Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

zajcevVM

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

				2		x			π
14. 1)	y = arctg						,	y′′		;
					2
									2
15. 1) y = e3 x+1 , y′′(0) ;
16. 1) y = x3 tg x , y′′(0);
17. 1)	y = ln(ln					x ),		y′′(e) ;
18. 1)	y = arctg					x , y′′(1) ;
19. 1) y = 2− x x2 , y′′(0);
20. 1) y = x3e4−x , y′′(4) ;
21. 1)	y =		x2			, y′′(1);
		1	− 2 x

22. 1)	y = log2 ( x −							x ) ,	y′′(4) ;
23. 1)	y = arctg					x − 1 ,			y′′(5) ;
24. 1) y = x3 e x2 , y′′(0);

	x =		5 − t 2
2)					,	yxx//	при t = 2 .
2)		1			,	yxx//	при t = 2 .
	y =	1
	y =	t
		t
			t	cos t
2)	x = e			cos t	,	yxx//	при t = 0 .
2)				sin t	,	yxx//	при t = 0 .
	y = et			sin t

						2
		x = t

2)			1						3						,		yxx//			при t = 1 .
		y =						t				− t
		y =	3					t				− t
			3
							−2t
2)		x = e											,				yxx//		при t = 0 .
2)													,				yxx//		при t = 0 .
		y = cos2											t

2)		x = arcsin t														,		yxx//		при t = 0 .
2)																,		yxx//		при t = 0 .
		y = t 2
		x = ln 2t
2)									1					,			yxx// при t = 2 .
2)									1					,			yxx// при t = 2 .
		y =
		y =			1 + t								2
					1 + t
				π				ln 4t
2)		x =			2			ln 4t							,		yxx//			при t = π .
2)					2										,		yxx//			при t = π .

		y = sin 2t
2)		x = cos t − sin t																,		yxx// при t = 0 .
2)																		,		yxx// при t = 0 .
		y = sin t + cos t
											t
		x = cos																yxx//
2)		x = cos								2 ,										при t = π .
2)										2 ,										при t = π .

		y = t − sin t
			2				+ 2t
2)	x = t						+ 2t										,		yxx// при t = 1 .
2)			3 + 8t − 1														,		yxx// при t = 1 .
	y = t		3 + 8t − 1

						2								2
	x = (t							−				1)		2
2)	x = (t							−				1)				,			//	при t = 0 .
2)																,		yxx		при t = 0 .
	y = ln(1 + t )

101

25. 1)	y = 1 − xe2 x , y′′(0) ;
26. 1)	y =	arctg		1	, y′′	(2);

				2 x
27. 1)	y =	e− x2	, y′′(1) ;

		2 x
28. 1)	y = 2x lg x , y′′(1) ;

	x =				t + t
2)			1				,		yxx// при t = 1 .
2)			1				,		yxx// при t = 1 .
	y =					− 3t
	y =		t			− 3t
			t
				2t
	x = e			2t				,	yxx// при t = 0 .
2)	x = e							,	yxx// при t = 0 .
	y = 2 cos 2t
2)	x = tgt						,	yxx// при t = 0 .
2)							,	yxx// при t = 0 .
	y = cos 2t
	x = ln t
2)		1					1	,	yxx// при t = 1 .
2)		1					1	,	yxx// при t = 1 .
	y =			t +
	y =	2		t +			t
		2					t

x = cos t

, y′′(2) ;

29. 1)

y =

( 2

− x )ln

yxx при t =

y = ln(cos t )

ln x

−t

, y′′(1);

x = 2

30. 1)

y =

2 t ,

yxx при t = 0 .

x + 1

y = 2

4.3. Решить задачу.

1. Написать уравнения касательных к гиперболе

y =

x − 4

в точках её пересе-

x − 2

чения с осями координат.

2. В какой точке M0 кривой y2 = 2x3

её нормаль параллельна прямой

4x – 3y + 2 = 0? Записать в этой точке уравнения касательной и нормали.

3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой x5 + y5 – 2xy = 0 в точке M0 (1;1).

4. Найти точку на параболе y = x2 – 3x + 6, в которой касательная составляет угол 45° с осью OX. Записать в этой точке уравнения касательной и нормали.

5. В точках пересечения прямой x – y + 1 = 0 и параболы y = x2 – 4x + 5 на-

писать уравнения касательных.
6. В какой точке касательная к кривой y = x2 + 4x параллельна оси OX?	Запи-
сать в этой точке уравнения касательной и нормали.
7. Составить уравнения касательной и нормали к кривой y = − x + 2	в точке
пересечения её с биссектрисой первого координатного угла.

102

8. Записать уравнения касательных к кривой y = x − x2 её с осью абсцисс.

9. Написать уравнения касательной и нормали к кривой с абсциссой x0 = 1.

10. Написать уравнения касательной и нормали к кривой

в точках пересечения

y = x3 – 5x + 5 в точке

x = arctg t

y = ln(1 + t 2 ) в

точке при t = 1.

11. Написать уравнения касательной и нормали к кривой ey + xy = e в точке

M0 (0; 1).

12. Написать уравнения касательной и нормали к кривой y = tg2x в начале координат.

13. Написать уравнения касательных к параболе y = 2x2 – 4x + 4, проходящих через точку M0 (– 1; 2).

14. Написать уравнения касательной и нормали к кривой y = 2 cos x в точке с абсциссой x0 = π2 .

15. Найти абсциссу точки на параболе y = 6x – x2, касательная в которой с осью OX составляет угол 45°. Записать в этой точке уравнения касательной и нормали.

16. Найти угол наклона касательной к параболе y =	4 x − x2	в точке M0 (2; 1).
16. Найти угол наклона касательной к параболе y =	4	в точке M0 (2; 1).
	4
Записать в этой точке уравнения касательной и нормали.
17. Написать уравнения касательной и нормали к кривой y =		1	при x = 1.
17. Написать уравнения касательной и нормали к кривой y =		1 + x2	при x = 1.
		1 + x2

18. Написать уравнения касательных к окружности x2 + y2 = 8 , составляющих с осью OX угол 45°.

19. Написать уравнение касательной к кривой y = x3 + x2 параллельной пря-

мой y = 5x + 1.

20. Найти угол наклона касательной к гиперболе y =	1	в точке M0 (1; 1). За-
	x

писать в этой точке уравнения касательной и нормали.

21. В какой точке касательная к параболе y = x2 + x перпендикулярна прямой x + 2 y −7 = 0 ? Найти уравнения касательной и нормали в этой точке.

103

22. В какой точке касательная к параболе y = x2 − 2 x + 4	образует с осью
ОX угол, равный 450 ? Записать уравнения касательной и нормали в этой точке.
23. В какой точке касательная к параболе y = 2 x2 − x + 1	параллельна пря-
мой y = 3 x + 5 ? Записать уравнения касательной и нормали в этой точке.
24. Записать уравнения касательных, проведенных к окружности
x2 + y2 = 10 x в точках, ординаты которых равны 4.
x = cos t		при t =	π	.
25. Записать уравнения касательной и нормали к кривой			4
y = sin t

26. В какой точке касательная к параболе y2 = 8 x параллельна прямой 2 x + 2 y − 3 = 0 ? Записать уравнения касательной и нормали в этой точке.

27. Записать уравнения касательных к параболе y = x2 − 4 x + 4 в точках, ординаты которых равны единице.

28.	На синусоиде y = sin x найти точки, в каждой из которых касательная
параллельна прямой		x − y + 1 = 0 . Записать уравнения касательной и нормали к
синусоиде в одной из этих точек.
29.	К параболе	y = 3 x2 −5 x + 8 в некоторой точке проведена касательная

под углом 450 к оси абсцисс. Найти координаты точки касания, записать уравнения касательной и нормали к параболе в этой точке.

30. Записать уравнения касательной и нормали к линии y = x + 4 в точке её пересечения с прямой y = 23 x .

104

Раздел 5. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Литература: [ 2, модуль 11 ]; [ 3, глава 5 ]; [ 4, глава 4 ]; [ 5, глава 5].

1. Теоремы о среднем

Рассмотрим некоторые весьма важные теоремы и формулы, которые будут использоваться в дальнейшем.

Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на (a,b) (т. е. во всех его внутренних точках). Если f(a) = f(b), то найдётся точка c ( a ,b ) : f ′( c ) = 0.

В условиях теоремы Ролля на графике функции y = f(x) найдётся, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна оси Ox (геометрический смысл теоремы Ролля ).

Теорема Коши. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на [a,b], дифференцируемы на (a,b), причём g′( x ) ≠ 0 x ( a,b ). Тогда существует c ( a,b ) :

f ( b ) − f ( a )	=	f ′( c )	.	(5.1)
g( b ) − g( a )
		g′( c )

Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на [a,b], дифференцируема

на (a,b), то c ( a,b ) :
f ( b ) − f ( a ) = f ′( c )( b − a ).	(5.2)

Равенство (5.2) называется формулой Лагранжа или формулой конечных при-

ращений (приращение аргумента b − a на отрезке [a,b] не бесконечно мало, как и

приращение функции f(b) − f(a) в общем случае). Эта формула имеет многообразное применение в математическом анализе.

Во всех трёх рассмотренных теоремах фигурирует под знаком производных некоторое среднее значение аргумента c ( a,b ), которое остаётся неизвестным. В

связи с этим обстоятельством все приведённые теоремы обычно называют теоре-

мами о среднем значении.

2. Формула Тейлора

Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет в ней производные до (n + 1) -го порядка включительно, то для любого x из этой окре-

105

стности найдётся точка c между x и x0 такая, что справедлива формула Тейлора

′

′′

(n)

( x0 )

f( x)= f ( x

f ( x0 )

( x−x

f ( x0 )

( x−x )2

+...+

( x−x

)n +r

(x) ,

(5.3)

где r (x) =

f ( n+1 )( c )

( x

− x

)n+1

–

остаточный член формулы Тейлора,

запи-

( n + 1 )!

санный в форме Лагранжа.

Таким

образом, формула

Тейлора даёт

возможность заменить

функцию

y = f (x) многочленом

′

′′

(n)

( x0 )

P ( x) = f( x

f ( x0 )

( x

−x )+

f ( x0 )

( x−x )2

...+

( x−x )n

с погрешностью, равной значению остаточного члена rn (x).

Часто формула Тейлора применяется при

x0 = 0 (т. е. в окрестности нуля). В

этом частном случае её называют формулой Маклорена:

′

′′

( n )

(0 )

( n+1 )

( c )

n+1

f ( x ) =

f (0 ) +

f (0 )

+ ...+

(5.4)

( n + 1 )!

где с − точка между нулём и x.

Пример 5.1. Записать для функции f(x) = lnx формулу Тейлора в окрестности точки x = 1 с остаточным членом в форме Лагранжа.

Решение. Вычислим значения функции и её производных при x = 1:

f(x) = lnx , f(1) = ln1 = 0;

′

( x ) =

′

( 1 ) = 1 ;

x ,

(ln x )

′′

1 ′

−1 ′

−2

′′

( 1 )

= −1 ;

( x )

= ( x

= −1 x

)

′′′

( x )

= ( −1

−2

′

−3

′′′

( 1 ) = 1

2 ;

)

= 1

( 4 )

( x ) = ( 1

−3 ′

2 3x

−4

, f

( 4 )

( 1 ) = −1 2 3.

) = −1

Нетрудно заметить, что

f(n)(x) = (−1)n − 1(n−1)!x− n, поэтому f(n)(1) = (−1)n − 1(n−1)!.

Напомним, что 0! = 1. Итак, согласно (5.3)

(при

x0 = 1 ):

106

ln x = 0 +

(x − 1) +

−1

(x − 1)2

1 2

(x − 3)3

−1 2 3

(x − 3)4

+K+

+ (−1)n−1 (n − 1)! ( x − 1)n + rn (x) = n!

= x −1− 21( x −1)2 + 13( x −1)3 − 41( x −1)4 +...+(−1)n−1 n1( x −1)n +rn ( x).

Запишем остаточный член в форме Лагранжа:

r (x) =

(

−1)n n!c−n

(x −1)

n+1

(−1)n

(x −1)

n+1

(n + 1)!

(n + 1)cn

Пример 5.2. Разложить функцию f(x) = ex в окрестности x = 0. С помощью

полученного разложения вычислить e с точностью до 0,01.

Решение. Так как (ex)(n) = ex , то f(0) = f(n)(0) = 1

n N . Подставляем эти

результаты в формулу Маклорена (5.4):

e x =

1 +

...+

xn+1 .

( n + 1 )!

Чтобы вычислить e = e1, нужно применить полученную формулу при x = 1:

e = 1 +	1	+	1	+ ...+	1	+	ec	, где 0 < c < 1. Точное значение нет возмож-
	1!		2!		n!		( n + 1 )!

ности получить, так как в правой части присутствует неизвестное значение с. Если

отбросить

остаточный

член, то

получим

приближённое

равенство

e ≈ 1 +

...+

и ошибка (погрешность) равна r ( 1 ) =

. Ясно,

( n

+ 1 )!

что rn → 0

при

n → ∞ . Поэтому

необходимо

определить

такое n, чтобы

r ≤ 0,01 . Так как 0 < c < 1, то 0 < ec < e < 3, а, значит, r <

( n

+ 1 )!

Итак, должно

< 0,01

( n + 1 )! > 300 .

( n + 1 )!

При n = 5 требуемое неравенство выполняется, поэтому с заданной точностью

e ≈1+ 1!1 + 2!1 + 3!1 + 4!1 + 5!1 = 1+1+ 21 + 61 + 241 + 1201 = 120326 = 2,71(6 ) ≈ 2,72 .

107

3. Правило Лопиталя

Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций

f (x)	и g (x) при x → x	(неопределённость вида	0		или	∞ ) равен преде-

	0			0
						∞

лу отношения их производных при x → x0 , если последний существует:

lim

f (x)

= lim

f ′(x)

(5.5)

g (x)

g′(x)

x→x0

Правило применимо и в случае x → ∞ .

Если производные

f ′(x)

и g′(x)

удовлетворяют тем же условиям, что и

функции f (x)

и g (x) , то правило Лопиталя можно применить ещё раз:

lim

f (x)

= lim

f ′(x)

lim

′′(x)

и т. д.

g (x)

g′(x)

g′′(x)

x→x0

(00 ),

(∞0 ),

(1∞ ) вначале

Неопределённости

вида

(∞ −∞), (0 ∞),

∞

следует преобразовать к неопределённостям вида

или

и далее исполь-

∞

зовать правило Лопиталя.

Пример 5.3. Вычислить пределы, применяя правило Лопиталя:

1) lim	x3	− 2 x2 − x + 2		;
		x3	−7 x +6
x→1

3) lim		1	−	1	;

				x − 1
x→1	ln x

2) lim	x8	;

x→+∞ e x

4) lim (cos 2 x )x2 .

x→0

Решение. 1) Подстановка предельного значения аргумента x = 1 приводит к

неопределённости вида 0 . Применяя правило Лопиталя, получим:

−x +2

′

−4x −1

3−4−1

lim

−2x

= lim

( x

−2x

−x +2)

= lim

′

−7

x −7x +6

3x −7

x→1

∞

. Применяя правило Ло-

2) При x → +∞ имеем неопределённость вида

∞

( x

′

питаля, получим: lim

lim

)

lim 8 x

∞ .

∞

′

x→+∞

( e

x→+∞

∞

)

108

Неопределённость пока осталась, но степень в числителе уменьшилась на единицу. Поэтому после восьми применений правила Лопиталя неопределённость будет раскрыта:

lim

= lim

8 7 x6

∞

= lim

8 7 6x5

∞

= ...= lim

8 7 6 ... 1

=0 .

x→+∞ ex

x→+∞

∞

x→+∞

∞

x→+∞

Отметим, что при любых a > 1 и n ≥ 0 справедлива формула

lim	xn	= 0 .

x→+∞ a x

3) При x → 1 получаем неопределённость вида (∞ −∞), так как дроби

ln x

и	1	стремятся к бесконечности одного знака при любом способе x → 1 .
и	x − 1
	x − 1
Преобразуем разность, представив её в виде дроби:
		1		−	1	=	x − 1 − ln x	.
			ln x	−	x − 1	=		.
			ln x		x − 1		( x − 1 )ln x

Полученное частное при x = 1 даёт неопределённость уже вида , для которой

можно применить правило Лопиталя. Следовательно,

x − 1 − ln x

′

lim

−

= ( ∞ − ∞ ) = lim

= lim

( x − 1 − ln x )

x→1

x − 1

x→1

( x − 1 )ln x

x→1

(( x −

′

ln x

1 )ln x )

1 −

x − 1

= lim

x→1

x→1 x ln x + x − 1

x→1 ln x + 1 + 1

ln x + ( x −

1 )

Заметим, что

lim

−

не существует, хотя этот предел очень по-

− x

x→1

ln x

хож на предыдущий. Действительно, если x → 1 + 0, то

→+∞ ,

→+∞−(−∞)=+∞

→−∞

−

, неопределённости нет.

lnx

1−x

lnx

1−x

Аналогично, если x → 1 – 0, то

→−∞ ,

→+∞

−

→−∞−∞=−∞ .

lnx

1−x

lnx

−x

Итак, односторонние пределы не совпадают, поэтому искомый предел не существует.

4) Имеем неопределённость вида (1∞). Но можно представить

109

1			1	ln(cos 2 x )
1		= eln(cos 2 x )x2
(cos 2 x )	x2	= eln(cos 2 x )x2		= e x2		.
В показателе степени получена неопределённость вида					0		при x →0 , для рас-


					0

крытия которой можно применить правило Лопиталя:

′

lim

ln(cos 2 x )

lim

(ln(cos 2 x ))

lim

−2tg2 x

′

x→0

2 x = e−2 =

lim (cos 2 x )x

= ( 1∞ ) = ex→0

= e

( x

)

= ex→0

x→0

Мы здесь воспользовались эквивалентностью tg2x ~ 2x при x →0 .

4. Исследование функций и построение графиков

4.1. Достаточный признак возрастания и убывания функции.

Если функция f (x) дифференцируема на (a,b) и f ′(x) > 0 ( f ′(x) < 0)

при всех x (a,b) , то функция f (x) возрастает (убывает) на (a,b) .

Выпишем правило исследования на возрастание и убывание функции, диффе-

ренцируемой всюду в её области определения, за исключением, быть может, конечного числа точек:

1) Находим точки из области определения функции f (x) , в которых производная функции равна нулю или не существует. Эти точки называют критическими

точками 1-го рода, они разбивают область определения функции						f (x)	на интер-
валы монотонности (так как на каждом из них производная						f ′( x )	сохраняет
знак).
2) Исследуем знак f ′( x ) на каждом из этих интервалов. Если на рассматри-
ваемом интервале			f ′( x ) > 0, то это интервал возрастания, если же f ′( x ) < 0 , то
это интервал убывания.							1
Пример 5.4. Найти интервалы монотонности функции					f ( x ) = x +			.

							x
Решение. Область определения функции: ( −∞, 0 ) U ( 0, +∞ ) . Её произ-
водная f	′	( x ) = 1		1				f (x) и
			− x2 существует в области определения функции

f ′( x ) = 0		при x = ± 1. Точки (−1); 0; 1 разделяют область определения функ-
ции на интервалы (см. рисунок).
Нетрудно исследовать знак f ′( x ), вычислив значение					f ′( x ) в «удобных»

контрольных точках внутри каждого интервала. 110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1411 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.2015193.02 Кб31ZADAChI_1.doc
#
14.02.2015134.14 Кб66ZADAChI_V.doc
#
14.02.2015866.93 Кб199zadat-fkh.pdf
#
14.02.201515.12 Mб32zaginajlov-kvl.pdf
#
14.02.20151.33 Mб24zaicevVM_2.pdf
#
14.02.20151.25 Mб29zajcevVM.pdf
#
12.03.2016345.72 Кб28zarnitsina-e-g-mapp-549003aae0d37.pdf
#
14.02.20154.64 Mб56zarn_met_kp.pdf
#
14.02.2015527.89 Кб23zarn_met_lab.pdf
#
14.02.20152.32 Mб8Zaschita_ot_shuma_404.doc
#
14.02.201521.04 Mб34zrumov_inf_pos.pdf