

Дадим определение конечного предела последовательности.

Число b называется пределом последовательности {xn}, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε можно указать такое натуральное число n0, что при всех n ≥ n0 элементы последовательности xn отличаются от b

меньше, чем на ε.

Это определение можно записать в символической форме:

В общем случае n0 зависит от ε. Как правило, чем меньше ε, тем больше n0. Последовательность, для которой точка b является пределом, называют

сходящейся к этой точке.

В отличие от сходящихся последовательностей, которые сходятся к конечному пределу, последовательности, которые имеют бесконечный предел (также, как и последовательности, не имеющие ни конечного, ни бесконечного предела)

называют расходящимися.

( −1 )n n

последовательность расходится.

n + 1

Решение. В самом деле, если выбрать, например, ε = 1, то все элементы

65

последовательности с чётными номерами попадают в ε – окрестность точки x = 1, а все элементы с нечётными номерами – в ε – окрестность совсем иной точки x = –1, причём эти окрестности не имеют общих точек (рисунок 6).

Рисунок 9

Но, по определению, если бы одна из точек x = 1 или x = –1 была пределом этой последовательности, то все её элементы, начиная с некоторого номера, должны были попасть в выбранную окрестность этой точки.

Если для последовательности {xn} справедливо неравенство xn ≤ xn+1 (в

частности, xn < xn+1 ) или xn ≥ xn+1 (в частности, xn > xn+1 ) n N, то её называют неубывающей (в частности, возрастающей) или невозрастающей (в

частности, убывающей). Последовательности всех этих типов, изменяющиеся в одном направлении, объединяются под общим названием монотонных (в частности, строго монотонных) последовательностей. В этом случае обычно говорят, что последовательность монотонно возрастает или монотонно убывает.

Для монотонных последовательностей имеет место важная теорема Вейерштрасса: монотонная ограниченная последовательность имеет конечный предел, т. е. сходится.

Пример 3.13. Доказать, что последовательность с общим элементом xn = nn!n

сходится.

Решение. Напомним, что n! = 1 2 3 ... ( n −1 ) n – факториал числа n. Достаточно показать, что данная последовательность монотонна и ограничена. Для

монотонно убывает и ограничена сверху. Так как xn > 0, то она ограничена снизу, например, нулём. Следовательно, последовательность монотонна и ограничена. По теореме Вейерштрасса она сходится, т. е. имеет конечный предел.

8. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

x→x0

Сумма конечного числа б. м. функций и произведение б. м. функций являются

66

б. м. функциями. Этого, вообще говоря, нельзя сказать о частном: деление одной б. м. на другую может привести к различным результатам, говорят, что имеется

0

неопределённость вида . В этом случае надо применять специальные приёмы

0

раскрытия неопределённости.

подстановкой вместо x величины 1, в данном случае имеем отношение двух б. м.

0

функций (неопределённость ).

0

Так как многочлены числителя и знаменателя дроби обращаются в ноль при x = 1, то, можно без остатка разделить эти многочлены на (x – 1):

67

Можно иначе решить эту задачу путем замены переменной. Полагая x=t6, получим t→ 1 при x→ 1, поэтому

При вычислении пределов часто используются два замечательных (из-за большого числа их приложений) предела:

Иррациональное число e = 2,71828... ≈ 2,72 называют неперовым числом. В

курсе математики важное значение имеют экспонента ex и натуральный логарифм ln x = loge x .

Укажем важное свойство эквивалентных б. м.:

68

Пусть α(x) – б. м. функция при x→x0. Приведем таблицу основных эквивалентностей, которая во многих случаях позволяет упрощать вычисление

если α (x) – б. м. функция при x→ x0, то α(1x ) – б. б. функция при x→ x0.

69

эквивалентных б. б. функций (определение и обозначение такое же, что и для б. м.).

∞

Решение. Здесь неопределённость вида . Раскроем её, используя

∞

70