А. В. Бараненко. Холодильные машины

Для дальнейших преобразований необходимо получить несколь­ ко вспомогательных зависимостей. Из выражений для коэффици­

ента реактивности (9.218) найдем с учетом формулы (9.223) для средней скорости, справедливой также и для абсолютных скорос­

тейС,

получить такое выражение для коэффициента реактивности:

ии

Из тех же треугольников скоростей видно, что

(9.259)

с помощью этих зависимостей и выражений (9.234) и (9.235)

окружные составляющие сил, действующих на профили РК (9.252) и НА (9.253), можно преобразовать к такому виду:

(9.260)

(9.261)

Подставив эти выражения в формулу (9.249) и разделив ре_

зультат на массовый расход (9.244), найдем теоретическую (эйле­

рову) работу

(9.262)

Из треугольников скоростей (см. рис.9.37) видно, что

Введя эти выражения в зависимости (9.246), (9.248) и (9.262),

можно найти снижение гидравлического КПД из-за потерь в РК и НА:

Гидравлический КПД элементарной ступени осевого компрес­ сора (9.242) после введения этих формул приобретает оконча­

тельно такой вид:

Видно, что 1lh зависит от обратного качества 1.1 про'филей РК

и НА, коэффициентов расхода q>z и реактивности ступени Qi~2

(рис 9.45).

В частном случае I!р.и = I!и.а = I! , q>z =a~~2 =0,5 будет [89]

1-1.1

1lh = 1 + I! •

При Jl =0,05 гидравлический КПД такой ступени будет равен

1lh = 0,905.

Наибольший гидравлический КПД достигается при q>z = 0,5 +

+ 0,6 у ступени с n~~~ =0,5. Увеличение n~~1 приведет к сниже­

нию 1lh и смещению области оптимума в сторону более высоких q> z (рис. 9.45). В силу симметрии треугольников скоростей то же мож-

но сказать и о ступенях с меньшими n~~1. Поэтому на рис. 9.45 указаны два значения n~~1 ' которым соответствует одна и та же

линия 1lh =f(q>z) •

Изменение параметров rазовоrо потока по высоте лопаток осевого компрессора. Течение газа в ступени осевого компрессо­

ра имеет сложный пространственный характер, поэтому при его

теоретическом анализе используют уравнения, полученные при

целом ряде упрощающих допущений [12, 74, 89,99].

Рассмотрим изменение параметров газа по радиусу в межвен­ цовом зазоре между РК и НА осевой ступени в сечении 2-2 (см. рис. 9.30) при следующих допущениях.

Течение в зазоре будем считать установившимся, стационар­ ным и осесимметричным, при котором в любом месте окружности

произвольного радиуса с центром на оси ротора параметры пото­

ка будут одинаковыми, не зависящими от времени. Фактически

делению поверхностей тока векторы скорости направлены по ка­

сательным к ним, это означает, что радиальные составляющие

скорости равны нулю.

Выделим в рассматриваемом зазоре кольцевой элемент А тол­ щиной dr и радиусом r. Ширина элемента значения не имеет и

может быть взята произвольно. На внутреннюю и наружную по­

верхности элемента действуют давления р ир + dp, вызывающие

появление газовой силы

dP =pF - (р + dp)F =-dрF ,

где F - площадь поверхности элемента А, м2.

Умножив и разделив на dr, получим

где dV - объем элемента А, м3.

С другой стороны, на элемент А действует центробежная сила,

вызванная вращением элемента со скоростью Си = С COS а ,

где Р - плотность газа.

В состоянии равновесия должно быть дР + dJ =О , т. е.

c~ pdV _ dp dV = О, r dr

откуда сразу находим уравнение радиального равновесия в таком виде:

Уравнение Бернулли (7.11) справедливо вдоль линии, а при осе­

симметричном течении - и вдоль поверхности тока. Чтобы упрос­

тить задачу, пренебрежем потерями и будем считать течение газа

изоэнтропным. Запишем уравнение Бернулли для участка от входа

вкомпрессор до любого сечения ступени, в котором энергия к пото­ ку извне не подводится. Такое сечение может быть расположено

вмежвенцовом зазоре или неподвижном элементе проточной части.

В последнем случаедолжен рассматриваться осредненный поток raзa

вмежлопаточных каналах (т. е. при бесконечно большом числе

бесконечно тонких лопаток). Заметим, что работа, подведенная на

рассматриваемом участке, может быть представлена как разность энергий газа в конце и начале участка

(9.271)

639

Здесь н, i - сечение при входе в компрессор и произвольное

сечение в конце рассматриваемого участка соответственно.

Энергия газа при входе в компрессор

Н

в этих выражениях индексом. н· • обозначены параметры тор­

можения при входе в компрессор.

Продифференцируем уравнение (9.273) по радиусу, опустив

индексi,

Заменим первый член правой части ero значением из уравнения

рвдиалъноroравновесия (9.270) и,учитывая, что с2 = C~ + с: ,найдем

При известном или заранее заданном характере изменения энер­

гии газа в рассматриваемом сечении это уравнение устанавливает

связь между распределением осевой и окружной составляющих абсолютной скорости по высоТе лопатки.

Наибольший интерес представляет ступень, в которой энергия

газа в рассматриваемых сечениях постоянна по высоте лопатки,

640

Это возможно при следующих условиях:

когда до рассматриваемого сечения энергия к потоку извне не

подводилась, например, после НА, расположенного перед коле­

сом первой ступени;

когда на любом радиусе по высоте лопатки колеса, расположен­

ного перед рассматриваемым сечением, к газу подводится одна и та

же работа lэ =const и, кроме того, энергия газа при входе в колесо

также постоянна по радиусу 'е =const ;

при любом из бесчисленного множества возможных сочетаний

законов изменения ~(r) и e(r) в предыдущих элементах проточ­

ной части, которое обеспечивает в рассматриваемом сечении по­

стоянство энергии газа е =const .

При условиях (9.278) уравнение (9.277) принимает такой вид:

Оно содержит две неизвестные величины си И Cz ' поэтому для

их определения необходимы дополнительные условия. Рассмот­

рим случай, когда осевая составляющая абсо.цютной скорости по-

Полученное уравнение определяет закон изменения окружной

скорости по радиусу, который носит название закона постоян­

ной цир"уляции, или свободного вихря.

Для случая, когда поток вращается по закону твердого тела,

си и r связаны такой зависимостью:

Для ступеней осевых компрессоров применяют обобщенный за­

"он изменения цир"уляции по радиусу в виде [74,89]

(9.282)

где стu - окружная составляющая средней абсолютной скорос­

ти в ступени Ст' а показатель степени находится в пределах

т =-1 + 1.

Из формулы (9.223), записанной для абсолютных скоростей и тре­

угольников скоростей (см. рис. 9.37), находим, что окружная со­ CТ8JWIIOщая срЕЩНей aбroлютной скорости элементарной ступениравна

Приведем уравнение (9.282) к безразмерному ВИДУ, разделив и умножив его на и =mr • В итоге получим

Из,менение "оэффициенma реа"тивности по вы,соте лоnaт"и

следует определять с учетом того, что в общем случае для эле­

ментарной ступени, расположенной на произвольном радиусе,

осевые составляющие скорости будут неодинаковыми C1z *" C2z ,

несмотря на то, что на среднем диаметре обычно C1zcp = C2zcp'

Для такой элементарной ступени коэффициент реактивности мож­

но найти из зависимости (9.214), в которой 1. заменен на

'11 т = q>2и - q>1u - И учтено, что кинематический коэффициент реактивности определяется выражениями (9.215) и (9.254)

(9.286)

Видно, что при q>1z =q>2z будет 01-2 =of-2 .

Запишем уравнение (9.284) для произвольного и среднего ра-

диусов лопаток И, заменив q>mu В соответствии с полученным

уравнением (9.286), приравняем обе зависимости. В итоге полу­

чим такое выражение для коэффициента реактивности на произ­

вольном радиусе:

Обычно на среднем диаметре Сlzср = c2zcp и q>lzcp = q>2zcp' Тогда

получим

(9.288)

Сопоставив правые части зависимостей (9.286) и (9.288), най·

дем, что

в частности, для рассмотренного выше закона постоянства

циркуляции, когда C1Z =C2z =const по высоте лопатки,. это вы­

ражение определяет изменение коэффициента реактивности эле­

ментарных ступеней, расположенных на разных радиусах, так

как в этом случае 01-2 =Of-2 во всех сечениях.

Типы ступеней осевых "о,мnрессоров различают по тому за­

кону изменения q>mu' который принят при профилировании

лопаток.

1. Ступень, при профилировании которой принят показатель степени т = 1. При закрутке поток&' по закону Cmur =const по­

стоянство C1ur обеспечивает и постоянство C2ur • Это непосредст­

венно следует из зависимости, полученной умножением обеих.час­ тей формулы (9.283) на радиус r. Поэтому ступени с закруткой

потока и лопаток по закоиу (9.282) с показателем степени т =1

называют стуnеня,ми с постоянной порадиусу цир"уляциеЙ. 2. Ступень, при профилировании которой принят показатель

степени т = -1. Из уравнения (9.284) следует, что при m =const

будет и В = const, поэтому при т =-1 окружная составляющая

средней скорости будет постоянна q>mu = const. как видно из урав-

нения (9.254), в этом случае и af-2 =const. Поэтому ступени с

закруткой потока и лопаток по закону (9.282) с показателем степе­ ни т =-1 называют стуnеня,ми с nocтоянны,м порадиусу "ине­ ,матичес"и,м "оэффициенто,м реа"тивности. При этом следует

иметь в виду, что коэффициент реактивности такой ступени

(9.286) будет изменяться по радиусу.

3. Ступени, при Профилировании которых приняты показате­

ли степени в диапазоне - 1 < т < 1. Такие ступени иногда проек­ тируют с целью получить лучшее распределение чисел М, коэф­

фициентов реактивности и снижение неравномерности поля осе­

вых скоростей по высоте лопаток. Их называioт стуnеня,ми nро­

,межу точного типа.

Из,менение осевой составляющей с"орости по высоте лоnат­

"и определяется интегрированием уравнения (9.279), которое за­

пишем в таком виде:

Из обобщенного закона изменения циркуляции (9.282), обо­ значив const = А , найдем

(9.290)

Решив уравнение (9.283) совместно с уравнением (9.212) для теоретической (эйлеровой) работы элементарной ступени, най­

дем, заменив U на ЮГ,

Для сечения 1 перед РК из выражения (9.291) найдем

Возведя это выражение в квадрат и приняв во внимание, что

нами рассматривается ступень, в которой по высоте лопатки lэ =const , найдем производиую по радиусу

В силу особенностей интегрирования степенных функций в ре­

зультате интегрирования этого выражения получим три различ­

ных зависимости: т *" О и т*" -1; для т = О и для т = -1. Рассмотрим первый случай, когда т *" О и т *" -1 . Находим

= _ т -1 А2г-2т + т -1 A~г-{т+l) + const. (9.294)

тт+1 ю

Используя известное значение Clzcp на среднем радиусе 'ер'

Сложив эти выражения, объединим члены с одинаковыми по­

казателями степени при r и вынесем за скобки каждого полученного

таким образом комплекса общие множители, содержащие 'ер . Учи­

тывая, что для элементарной ступени, расположенной на сред­

нем радиусе, осевые составляющие скорости одинаковы, т. Р

С1zср = СЬер и, значит, для нее справедлива заВисимость (9.254),

Преобразуем эти множители, используя формулы (9.174), (9.188)

и (9.290), к такому виду:

С той разницей,уто перед третьим членом знак должен быть из­

менен на плюс, что непосредственно следует из сопоставления уравнений (9.291) и (9.292).

Для второгослучав, когда т '"" О, Получим такое выражение:

Здесь также для определения ciz/cizep знак перед третьим

членом иужно изменить на минус.

Безразмерные осевые составляющие скорости находят после

этого из очевидного соотношения

(9.299)

где t =1, 2 - номер рассматриваемого сечения.

Необходимо отметить, что профили лопаток в различных се­

чениях по высоте формируются на поверхностях круговых ци­

линдров. соосных оси ротора или, точнее, на полученных при их

развертке плоскостях. Поэтому значения составляющих скорос­ тей при входе и выходе из колеса следует находить для одних

и тех же радиусов. При rlcp *" r2cp составляющие скорости С2 нужно

определить и при r =rcp ' чтобы получить значения углов для

Профилирования сечения лопатки, расположенного на радиусе

rlcp'

Изжен.ен.uе углов nото"а по высоте лопато" необходимо

знать для их профилирования. Из треугольников скоростей

(см. рис. 9.24, б, 9.25, 9.29) непосредственно следуют такие

соотношения:

углы потока в абсолютном и относительном движении могут быть

представлены в зависимости от коэффициентов реактивности, рас­

хода и теоретической работы. Приведем уравнения (9.291) и (9.292) к безразмерному виду делением на окружную скорость u. Получим такие зависимости:

<Рlи =<Рmи - 'VT/2 ; <Р2и =<Рmи + 'VT/2 . (9.304); (9.305)

Заметим, что. так же как и исходныеуравнения (9.291) и (9.292).

эти уравнения получены без допущения о том, что c1z =c2z =Cz

и. значит. справедливы в общем случае. Подставив уравнение (9.304) в (9.300), найдем

(9.306)

646

Выразив <Рmи через П~-2 с помощью уравнения (9.254), най­

дем

а из уравнений (9.302), (9.303) получим выражения для углов

потока в Относительном движении:

(9.309)

и

(9. 310)

в частном случае Clz =C2z =Cz И q>lz =q>2z = q>z В знаменателях

выражений (9.307) - (9.310) будет одна и та же величина q> и тогда разность котангенсов углов потока в абсолютном и OTH~­

сительном движении одинакова и равна

(9.311)

Для элементарных ступеней, у которых C1Z *" сь, будет

r.pls + r.p2s

в частном случае C1z =C2z =Cz эта формула переходит в фор­

мулу (9.224);

Для рассмотренных нами вышеступеней теореТическая (эйле­

рова) работа была принята одинаковой на всех радиусах lэ =const. Поэтому коэффициент теоретической работы будет из-

меняться по высоте лопатки пропорционально квадрату отноше­

ния среднего радиуса к текущему

(9.313)

Видно, что с увеличением радиуса 'l'T уменьшается. Коэф­

фициент реактивности на любом радиусе и при любом вариан­ те закрутки потока определяется зависимостью (9.288). Осе­

вую составляющую скорости в межвенцовых зазорах находят

по уравнениям (9.296) - (9.298). Этих данных достаточно

для определения поля углов потока по высоте лопаток и их

профилирования.

Оnредел.енue чucел. Маха в хара"meрных сеченuях проточной

частu осевого компрессора и их изменения по высоте лопаток

позволяют оценить режимы работы лопаточных решеток, так как уровень чисел Маха в значительной степени определяет газо­ динамические потери в них. Особенно значительно влияют чис­

ла Маха на потери в решетке при углах атаки, отличающихся от

оптимального (см. рис. 9.44).

Статическую температуру газа при входе в РК в произвольном t-M сечении по высоте лопатки определяют из уравнения (7.45),

преобразованного с помощью известного соотношения для тепло­

емкости при постоянном давлении Ср (см. табл. 7.1) к такому

виду:

(9.314)

Здесь <i>lt = C1Ju1t - безразмерная скорость газа при входе в РК;

<18 = k/{k -1) - число И30энтропы.

Характерным параметром, определяющим режим работы сту­ пени по окружной скорости, является условное число Маха (9.9)

(9.315)

Числа Маха по абсолютной Мс1 и относительной M w1 скорос­ тям при входе в РК определяют из соотношений (9.7), в которых

скорость звука (см. табл. 7. n находят по статической температу-

ре Т1•

Найдем безразмерную статическую температуру газа при вхо­

де в колесо, отнеся ее к температуре торможения при входе

в ступень, одновременно умножив и разделив второй член правой

части на ulcp' чтобы выделить число Ми' Заметив, что отноше-

ние окружных скоростей равно отношению соответствующих ра­ диусов и применив выражение для Ми (9.315), найдем

Из формул для определения скорости звука (см. табл. 7.1)

следует, что отношение температур равно отношению квадратов скорости звука, т. е.

После этого можно получить зависимости для чисел Маха по абсолютной и относительной скоростям при входе в колесо, при­

менив для выделения числа Ми тот же прием, что и при выводе

формулы (9.316),

Здесь безразмерные скорости !lаходят из соотношений:

Slnt"1t

в которых осевые составляющие скорости определяют с помощью

уравнений (9.297)-(9.299), окружные - уравнения (9.304), а уг­

лы - по формулам (9.300), (9.302) или (9.307), (9.309).

При определении характера изменения по радиусу скоростей

и углов потока рассматривалась ступень, в которой эйлерова ра­

бота постоянна во всех сечениях по высоте лопатки РК.

Для элементарной ступени, расположенной на произвольном

радиусе, с учетом зависимостей (9.184), (9.212) и (7.46) можем записать такое выражение для эйлеровой работы:

(9.325)

откуда

Статическую температуру газа при выходе из колеса опреде­

ляю

и после приведения к безразмерному виду с учетом формулы (9.327)

ее можно представить так:

Числа Маха по абсолютной и относительной скоростям при

выходе из колеса находят по формулам, подобным (9.319) и

(9.320),

Безразмерные скорости, входящие в эти выражения, опреде­ ляют из выражений (9.321) - (9.324), в которых индекс ~1. заменен на индекс .2. сечения при выходе из РК.

Если в расчетах используют условное число Маха по окруж­

ной скорости на наружном диаметре колеса

(9.331)

то во всех полученных зависимостях вместо отношения r,/rlep

записывают безразмерный радиус r; =r,/rlH .

Прим~щевие ступеней осевых компрессоров с различными

законами закрутки потока. Целесообразность применения сту­ пеней с различными законами закрутки потока определяют по

результатам анализа изменения по высоте лопаток кинематичес-

650

оказываются в два-три раза перегруженными. При малых v зто

заставляет уменьшать '" т.ер , чтобы не ухудшать КПД ступени из­

за повышенных потерь у корня лопатки.

Ступень с постоянной по радиусу цир"уляцией профилиру-

ется по закону (9.282) с показателем степени т =1. Достоин-

200 Сl',М/С

Рис. 9.47. Измевевие расходвъа СОСТaвJJЯJOщих скорости С1• (а) и СЬ (6) по

высоте лопатки в зависимости от показа:J'emI степени т

ством ступени является постоянство по радиусу осевых составляю­

щих скоростей C1z =const и C2z =const (рис. 9.47). Недостаток

ступени состоит в значительном изменении по высоте лопатки кине-

матического коэффициентареактивности п~~1, углов потокаичи­

сел Маха. Так, при v =0,40 + 0,55 в корневом сечении ступени

a~~2BT < О (см. рис. 9.46). При v = 0,4 число Маха по относитель­

ной скорости нанаружном диаметре колеса превыmает Мш1ер = 0,76

в 1,4 раза и составляет Мw1и = 1,06. Число Маха по абсолютной

скорости на втулке (при выходе из колеса) превышает

Мс2ер = 0,74 в 1,28 раза и составляет Мс2вт = 0,95. Такие вы­

сокие числа Маха могут вызвать снижение КПД ступени из-за

повышенных газодинамических потерь в периферийных сече­

ниях РК и корневых сечениях Hl\. Лопатка РК ступени при

V1 =0,4 весьма значительно закручена по высоте, так как угол

131 увеличивается от периферии к корню на 580, а угол 132 -

на 720 (рис. 9.48, 6).

Эти недостатки ограничивают применение ступеней с постоян­

ной циркуляцией значениями безразмерн?го диаметра втулки

V1 ~ 0,6, т. е. в компрессорах с высоким отношением давлений

пк > 6 + 7 их целесообразно использовать в качестве средних или последних ступеней.

Ступень с nйсmoянны,м порадиусу "ине.матичес"и,м "оэффи­ циенто,м реа"тивности профилируется по закону (9.282) с nо­

казателем степени т =-1. Достоинство этой ступени - мало

изменяющll'йся по высоте лопатки уровень чисел Маха. ~ рас-

сматриваемой ступени Мw1и =0,69, M w1cp =0,76 и Мш1вт = 0,77,

т. е. Mw1 даже несколько увеличивается от периферии к втулке. это связано с тем, что при т =-1 окружная составляющая ско­

рости С1u С увеличением радиуса растет, а осевая c1z уменьшает­

ся. В результате скорость Ш1 изменяется незначителъно. Следст­

вием этого является так-же везначительное изменение КПД по вы­ соте лопатки, хотя у крайних сечений из-за концевых потерь

КПД снижается в большей мере. Закрутка лопаток РК по высоте

в этом случае также меньше, чем у ступеней с постоянной цирку-

ляцией. Поэтому ступени с П~-2 =const лучше подходят для пер­

вых ступеней с малыми V.

Недостаток этих ступеней состоит в весьма значительных из­

менениях осевых составляющих скоростей, которые уменьшают­ ся от периферии к корню, причем особенно сильно в выходном

сечении Рк. При высоких значениях коэффициента теоретичес­

кой работы и малых V расчеты по формулам (9.296)-(9.298)