Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

zajcevVM

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

5) Правило дифференцирования неявных функций.
Говорят,	что функция	y = f (x) , x (a , b)	неявно задана уравнением
F (x, y) = 0 ,	если для всех	x (a , b) следует F (x , f (x)) = 0 .
Для вычисления производной y′(x) функции			y = f (x) нужно равенство

F (x, y) = 0 продифференцировать по х (считая при этом величину у функцией от х). При этом получим новое равенство, которое вместе с соотношением F (x, y) = 0 будет неявно определять производную y′( x).

Пример 4.7. Найти производную функции y = y( x ) , заданной равенством x3 + ln y = x2e y ( y > 0 ). Вычислить y′(0).

Решение. Дифференцируя по x левую и правую части равенства и учитывая, что y = y( x ) , имеем:

( x3 )′ + (ln y)′ = ( x2e y )′ 3 x2 +

y′ =

2 x e y

+ x2 e y y′

x y (2e y − 3 x)

y′ − x2e y y′ = 2 xe y − 3 x2 y′ =

2 xe y − 3 x2

− x

1 − x2 ye y

Отсюда получим, что y / = 0 при x = 0 .

6) Логарифмическое дифференцирование.

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию вначале прологарифмировать, а затем полученный результат продифференци-

ровать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Данный приём полезен при дифференцировании произведения многих сомножителей. В этом случае используются известные свойства логарифма:

	ln(u v ) = ln u + lnv , ln			u	= ln u − lnv ,		ln(ua ) = a ln u .
	ln(u v ) = ln u + lnv , ln			v	= ln u − lnv ,		ln(ua ) = a ln u .
				v
Логарифмическое дифференцирование необходимо и при отыскании произ-
водной от показательно-степенной функции y = f (x) g(x) .

						y′		1
Действительно, так как ln y = g( x ) ln f ( x ) , то							= g′ ln f + g		f ′ или
Действительно, так как ln y = g( x ) ln f ( x ) , то						y	= g′ ln f + g	f	f ′ или
		g
y′ = g′ ln f	+	g	f ′ f g .
y′ = g′ ln f	+	f	f ′ f g .
		f

Пример 4.8. Найти производные функций:

1) y =	x10 x + 1 e x	;	2) y = x x .
	( 2 x + 1 )( x + 2 )2

Решение. 1) Так как функция – произведение пяти сомножителей, то находить производную этой функции трудно. Предварительно прологарифмируем эту функцию:

ln y = 10 ln x + 0 ,5 ln( x + 1 ) + x − ln( 2 x + 1 ) − 2 ln( x + 2 ) .

y′

+ 1

2 − 2

Отсюда

−

или

2( x + 1 )

2 x + 1

x + 2

x + 1 e

y′ =

+ 1 −

−

2( x + 1 )

2 x + 1

x + 2

( 2 x + 1 )( x + 2 )2

2) Так как ln y = x ln x , то

y′

, y′ = (ln x + 1 ) x x .

= ln x + x

Дифференциал функции

Для дифференцируемой функции

y = f (x)

её приращение ∆у может быть

представлено в виде ∆y = f ′(x) ∆x +α ∆x , где α

– бесконечно малая величи-

на при

∆x →0 .

Главная часть приращения функции, линейная относительно ∆х, называется

дифференциалом этой функции. Выражение для дифференциала имеет вид:
d f = f ′(x)∆x или d f = f ′(x)dx ,	(4.11)

так как ∆x = dx .

Практически дифференциал находят по формуле (4.11), используя свойства производных и формулы производных простейших элементарных функций. Например,

d ( x ) = ( x )′ dx =		1		dx ,	d (ln x) = (ln x)′ dx =	1	dx и т. д.
	2
			x			x
Из равенства ∆f = d f +α ∆x при малых приращениях аргумента ∆х следу-
ет приближённое равенство для приращения функции
∆f ≈ d f	или		f (x + ∆x) ≈ f (x) + f ′(x) ∆x .					(4.12)

Последняя формула используется для вычислений приближённых значений функции.

Пример 4.9. Вычислить приближённое значение функции f ( x ) = x3 − 3 x2 + 5 x + 8 при x = 3,02 .

Решение. При x = 3 значения функции и её производной

f ′( x ) = 3 x2 − 6 x + 5 легко вычисляются: f ( 3 ) = 23 , f ′( 3 ) = 14 . Положим ∆x = 0 ,02 , тогда x + ∆x = 3 + 0 ,02 = 3,02 и, согласно (4.12), получим

f ( 3,02 ) ≈ f ( 3 ) + f ′( 3 )∆x = 23 + 14 0 ,02 = 23,28 .

При точном подсчёте получается f ( 3,02 ) = 23,282408 . Абсолютная ошиб-

ка ∆y − dy = 0 ,002408 .

Геометрический смысл дифференциала: дифференциал функции y = f (x) в

точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.

5. Производные и дифференциалы высших порядков

Производная от производной функции y = f (x) называется производной второго порядка (или второй производной) этой функции и обозначается символом y′′ , или y( 2 ) , т. е. y′′ = ( y′)′.

Аналогично, производная от второй производной называется производной третьего порядка (или третьей производной): y′′′ = ( y′′)′ и т. д., производная

n-го порядка (или n-я производная): y( n ) = ( y( n−1 ) )′.

Следовательно, производная n-го порядка может быть найдена в результате n последовательных дифференцирований функции.

Замечание. Ранее было указано правило дифференцирования функции, заданной параметрически (см. формулу (4.10)). Тогда вторая производная yxx// , как про-

изводная по x от первой производной, определится формулой, которая является следствием формулы (4.10):

x = x (t ), yxx//	= ( yx/ )	x/	=	( yx/	) t/
					/ .	(4.13)
				xt

Для отыскания третьей производной поступаем аналогично, так как вторая производная снова оказывается функцией параметра t. То же будет верно и для последующих производных.

Пример 4.10. Найти указанные производные высших порядков:

1) y = ln( 2 x − 1 ),

y′′′(1) ;

x = t − sin t

yxx// при t =

= 1 − cos t

Решение. 1) Имеем y

′

−1

2 x − 1

= 2 x − 1 ( 2 x − 1 )

2( 2 x − 1 )

′′

= 2

−2

( 2 x −

′

= −4( 2 x −

−2

( −1 )( 2 x − 1 )

1 )

′′′

= −4 ( −2 )( 2 x −

−3

′

= 16( 2 x −

−3

1 )

( 2 x − 1 )

1 )

Следовательно,

y′′′( 1 ) = 16( 2 1 − 1 )−3 = 16 .

2) Так как xt/

= (t − sin t )′ = 1 − cos t , yt/

= (1 − cos t )′ = sin t , то, согласно

yt/

sin t

2 sin

cos

(4.10), имеем:

yx/ =

= ctg

xt/

1 − cos t

2 sin

Итак, первая производная найдена:

x = t − sin t , y′x

= ctg

Так как ( y′x )′

t ′

ctg

= −

, то, используя формулу (4.13), полу-

2 t

sin

чим вторую производную:

−

sin

x = t − sin t ,

yxx

= −

2 sin

4 sin4

При t =

имеем:

yxx

= −

= −1 .

Вторая производная

имеет

простой

механический

смысл. Если

функция

s = s( t ) описывает закон прямолинейного движения материальной точки, то первая производная s′( t ) есть скорость точки в момент времени t, а вторая производ-

ная s′′( t ) = (s′( t ))′ = v′( t ) равна скорости изменения скорости, т. е. ускорению точки в этот момент.

dx ).

Пусть y = f (x) дифференцируемая функция независимой переменной x, то-

гда её дифференциал dy = f ′( x )dx зависит от двух переменных: x и dx = ∆x , которые между собой независимы.

Дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) от функции y = f ( x ) (его обозначают d 2 y ) называется дифференциал от её дифференциала,

рассматриваемого как функция только от аргумента x (т. е. при постоянном Найдём его выражение

d 2 y = d( dy ) = d ( f ′( x )dx) = ( f ′( x )dx)′ dx = f ′′( x )( dx )2 .

Аналогично вводятся дифференциалы третьего, четвёртого и более высоких порядков. Вообще, дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала ( n − 1 ) – го порядка. Аналогично предыдущей формуле, получим

d n y = d (d n−1 y) = f ( n )( x )( dx )n .

(4.14)

Пример 4.11. Вычислить d 3 y для функции y = ln x .

Решение. Последовательно дифференцируя, получим

y′ =

= x−1

, y′′ = −x−2

, y′′′ = 2 x−3

d 3 y = y′′′( dx )3 =

( dx )3 .

, т. е.

Варианты заданий контрольной работы № 4

4.1.

Найти производные y′ следующих функций:

3 x

cos 2 x

1. 1)

y =

2 x − x

;

2) y = ( 2

− ln x ) ;

3) y

+ sin

x ;

3 x − 1

y = e−x arcsin 2 x ;

y = ( tg3 x )2 x ;

− xy = sin( x + 2 y ) .

2. 1)

y = 3 1 − 2 x ;

2) y = arccos 1 − e− x ;

y =

1 + sin2

;

1 + cos2

y = x2arctg

;

5) y = ( 1 − ln x )x ;

ctg( x + y ) +

xy = 1 .

y = cos2 ( x 1 − x ) ;

3. 1)

y =

;

y = x arcsin 3 x ;

x3 − 4

y =

ctg2 x

y = (cos x )

x−2

ln( x − y ) +

= 0 .

;

(x + e−x )2

4. 1)

y = ( x +

x2 + 4 )3

;

2) y = cos3 4 x + x 8x2

; 3)

y = arctg

3 x + 1

;

2 x − 1

y = 3 x ln(x −e2 x ) ;

5) y = ( 3 − x3 )3 x ;

−

+ e y −π = 0 .

5. 1)

y = 2 x −

1 + x2

;

y = arcsin2 (e−x −1) ;

y =

lg (cos x)

;

sin

2 x

y = tg3 x ln3 (x2 );

1 e x

y =

;

ln y = arctg

−

y =

x −

x ;

y =

sin( 1 − 2 x )

;

3) y = ln2

;

x + 1

tg3 2 x

y = 3 x e

;

5) y = xarctg x ;

arccos

− tg2 ( x2 + y2 ) = 0 .

y = 3 1 +

x ;

y = tg5

;

y = sin( 2 x )arctg( e− x

) ;

1 + 3 x2

y =

ln2 (1 − x)

;

5) y = ( 2 x )arcsin 2 x ;

4 y4 − 4 x2 y + 1 = 0 .

(2 x + 3)3

y =

1 +

;

2) y = arcsin

e2 x − ln x ;

y = 3ln( 1+ x2 ) cos

;

y =

tg2 x

6) y2 − arctg( xy ) + x 2 −1 = 0 .

−

;

y = ( x + 1 )

sin x

;

lg 2 x

3 x

y =

x +

;

y = 3ctg 3 x

tg3

x ;

y =

x arccos

x ;

x −

y =

lg 3 x

;

y = ( arctg2 x )sin 3 x ;

6) y ln x − x ln y = x + y .

2 − x2

10. 1)

y = 3 2 −

1 − x2

;

y = x(ln2 x − 1 ) ;

3) y = e x tg ( 1−x ) ;

y =

cos3 5 x

;

y = ( arctg3 x )

;

6) y ln x +

x − y + x

= 0 .

2 x −5

	x − x		1 x	2 2		−	x2
							2 ; 3) y = 2 x arcsin sin x ;
11. 1) y =		; 2) y =			− e
	x + x		2
				x

x − 3 x

arctg

y =

;

y = (ln 2 x )

3 ;

6) cos( xy ) + sin( x + y ) = 0 .

log5 (2 x)

12. 1)

y = x

1 + x

;

y =

arc tg4 x

;

y = ln 3

1 + tgx

;

1 − 4 x2

1 − tgx

5) y = (3 − x2 )x ;

y = cos

e−x ;

6) ln y = arcsin

tg ( x2 + 1)

y = x

x −

y =

13. 1)

;

2) y = ln

sin

;

(1 −

4 x)

y = e−x2

arcctg

x ;

y = xln x ;

6) x2 + y2 + arccos( xy ) = 0 .

14. 1)

y = ( x +

1 − x2 )2

;

2) y =

e x2

;

y = ln(ln x ) + x tg5 7 x ;

arccos 2 x

y = arctg3

lg (5 x) ;

y = (cos 2 x ) x ;

6) x2

y + ln

= y .

15. 1)

y = 4

2 + x

;

2) y =

x2 − 1 arcsin

;

3) y = arctg (

2 x2 ) + e x cos x ;

2 − x

y =

ln2

(1 − 2 x)

y = (sin 4 x )ctg 2 x ;

;

x 2

+ y 2

= 5 2 .

sin 4 x

16. 1)

y =

1 + 2 x

;

y = ln( e2 x − 1 ) ;

y = arcsin x + x ctgx ;

1 − 2 x

sin x

y = x

arcctg (x2 ) ;

5) y = xln x ;

y2 = x3

+ x − 1 + ln

5 x

1 + sin x

( 1 − x2 )e2 x

ln x

17. 1) y =

;

2) y = ln

;

3) y =

;

1 − sin x

cos x

x2 − 1

4) y = 3 tgx e−

x ;

y = (arcsin 2 x )arctg x ;

+ e xy − y2

= x .

18. 1)

y =

+ x2

y =

tg(ln( 1 + x )) ;

3) y = ( x

+ 4 )arctg

;

ecos 2 x

y =

;

y = (sin x )

;

+ ( x + y )

= 2 .

2 −5 x

y =

1 − x

y =

cos2 x − ln sin x

2 x

19. 1)

;

3) y = e

1 + ctg

;

1 +

1 + e− x

arctg (3 x)

− x

y =

;

y = ( 1 + x )

;

6) arcsin

x + y .

ln(3 − x)

20. 1)

y =

1 +

;

= cos

2x2

;

y = x3 arcsin

x + tg5 x ;

1 + x2

1 −e3 x

arctg x

y =

;

y = ( 2 x )

; 6)

sin( xy ) + cos( xy ) = tg( x + y ).

lg (x3 − 3)

1 + cos x ;

21. 1)

y = x( x2 +7 )

;

y = arccos

1 − e2 x

;

3) y =

x ; 5) y = (3 − x2 )x ;

1 − cos x

y = ln2 x arctg

y sin 2 x + cos( x − y ) = 1 .

22. 1) y =

4) y =

23. 1) y =

4) y =

y = tg2 ( 2x ) + ln

1 + e

− x

y = arccos3 ( 10

);

; 2)

;

1 + e x

x +

tg2 x e

cos x

;

5) y = (arcsin

)

2 x

;

+ y

− e

= 5

− y .

y =

esin x − 1

+ 3

cos2

2 x

;

tg x

;

y = arcsin

;

3 ( x3 + 2 )2

ln(x −arctg2 x) ;

5) y = ( tg

x )ln x ;

6) ( x + y )2

= ( x − 2 y )3 .

y =

ln( e− x + x )

24. 1)

;

2) y = ( 10

− x ) ;

;

− x )2

3 ( 1

y = arccos ( x ) ln

; 5) y = ( x + 1 )

sin x

;

6) xy − ln( x − y ) = y .

25. 1)

y = 5 x + 3 x ;

y = cos 4 x − esin x tg3 x ;

3) y =

x earctg x ;

y =

1 − ln3 (5 x)

;

5) y = (2 x2 + 4)3 x ;

+ x2 + y3

= 1 .

cos x

26. 1)

y = ( x + 3 2 x )3 ;

y =

x ln x − 1

y = 5− x arcsin( x −

x ) ;

;

x ln x + 1

arctg 2 x

2 x

y = e

2 −

;

y = (sin 3 x )

;

+ a

= ( 2 x − 3 y ) .

y =

3 − x

sin 2 x

3) y = e2 x (x − 1 + x2 )

27. 1)

y = 3cos 3 x ;

;

3 + x2

y =

tg x

x+ y

;

y = ( ctg x )

;

6) 2

+ 2

= 2

x −e2 x

28. 1)

y =

x − 1

;

y = ln

1 + 3 x

+ ctg2 2 x

;

y =

e x sin x + sin x

;

x + 2

y = lg (e2 x ) (1 − 2 ln x)2 ; 5) y = ( x)sin2 x ;

arctg

= ln( x2

+ y2 ) .

29. 1)

y =

x − 1

y = ln

1 + cos

x ;

y = arctg

2tgx

;

1 − tgx

y = (x − 2) 23−x2 ;

5) y = (sin x )arcsin x ;

6) e x sin y − e y cos x = 0 .

30. 1)

y =

1 − 2

x ;

2) y =

cos2 x

;

y = ecos2 5 x

+ ln tg

2 x + 1

;

y = log33 x (x − tg2 x) ;

arcsin5 x

5) y = x(sin x )x ;

xy3 + y4 = 2 x − y .

4.2.

Найти указанные производные 2-го порядка:

	2			x =
1. 1)	y = esin x , y′′(0);
1. 1)	y = esin x , y′′(0);			2)
				y =

		1
2. 1)	y = 3 x ln	1	, y′′(1) ;	x =
				2)
		x		2)
		x		y =

arcsin t	yxx//
,	yxx//	при t = 0 .
1 − t 2
0 ,5 (1 + t )	,	yxx// при t = 1 .
e1−t


3. 1)	y = x ln( 1 − x ),						y′′(0);
4. 1) y = 3		1	, y′′(1);
		x
5. 1)	y = 3 x + cos2					x ,	y′′(0) ;
6. 1)	y = x2 e x , y′′(0);
7. 1)	y = x 1 + x2 , y′′(1) ;
8. 1)	y = x ln(1 + x2 ) , y′′(0) ;
9. 1)	y = x arctg ( x2 ) ,							y′′(0);
10. 1)	y = ln(ln x), y′′(e) ;
		2		1			1
11. 1)	y = x		tg		, y′′			;
				x
						π
12. 1)	y = e− x ln x , y′′(0) ;
13. 1)	y = e x sin 2 x ,					y′′(0);

x = arcctg t

yxx//

при t = 1 .

1 + t

= arccos t

yxx//

при t = 0 ,8 .

1 − t 2

= t

yxx//

при t = 1 .

+ arctgt

= t

yxx//

при t = 1 .

= t 3 + t 2 + 1

2 sin

yxx//

при t =

= cos t

= e

−t

yxx//

при t = 0 .

= sin2 t

= arcsin t

yxx//

при t = 0 .

= t

= (

1 + t 2 )2

yxx//

при t = 0 .

= 1 + t 2

= 3 cos

yxx//

при t =

y = 2 sin

x = π ln t

yxx//

при t = 1 .

y = sinπt

x = t ln t

ln t

yxx//

при t = 1 .

y =

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1410 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.2015193.02 Кб31ZADAChI_1.doc
#
14.02.2015134.14 Кб66ZADAChI_V.doc
#
14.02.2015866.93 Кб199zadat-fkh.pdf
#
14.02.201515.12 Mб32zaginajlov-kvl.pdf
#
14.02.20151.33 Mб24zaicevVM_2.pdf
#
14.02.20151.25 Mб29zajcevVM.pdf
#
12.03.2016345.72 Кб28zarnitsina-e-g-mapp-549003aae0d37.pdf
#
14.02.20154.64 Mб56zarn_met_kp.pdf
#
14.02.2015527.89 Кб23zarn_met_lab.pdf
#
14.02.20152.32 Mб8Zaschita_ot_shuma_404.doc
#
14.02.201521.04 Mб34zrumov_inf_pos.pdf