Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Алтайский государственный технический университет им. И.И.Ползунова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

zajcevVM

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

1.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 142 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

5.Правила дифференцирования основных элементарных функций.

6.Сформулируйте правило логарифмического дифференцирования. В каких случаях оно применяется?

7.Что называется дифференциалом функции? Каков его геометрический

смысл?

8.На чём основано применение дифференциала функции в приближённых вычислениях?

9.Сформулируйте определения производных и дифференциалов высших порядков.

10.Каков механический смысл второй производной?

Раздел 5. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.Сформулировать теорему Ролля. В чём состоит её геометрический смысл?

2.Сформулировать теорему Коши.

3.Сформулировать теорему Лагранжа. В чём состоит её геометрический

смысл?

4.Сформулировать правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей.

5.Записать формулу Тейлора n-й степени с остаточным членом в форме Лагранжа. В каком случае эта формула называется формулой Маклорена?

6.Записать формулы Маклорена для функций ex, sinx, cosx, ln(1+x), (1+x)a.

7.В чём заключается достаточный признак монотонности дифференцируемой функции?

8.Дать определение точки экстремума функции.

9.Сформулировать правило исследования функции на экстремум с помощью первой и второй производной.

10.Как найти наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на отрезке?

11.Дать определения выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции.

12.Сформулировать правило нахождения интервалов выпуклости и вогнутости, а также точек перегиба графика функции с помощью второй производной.

13.Что называется асимптотой графика функции?

14.В чём заключается необходимый и достаточный признак существования вертикальной асимптоты?

15.Как находятся наклонные асимптоты?

16.Описать общую схему полного исследования функции и построения её графика.

Раздел 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

1.Понятие функции нескольких переменных. Линии и поверхности уровня.

2.Как определяются частные производные функции? Сформулируйте правило их вычисления.

3.Что называется полным приращением и дифференциалом функции z=f(x,y)? Какова их связь?

4.Дать определение частных производных высших порядков.

5.Чтоr называется производной функции в данной точке M0 по направлению вектора s ? Записать формулу её вычисления.

6.Дать определение градиента функции. Как выражается производная по направлению через градиент? Сформулировать основные свойства градиента.

7.Что называется касательной плоскостью и нормалью к поверхности в данной её точке? Записать уравнение касательной плоскости и нормали.

8.Дать определение точки экстремума функции двух переменных. В чём состоит необходимый признак экстремума?

9.Сформулировать достаточный признак Сильвестра существования экстремума функции двух переменных.

10.Описать правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в замкнутой области.

РЕКОМЕHДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Зайцев В. П. Математика: Учебное пособие. Часть 1. / Алт. гос. техн. ун-т им. И. И. Ползунова. Центр дистанционного обучения. – 4-е изд., испр. – Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2004. – 242 с.

2.Зайцев В. П. Математика: Учебное пособие. Часть 2. / Алт. гос. техн. ун-т им. И. И. Ползунова. Центр дистанционного обучения. – 4-е изд., испр.– Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2005. – 237 с.

3.Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. – 3-е изд. – М.: Айрис-пресс, 2005. – 608 с.: ил. – (Высшее образование).

4.Мантуров О. В., Матвеев Н. М. Курс высшей математики: Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной: Учеб. для студентов втузов. – М.: Высш. шк., 1986. – 480 с.

5.Сбоpник задач по математике для втузов. Линейная алгебpа и основы математического анализа / Под pед. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. – М.: Hаука. – 1981.– 464 с.

Раздел 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Литература: [ 1, модуль 2, 3 ]; [ 3, глава 1 ]; [ 4, глава 1 ]; [ 5, глава 3 ].

1. Матрицы и действия над ними

Матрицей размера m × n называется совокупность mn чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов:

a11	a12	...	a1n
	a22	...
a21			a2n	.
...	...	...	...

	am 2	...
am1			amn

Числа, составляющие таблицу, называются элементами матрицы. Каждый элемент матрицы нумеруется двойным индексом: aij , где i = 1, 2, ... , m – номер

строки, j = 1, 2, ... , n	– номер столбца, на пересечении которых стоит этот
элемент. Например, a32	– элемент матрицы, находящийся в третьей строке и во
втором столбце.
Если в матрице число строк равно числу столбцов, т. е. m = n, то матрицу

называют квадратной и в этом случае говорят, что n её порядок. Остальные матрицы называют прямоугольными. Матрицы обозначаются либо одной буквой

A, либо Am×n , либо (aij )m×n .

Две матрицы называются равными, если они одинакового размера и если равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Для квадратной матрицы (aij )n×n элементы a11 , a22 , ..., ann образуют

главную диагональ, а элементы an1, a( n−1 )2 , ... , a1n образуют побочную

диагональ.

Квадратная матрица E называется единичной, если все её элементы на главной диагонали равны единице, а остальные равны нулю.

При умножении матрицы A на число α необходимо на это число умножить все её элементы:

A = (aij ) α A = (α aij ).

Пpи сложении (вычитании) матpиц одинакового размера складываются (вычитаются) соответствующие элементы:

A = (aij )	m×n	, B = (bij )	m×n	A ± B = (aij ± bij )	.
	m×n		m×n		m×n

Пример 1.1. Вычислить матрицу 3А – 2В, если
A = −1 2		1	, B = 0 −1 2					.
0 3		1		2	1		0
	3 (−1)		3 2	3 1		2	0	2 (−1)	2 2	=
Решение. 3A − 2B =	3 (−1)		3 2	3 1	−	2	0	2 (−1)	2 2	=
	3 0		3 3	3 1		2 2		2 1	2 0

−3 6

3 0

−2 4

−3 − 0 6 + 2

3 − 4 −3

8 −1

0 9

−

2 0

0 − 4 9 − 2

3 − 0

−4

7 3

При умножении матриц размеры матриц-сомножителей должны быть согласованы: число столбцов первого сомножителя должно равняться числу строк второго, в противном случае умножение невозможно. Пусть это условие выполнено.

Произведением А B матрицы A = ( aij )m×n на матрицу B = ( bij )n×k называется матрица C = ( cij )m×k , элементы cij которой определяются формулой:

n
cij = ai1b1 j + ai 2b2 j + ... + ainbnj = ∑aisbsj .	( 1.1 )

s=1

Таким образом, чтобы получить элемент cij , стоящий на пересечении i-й

строки и j-го столбца, необходимо составить сумму парных произведений элементов i-й строки первой матрицы на элементы j-го столбца второй матрицы:

b	1 j
	1 j
b2 j		= ai 1b1 j	+ ai 2 b2 j + ... + ain bn j .
cij = ( ai 1 ai 2 ... ain )		= ai 1b1 j	+ ai 2 b2 j + ... + ain bn j .
...
b	n j
	n j

Отметим, что число строк матрицы C = А B равно числу строк первой матрицы А, а число столбцов – числу столбцов второй матрицы В.

Пример 1.2. Вычислить произведение A B матриц

−1

2 0

и B =

3 4

A =

−2 1

2×3

Решение.

3×2

(−1) 1 + 2 3

+ 0

(−1) 2 + 2 4 + 0

5 6

A B =

3 1 + (−2) 3

+ 1

0 3 2 + (−2) 4 + 1

−1

2×2

−3

2×2

Отметим, что в общем случае A B ≠ B A. Если же A B = B A, то матрицы

A и B называются перестановочными.

Если в матрице A = ( aij )m×n заменить её строки столбцами с такими же номерами, то полученная матрица называется транспонированной к матрице A и обозначается AT , т. е. AT = ( a ji )n×m .

				0		5	−1	транспонированную.
Пример 1. 3. Записать для матрицы A =					3	2		транспонированную.
					3	2	1
		0	3
T		5	2
Решение. A	=	5	2	.
		−1	1
		−1	1
2. Определители
Определителем		квадратной матрицы				2-го		a11	a12
Определителем		квадратной матрицы				2-го	порядка A =		a22
								a21	a22

называется число, которое записывается и вычисляется так:

\| A \| =	a11	a12	= a11a22 − a21a12 .
	a21	a22

Пример 1. 4.		1	2
Пример 1. 4.	Вычислить определитель матрицы A =	−3	4	.
		−3	4

Решение.	A	=	1	2	= 1 4 − 2 (−3) = 10 .
Решение.	A	=	1	2	= 1 4 − 2 (−3) = 10 .
			−3	4	a11	a12
			−3	4

						a22
Определителем квадратной матрицы 3-го порядка A = a21						a22
						a32
					a31	a32

называется число, которое записывается и вычисляется так:

(1.2)

a13 a23 a33

a11

a12

a13

a22

a23

a21

a23

a21

a22

| A|=

−a

(1.3)

a31

a32

a33

Заметим, что вычисление определителя 3-го порядка осуществляется по формуле (1.3) через определители 2-го порядка. Если их вычислить, то получится

формула, удобная для вычисления определителя 3-го порядка:

a11	a12	a13
a21	a22	a23	= a11a22a33 + a12a23a31 + a21a13a32 −	(1.4)
a31	a32	a33
			−a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33 .

Чтобы запомнить, какие произведения в (1.4) берутся со знаком «+», а какие со знаком «–», полезно использовать правило треугольников (правило Саррюса):

«+»				«–»
			2	−1	3

Пример 1. 5. Вычислить определитель	A	=	0	4	1	.

			3	−2	2

Решение. Используя формулу (1.3), получим:

A	= 2	4 1	− (−1)	0 1	+ 3	0 4	= 20 − 3 − 36 = −19 .

		−2 2		3 2		3 −2

Пользуясь правилом Саррюса (формула (1.4)), получим тот же результат:

A = 2 4 2 + (−1) 3 1 + 3 0 (−2) − 3 4 3 − 2 (−2) 1 −0 (−1) 2 = −19 .

Одним из наиболее универсальных способов вычисления определителя любого n-го порядка является способ разложения определителя по какой-нибудь строке или столбцу:

A = ai1 Ai1 A = a1 j A1 j Здесь Aij = ( −1 )i+ j Mij

+ ai 2 Ai 2 + ...+ ain Ain	– разложение по i-й строке,
+ a2 j A2 j + ...+ anj Anj	– разложение по j-му столбцу.

– алгебраическое дополнение элемента aij , а минором Mij

элемента аij определителя n-го порядка называется определитель (n – 1)-го порядка, полученный из исходного вычёркиванием i-й строки и j-го столбца.

2 −1 3

Пример 1. 6. Вычислить определитель A = 0 4 1 , разлагая его по

3 −2 2

первому столбцу.

Решение.							A				=		2		4		1		− 0			−1				3		+ 3					−1 3				= 20 − 39 = −19 .


															−2		2					−2				2							4		1
															−2		2					−2				2							4		1
3. Обратная матрица
Матpица A−1													называется обpатной																		к			квадpатной									матpице						A, если
A−1 A = A A−1 = E , где E – единичная матрица.
Если			A		≠ 0 , то обратная матрица может быть найдена по формуле
Если			A		≠ 0 , то обратная матрица может быть найдена по формуле
																					A−1 =					1			(Aij )T ,																					(1.5)
																											A


где Aij – алгебpаическое дополнение элемента аij																																	матpицы А.
Если				A	= 0 , то матрица А называется вырожденной,																																		и обратной для неё не
Если				A	= 0 , то матрица А называется вырожденной,																																		и обратной для неё не
существует.
																																											2		3				0
																																												−1	2				−3
Пример 1. 7. Найти матрицу, обратную для матрицы A =																																				.								−1	2				−3
																																											0		2				1
																																											0		2				1
								2					3			0					2		−3								−1				−3		= 2 8 − 3 (−1) = 19 ≠ 0 .


Решение.				A	=			−1					2			−3		=	2								− 3
Решение.				A	=			−1					2			−3		=	2								− 3
								0					2			1					2		1								0				1
																					2		1								0				1

		A				=				2 −3						= 8, A						= −			−1 −3							=			1, A				=			−1			2		= −2,
		A				=				2 −3						= 8, A						= −			−1 −3							=			1, A				=			−1			2		= −2,
	11								2				1							12					0					1							13					0			2
									2				1												0					1												0			2
		A				= −						3 0				= −3 , A							=	2 0						= 2 , A								= −			2 3					= −4,
		A				= −						3 0				= −3 , A							=	2 0						= 2 , A								= −			2 3					= −4,
	21											2		1						22				0				1							23						0		2
												2		1										0				1													0		2
		A				=				3 0						= −9, A							= −				2			0					= 6 , A					=				2 3				=7 .
		A				=				3 0						= −9, A							= −				2			0					= 6 , A					=				2 3				=7 .
	31									2 −3										32							−1 −3											33						−1 2
																	1		8				−3					−9
													A	−1			1			1			2					6
Следовательно,																=															.
Следовательно,																=	19														.
																	19			−2			−4					7
																				−2			−4					7

		2 3 0			1	8	−3	−9
Проверка: A A	−1		−1 2	−3		1	2	6
		=							=
					19
			0 2	1		−2 −4		7

	1	16 + 3		−6 +6	−18 +18			1	19 0			0		1 0		0
			−8 + 2 +6 3	+4 +12 9 +12 −		21				0	19 0			0	1 0		= E .
=							=						=
	19							19
			2 −2	4 −4	12 +7					0	0	19		0	0	1

4. Ранг матрицы

Пусть в матрице A = ( ai j )m×n выбраны произвольно k строк и k столбцов

( k ≤ min{m ,n}). Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и

столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором k -го порядка матрицы А.

Среди возможных миноров матрицы могут быть как отличные от нуля, так и равные нулю.

Максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы А называется её

рангом r или r(A).

Таким образом, если ранг матрицы А равен r, то это означает, что среди миноров этой матрицы есть хотя бы один минор порядка r, не равный нулю, а все миноры порядка r+1 и выше равны нулю.

Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие её преобразования:

1)пеpестановка двух строк или двух столбцов;

2)умножение строки (или столбца) на произвольное ненулевое число;

3)пpибавление к элементам строки (или столбца) соответствующих элементов дpугой строки (или столбца), умноженных на число.

Для нахождения ранга матрицы Am×n её приводят элементарными преобразованиями к матрице С трапецевидной (ступенчатой) формы:

	c		c	...	c	...	c
		11	12		1r		1n
		0	c22	...	c2r	...	c2n
	.		.	.	.	.	.
A →		0	0	...	crr	...			.
A →	C =	0	0	...	crr	...	crn		.
		0	0	...	0	...	0
			.	.	.	.	.
	.		.	.	.	.	.
		0	0	...	0	...	0
		0	0	...	0	...	0	m×n

Здесь все элементы c11 , c22 , ... ,crr отличны от нуля.

Элементарные	преобразования матрицы не меняют её ранга, т. е.
r( A ) = r( C ) = r ,	поэтому для нахождения ранга матрицы достаточно привести

её с помощью элементарных преобразований к трапецевидной форме и подсчитать число r ненулевых строк.

						1		1		−1		−2	−4
							2	2		−1		−2	1
Пример 1. 8. Найти ранг матрицы A =							2	2		−1		−2	1	.
						−1 −1				2		3	0
							3	3		1		0	−2
							3	3		1		0	−2
Решение.												↔
		1 1 −1 −2 −4 (−2 ) (1) ( −3)								1 1 −1 −2 −4
		2 2 −1 −2 1									0 0 1 2 9
A=		2 2 −1 −2 1							→		0 0 1 2 9					→
		−1 −1 2 3 0									0 0 1 1 −4
		3 3 1 0 −2									0 0 4 6 10
		3 3 1 0 −2									0 0 4 6 10
												↔
1 −1 1 −2 −4								1 −1 1 −2 −4
	0 1 0 2		9	( −1 ) ( −4 )					0 1 0 2					3
→	0 1 0 2		9	( −1 ) ( −4 )				→	0 1 0 2					3	→
	0 1 0 1 −4								0 0 0 −1					−13
	0 4 0 6 10								0 0 0 −2					−26
	0 4 0 6 10								0 0 0 −2					−26
		1 −1 −2 1 −4						1 −1 −2 1 −4
		0 1 2 0	9					0 1		2 0			9
→		0 1 2 0	9		( −2 )	→		0 1		2 0			9	.
		0 0 −1 0 −13			( −2 )			0 0 −1 0 −13
		0 0 −2 0 −26						0 0		0 0 0
		0 0 −2 0 −26						0 0		0 0 0

Здесь выполнены последовательно следующие элементарные преобразования:

1)первую строку, умноженную на числа (–2), 1, ( –3), прибавили поочерёдно ко второй, третьей и четвёртой строкам;

2)переставили столбцы – второй и третий, так как во второй строке на диагонали оказался ноль;

3)вторую строку, умноженную на (–1), (–4), прибавили поочерёдно к третьей

ичетвёртой строкам;

4)переставили столбцы – третий и четвёртый;

5)третью строку, умноженную на (–2), прибавили к четвёртой строке.

Ранг последней матрицы трапецевидной формы равен 3, такой же ранг и у исходной матрицы: r( A ) = 3 .

5. Системы линейных уравнений

Рассмотрим систему из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

+ a

+ ... + a

= b

a21 x1

+ a22 x2

+ ... + a2n xn

= b2

(1.6)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

+ a

m 2

+ ... + a

= b

Здесь x j ( j = 1, 2, ..., n ) – неизвестные величины; aij ( i = 1, 2, ..., m ; j = 1, 2, ..., n ) – заданные числа, называемые коэффициентами при неизвестных

x j ; bi ( i = 1, 2, ..., m ) –				заданные числа, называемые свободными			членами
системы.
Систему (1.6) можно записать в виде матричного уравнения:
					Α X = B .		(1.7)
		a11	a12	...	a1n
			a22	...
Здесь	A =	a21	a22	...	a2n	– матрица системы (1.6);
Здесь	A =	...	...	...	...	– матрица системы (1.6);
		...	...	...	...
			am 2	...
		am1	am 2	...	amn m×n

Χ =

– матрица неизвестных;

B =

– матрица свободных членов.

...

n×1

m×1

Наряду с матрицей системы А рассматривают также расширенную матрицу

системы

B , получаемую

из

матрицы

А добавлением столбца

свободных

членов:

a11

a12 ...

a1n

...

B =

(1.8)

...

... ...

...

m 2

m m×( n+1 )

<<< < Предыдущая 12 / 142 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.2015193.02 Кб31ZADAChI_1.doc
#
14.02.2015134.14 Кб66ZADAChI_V.doc
#
14.02.2015866.93 Кб199zadat-fkh.pdf
#
14.02.201515.12 Mб32zaginajlov-kvl.pdf
#
14.02.20151.33 Mб24zaicevVM_2.pdf
#
14.02.20151.25 Mб29zajcevVM.pdf
#
12.03.2016345.72 Кб28zarnitsina-e-g-mapp-549003aae0d37.pdf
#
14.02.20154.64 Mб56zarn_met_kp.pdf
#
14.02.2015527.89 Кб23zarn_met_lab.pdf
#
14.02.20152.32 Mб8Zaschita_ot_shuma_404.doc
#
14.02.201521.04 Mб34zrumov_inf_pos.pdf