Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

А. В. Бараненко. Холодильные машины

.pdf
Скачиваний:
524
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
32.49 Mб
Скачать

Введя этот результат сначала в зависимость (10.135), а затем, после пре06разований, в зависимость (10.134), найдем

A~... = (1 -I;~)[11'1-2 + I;~(1 - 11.1-2 н.)+( ::)'

-21;,cos,,{ ~~1-11.1-2 +". -(1_\,2) (::)'] =

= (1-1;~)[11;'_2 + ". + 1;~(I-11;1-2) + (:: J

-21; ,СОВ,,{ :: )Jl-11;1-2 - (1- ~2)( ~)1 (10.139)

Снижение гидравлического КПД из-за потерь с выходной ско-

ростью

с:

с:

(10.140)

 

6.11р,вых =-2Ы, =2'

 

о·-2,

Св

 

можно представить в зависимости от снижения КПД из-за потерь в колесе, если из выходного треугольника скоростей найти

С

2

2(Sin/32)2

=~

2 2 (Sin/32)2

 

 

=w ---

 

w

-- ,

 

 

2

2 sin<X. 2

 

к

тn<х'2

 

а из зависимости (10.134) определить отношение

 

В итоге из формулы (10.140) после пре06разований получим

 

 

~~

(Sin/32)2

6.11р.к·

(10.141)

 

6.11р,вых = 1- ~2

sin<X.2

 

Анализ полученных выражеlJИЙ показывает, что снижение

гидравлического КПД из-за 'потерь в сопловом анпарате 6.~e,c увеличивается с уменьшением коэффициента реактивности. На

6.11р,к влияние коэффициента реактивности противоположио:

с умеиьшением 0'1-2 значеlJие выражения в квадратных скобках

зависимости (10.139) также умеиьшается, а с ним при одном

и том же ~ и 6.11р,к' Кроме того, формально к уменьшеиию 6.11р,к

736

приводит И уменьшение коэффициента радиальности J.I.. Однако,

как уже отмечалось выше, значение КПД радиально-центростре­

мительных .колес 6.11, к (10.95) обычно ниже. чем осевых. Это

значит, что в соответствии с зависимостью (10.96) значение ~~

для радиально-центростремительных колес будет тем более ниже,

чем для осевых, так как даже при одном и том же 6.11, к она уменьшается с уменьшением коэффициента радиальности

J.I. =D2 /D1 В итоге при одних и тех же значениях ~, 0,1-2' <Х.1 И (и/с) снижение КПД в радиально-центростремительных коле-

сах будет. как правило, больше. чем в осевых. .

Снижение КПД ступени из-за потерь с выходной скоростью

у осевых ступеlJей больше, чем у радиально-центростремитель­

ных. несмотря на то что 6.11р,к У осевых ступеней меньше. Это

объясняется более низкими значениями скоростей. составляющих

выходной треугольник, так как при J.I. < 1 будет и и2 < и1• Значит.

скорость С2 при выходе из радиально-центростремительного ко­

леса будет меньше. чем при выходе из осевого. а с Hew. бу~ет

меньше и 6.11р,вых' В зависимости (10.141) отношение https://studfile.net/\1-/;K)

быстро уменьшается с уменьшением ~K' а так как у радиально­ центростремительных колес ~K меньше. то несмотря на более вы­

сокое значение 6.11р,к значение 6.11р, рых в итоге оказывается мень­

ше. чем у осевых ступеней.

Заметим. что в предельном, теоретичеСRОМ случае. когда /;к = О И 6.11р= О. зависимость (10.141) использовать нельзя. а необходимо вычислять 6.11р,вых непосредственно по формуле (10.140).

Для идеального газа гидравлический КПД можно записать

в таком виде:

(10.142)

Внутренний КПД ступени определяется отношением внутрен­

ней работы к располагаемой и связан с гидравлическим КПД так

же. как и у ступени компрессора

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.143)

Для идеального газа внутренний КПД

 

 

 

 

_ то* - т;

т; ~ т;

 

(10.144)

11

врl -

2/(20-

R) = т.* - т.

 

 

С,

,

 

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

737

Внутренний КПД определяет долю располагаемой работы, пре­

образуемую в механическую работу на валу компрессора, поэтому

его часть называют мощностны..и КПД.

При расчетах циклов и характеристик газовых холодильных машин и систем низкопотенциальной энергетики обычно опери­ руют давлениями торможения, поэтому для этой цели удобно ис­ пользовать внутренний КПД по naра.метрам торможения

Изоэнтроnный КПДno статичес"и~ naра.метра.м учитывает

кроме потерь на протечки и трение только потери в сопловом аппарате и колесе

1]вр

='i~ - ~

.* .

 

Zo - ~

= i~ - ~ -

c~/2 = 2(1 _ А

_ А)

"'3

(~)2 + c~ =

С,2/2

 

"'пр

"'Тр

С,

С,2

 

 

2

2

 

2

 

 

(10.146)

= 2х. (

иl

 

С2

 

С2

 

 

-

)

+ 2" = 1],

р/

+ 2" .

 

 

 

 

С8

 

С,

 

С,

 

 

 

Связь между последними тремя КПД устанавливается следую­

,щими зависимостями, с помощью которых можно ПО двум из­

вестным КПД найти третий:

1]:р/ =

1],р/

;(10.147); (10~148)

1- 1],р + 1],р/

 

1]8Р =1 + 1],р/ -

1]'РЕ/1]:р/'

(10.149)

Зависимости гидравлического КПД 1],р h от отношения (иl/С8)

для 0'1-2 = о; 0,3; 0,5 рассчитаны дли осевой турбины при ~ = 1;

СХl = 200; = 0,95; = 0,97 (рис. 10.24) [10]. Угол J32 находили из

условия, что отношение осевых (расходных) составляющих скоростей

C2z /C1z при 0'1-2 = О было равно 1,0, а при 0'1-2 =0,3 и 0,5 было

равно 1,2. Видно, что у активной ступени с 0'1-2 =О КПД дости­

гает максимума 1],ph =0,8 при иl/С' =0,45. Область максимума

невелика и1/с, = 0,42 + 0,48, так как кривая идет достаточно кру­

то и при отклонении от этих значений КПД резко снижается. По мере увеличения коэффициента реактивности ~ласть максимума

расширяется и сдвигается в сторону более высоких иl/С" Так,

при 0'1-2 = 0,5 наибольшие значения КПД лежат в области

738

и1/ с8 = 0,55 + 0,80, а

7J,.".

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-.. ~H~46

 

 

при увеличении и1/ С8

0,6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/"'"

 

 

 

 

 

 

 

свыше 0,8

падение

0,7

 

 

 

 

 

 

11/

v

~

 

.......

 

~

r-.....

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кпд не так значитель-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vf

 

 

 

 

 

\

 

 

 

'"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

но, как у активной

 

 

 

 

 

 

~~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ступени. Кроме того,

0,6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с увеличением 081-2

45

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t'30

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1\

 

 

 

до 0,3 максимальное

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Х!

 

 

 

 

110

значение КПД возрас-

ц+

 

If

 

 

 

 

 

j

 

 

 

 

\

 

 

 

тает до -0,83 и не ме­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)г),

 

 

 

90

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

НИereJI приувеличении

D,1

I

 

 

 

 

 

,т~

~}/

\

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

081-2 до 0,5.

 

o,z

 

 

 

 

 

 

 

 

70

зависимости угла

4

,11-

 

 

QI!"Р

~

/

 

 

 

 

 

 

 

выхода потока из ко-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

леса (Х.2' приведенные

о

 

 

 

V'V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на том же рисунке,

0.'

0,1 o,J 4~

D,5 8,6 0.1 0,6

 

 

 

 

 

 

 

ПОка3ывают, что гид­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

равлический КПД до-

Рис. 10.24. Влиявие отношения и/с. и козффициеи­

стигает ~

при

та реактивности 11'1-2 осевой ступев:и ка гидравличес-

СХ2 = 90

0

 

кий КПД 11,

р" и yroл потока IX2 при выходе из KOJIeca

, т.

е. при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

осевом выходе потока

прак~ически при всех значениях коэффициента реактивности. За­ висимости максимальных значений гидравлического КПД 1],ph '

max

угла выхода потока из колеса (Х.2 и коэффИциента реактивности

0'1-2 от и/с,и коэффициентарадиальности ~ = D2 / D1 = 0,3 + 0,7 для

радиально-осевой центро-стремительной ступени рассчитаны при

СХl = 150; =0,95; =0,85; C1Z /C 2z = 1,0 (рис. 10.25) [10].

Видно, что с уменьшением ~ максимальный гидравлический

КПД и соответствующее ему ОПТ1lмальное отношение и/с, возрас­

тают. При этом увеличивается и значение коэффициента реак­

тивности 0'1-2' при котором достигаются наибольшие 1], Р h . •

Необходимо обратить внимание на то, что угол выхода потокfПз

колеса (Х.2' соответствующий максимальным КПД, с увеличением

и/с8увеличивается свыше 900, достигая при ~ = 0,3 и и1/с, =1,0

значения СХ2 == 1150. С ростом ~ значения ~, соответствующие 11вРh

max

возрастают. Причины увеличения гидравлического КПД центро­ стремительной ступени при увеличении (Х.2 свыше 900 подробно проанализированы в работе [16]. Тем не менее в практике проек­

тирования расширительных машин угол выхода потока выбира-

ют в пределах СХ2 =90 + 1100, так как потери в выходном устрой­ cTBe при увеличении (Х.2 свыше 100-1100 резко возрастают, при­

водя к увеличению давления Р2 при выходе из колеса, снижению

располагаемого теплоперепада в ступени и, как следствие, ее КПД.

Наибольшие значения внутреннего (мощностного) КПД, как

показывает опыт, получены при таких значениях и/С8 и 081-2:

47*

739

 

 

 

 

 

 

 

 

 

для осевых ступеней

 

 

'/L-!J.

7

 

v l

U1/C, = 0,55 + 0,75;

 

 

 

L

L.1

 

f:l,l-2 = 0,3 + 0,5

 

 

~~

~

~1<

"

~r-

~~

для радиально-центростре­

..... с

мительных ступеней

0,3

 

 

-

(7

 

и\/с, = 0,67 + 0,72;

о

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sl,t-z

 

!1,l-2 = 0,4 + 0,5.

 

 

 

 

 

 

 

~

 

6

 

 

 

 

 

 

0,8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

.o!!!!~

0,6

Выбор углов потока в абсо­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

..... V

 

11,7

 

 

лютном и относительном движе­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,"

нии влияет на гидравлический

 

 

 

 

 

~

 

lt'"o,J

 

 

0,2

й внутренний КПД ступени.

 

 

 

fJ

 

~

 

 

 

 

 

 

 

Уroл выхода потока из сопло­

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. вого аппарата можно выбирать

0,5

 

0,7

0.9 и,/с,

в пределах аl =1О + 250. Каза-

Рис. 10.25. 8JIИЯВИеотиошевия и/с, ико-

лось бы, что с целью увели­

чить эйлерову работу его сле-

=:и~е=ч:::а~~ес~Г:~пд

дует выбирать минимальным,

11, р "тах' yroл потока «2 при выходе из

однако при слишком малых

колеса и коэффициеm реактиввости а,н

углах

аl < 100 возрастают по­

радиальной ступени

 

 

 

 

тери

в сопловом аппарате.

В осевых ступенях с длинными лопатками, закрученными по за­

кону постоянства циркуляции, угол a 1 уменьшается от перифе­

рии к корню, так что, выбрав близкое к минимальному значени~ a 1cp на среднем диаметре, можно получить недопустимо малыи

угол а у коряя лопатки. У центростремительных ступеней при

малыхl~ могут возникать обратные течения в периферийной об­ ласти ко1леса, что приведет в итоге к снижению КПД ступени.

Вместе с тем уменьшение a 1 приводит к снижению потерь с вы­

ходной скоростью. это указывает на необходимость выбора опти­ мальных значений ар при которых будут получены наибольшие

значения КПД.

Дляосевыхступенейс короткими лопатками (l/Dcp) s; 0,1 О можно

принимать аl =14 + 200; при длинных лопатках (l/Dcp ) > 0,10

и таких законах закрутки по высоте, при которых a1 уменьшается

от периферии к корню, лучше принимать большие значения

аl =16 + 250.

Для радиально-центростремительных ступеней с диаметрами

колес D1 ~ 0,1 м выбирают

СХl =14 + 200; при D1 < 0,1 + 0,05 м

аl =1О + 160. При малых a 1

возрастает высота лопатки соплового

аппарата и колеса на входе,

что имеет значение для ступеней

с D..l <0,05 м.

 

Угол потока при входе в колесо в относительном движении

находится в пределах для осевых ~1 = 40 + 800 и ~1 = 40 + 1100

для радиальных ступеней. В осевых ступенях с длинными лопат­

ками желательно иметь на среднем диаметре ~1 = 40 + 600, что­ бы не получить в периферийном сечении слишком большие

~1 > 100 + 1100. Наибольшие КПД, радиальных ступеней получе­ ны при ~1 =900.

Угол потока при выходе из колеса в относительном движении для осевых и радиальных ступеней обычно находится в преде­

лах ~2 = 25 + 450.

Угол потока при выходе из колеса в абсолютном движении может изменяться в узких пределах а2 =70 + 1100. С целью уве­ личить КПД осевых, концевых (последних) и радиальных ступе­

ней его рекомендуется выдерживать а2 = 900, так как это позво­

лит уменьшить потери в выходном устройстве и повысить КПД

ступени.

§ 10.8. ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ СТУПЕНЕЙ

РАСШИРИТЕЛЬНЫХ ТУРБОМАШИН ЗА СЧЕТ УМЕНЬШЕНИЯ

ПОТЕРЬ ЭНЕРГИИ С ВЫХОДНОЙ СКОРОСТЬЮ'

Потери кинетической энергии с выходной скоростью С2 могут составлять до 100/0 от располагаемого теплоперепада, причем в осевых ступенях эти потери выше, чем в радиальных. Сниже­

ние потерь энергии с выходной скоростью ил'и, как иногда гово­ рят, выходных потерь является эффективным способом повыше­

ния как внутреннего, мощностного 1], р! ЧО.143), так и внут­

реннего КПД по параметрам торможения 1],р! (10.145), опреде­

ляющего энтальпию и температуру торможения при выходе из

ступени. Вследствие этого будет не только возрастать мощность,

отдаваемая ступенью, но и одновременно снижаться температура

торможения рабочего вещества на выходе. Это особенно важно

для детандеров газовых холодильныХ машин, так как приводит

к увеличению удельной холодопроизводительности.

Рассмотрим в 8 - i-диаграмме процессы в идеальной адиабат­

ной ступени, в которой отсутствуют все виды потерь, в том числе

потери на протечки и трение (рис. 10.26,а). Внутренняя работа такой ступени будет равна эйлеровой работе 4 = lэ, а внутренний

КПД равен гидравлическому 1],р! = 1],ph' Это непосредственно

следует из зависимостей (10.18) и (10.1~3).

В том случае, если статическое давление за колесом равно Р2' внутренний КПД идеальной ступени будет определяться в соот­

ветствии с формулами (10.143) следующим образом:

 

 

=

6.'

 

2

2

2

 

1]

ZO·_2,·

= С, -С2,

=1- С2'.

(10.150)

,р!

 

6.i ._

,

 

С:

~:

 

 

 

 

 

o

2

 

 

 

 

Видно, что даже при отсутствии всех видов потерь в проточ­

ной части, когда процессы в ступени являются И30энтропными,

740

741

 

а)

i

Рис 1026 Теоретические (а) и действительиые (6) процессЬLв ОFоступеичатой

рас~ир~~ой машине с BЫXOДSЫM диффузором И без него в s - -диаграмме

ее внутренний кпд меньше единицЫ на C~8/с:, равную доле,

которую составляет кинетическая энергия потока при выходе из

колеса в абсолютном движении C~8/2 от располагаемого тепло-

перепада в ступени i~ - 128 = с:/2.

Учитывая, что при выходе из любой ступени расширительной

турбомamины поток всегда будеТ,иметь определенную кинетичес­

кую энергию, уместно поставить вопрос о том, существует ли

хотя бы теоретически способдостижения в рассматриваемой иде-

альной ступени наивысшего кпд 1'I8p l =1.

Из уравнений Бернулли (7.17) и энергии (7.32), (7.39) для

изоэнергетического потока следУет, что если за ступенью расший

рительной турбомашины ус,-\,ановить гипотетический идеальны

диффузор с бесконечно большой площадью выходного сечения, то скорость при выходе из такого диффузора будет равна нулю.

Перепад энтальпий в диффузоре

[*

- 1

=с

2д8

'/2 ~ c~_/2.

(10.151)

2Д8

 

-

 

Здесь [;~.8~ i2Д8 - энтальпии торможения и ста~ическая при вхо­

де в диqxpузор; с8 - скорость потока при входе в диффузор,

равная абсолютной скорости при выходе из ступени, работающей

совместно с диффузором.

В этом уравнении учтено, что при нулевой скорости потока· энтальпия в выходном сечении диффузора равна энтальпии тор­

можения, которая в изоэнергетическоМ'потоке постоянна и равна

энтальпии торможения при входе в диффузор [; =[;Д8' При от-

. сутствии потерь процесс в адиабатном диффузоре изоэнтропный,

а давление при выходе из него должно быть равно давлению при

выходе из маШИНЫ Р;Д8 =Р2' Вследствие этого энт~ьпия тормо­

жения'при выходе из колеса идеальной ступени с диффузором в

абсолютном движении будет равна статической энтальпии ПО'\'ОЮt

при выходе из колеса ступени без диффузора [; 8 = [28 ' Установ­

ка диффузора за ступенью привела к тому что сt'атическое давле­

ние при входе в диффузор, а значит, и при выходе из ступени, в

соответствии с уравнением (7.32) стало меньше, чем статическое давление за машиной Р2Д8 < Р2' При этом теплоперепад в ступ~ни

увеличился 6.io-2Д8 = 6.io-28 + С:Д8/2, внутренняя работа СТУIl~НИ

с дифузором стала равна располагаемому теплоперепаду ступени

без диффузора

llд = 6.io-2дв* = 6.to-28 = с:/~,

а внутренний КПД ступени с диффузором при отсутствии потерь

в них стал 1'I8рlд = 6.iо._28/6.iО*_2Д8 = 1.

Таким образом, теорёТически установка за идеальной ступе­

нью диффузора, в I<OТOPOM кинетическая энергия потока без по­

терь npeoбразуется в энергию давления, а скорость в выходном сечении снижаereя до нулевой, является еДинственным способом получения'

наибольш~ з~ачения внутреннего кпд 1'I

lд =1'I8p t + 6.1'Ilд' где

6.1'Ilд =с288

 

Учитывая, что C~8/C: = 0,04 + 0,10, в этом теоретическом, пре­

дельном случае резерв повышения внутреннего КПД ступени за

счет установки диффузора составляет 4-10% . .

в действительных адиабатных машинах имеются потери во

всех элементах проточной части ступеней и процессы идут с воз­

растанием энтропии (рис. 10.26, 6). Внутренние КПД ступени

без диффузора

 

6.1'18 рl

= 6.to*-2* / 6.io-28

и с диффузором

 

6.1'I8рlд

= 6.t()* -2д*/6.io*-28 '

учитывая, что 6.t0' -2д' = 6.t0-2' + 6.t2-2д*' можно связать такой

зависимостью:

(10.152)

742

743

Разность энтальпий торможения

(10.153)

При записи последнего, приближенного, равенства учтено, что

из-за малости перепада энтальпий &2-2д и отношения давле­

ний Р2/Р2д абсолютные скорости потока при выходе из колеса ступеней с диффузором и без него будут блИзки друг к другу, так

что, не допуская ощутимых погрешностей, можно считать, что

C~д ::::; C~.

.

Перепад энтальпий

 

~i2-2д =~~-2Д8''I18Р'

где '11, р -

изоэнтропный КПД ступени по статическим парамет­

рам (10.146), который в отличие от внутреннего КПД 'I1,p/(10.143)

в идеальной ступени без потерь, независимо от того есть диффу­

зор за колесом или нет, всегда равен единице.

При малых перепадах энт8ЛЬПИЙ Ы2-,' ::::; ~~д-кs' причем издиа­

граммы (рис. 10.26, б) видно, что ~д-кs = Ы2д_к'I1' где 'I1s д - изо­

энтропный КПД диффузора. Перепад энтальпий в диффузоре оп­

ределяется уравнением энергии вида (7.39)

(10.154)

где С' СК - скорости потока при входе и выходе из диффузора.

.Отношение скоростей в диффузоре

 

nд =Ск

(10.155)

определяет требуемое отношение площадей выхода и входа

 

Fвых•д

_ n

Р2д

 

 

Fвхд

-

д Рк .

 

 

При невысоких числах, Мс2д < 0,3 во входном сечении диффу­

зОра ВПОfне допустимо считать Р = const и тогда

 

.

Fвыхд

= nдFвхд'

(10.156)

Используя полученные зависимости, представим перепад эн­

тальпий (10.153) в таком виде:

(10.157)

Введя эту зависимость в выражение (10.152), окончательно

ввйдем

~.pl,=~.p'+ c~

[1- -i-J 'I1

вд

'l1

вр

'

(10.158)

 

Св

nд

 

 

 

Для цдеальной ступени с диффузором без потерь, рассматри­

вавшейся выше, nд

= 00, 'I1,д = 'I1BP = 1, 'I1Bp/ определяют по фор­

муле (10.150), а С

=С2дв ::::; С28

и, значит, 'I1B i

=1, что и. было

показано выше.

 

р

д

Повышение Bнyrpeннero кпдступени засчет установки диффузора

 

 

2

 

 

 

 

~

'I1врtд

=~--

вр

(10.159)

 

с2

[ 1

12J'I1вд'l1

 

 

 

СВ

 

nд

 

 

в значительной мере зависит от КПД диффузора '118 д' В частном

случае 'I1Bд = О, когда процесс в диффузоре из-за больших потерь

идет по изобаре и приращение КПД ~'I1ВРtд = О. Это означает,

что, применяя диффузор за ступенью расширительной турбома­

шины, необходимо уделять особое внимание его рациональному

профилированию, чтобы повысить КПД '118 д' Вопросы профили­

рования выходных диффузоров турбомашин. изложены в специ­

альной литературе [13, 27, 60, 95].

При установке диффузора за детандером газовой холодильной

машины ее удельная холодопроизводительность также возрастет

на Ы2._(10.157). Соответственно увеличится и внутренний

КПД по параметрам торможения'l1:р/ (10.145).

§ 10.9 ПРОФИЛИРОВАНИЕ ЛОПАТОК РАСШИРИТЕЛЬНЫХ ТУРБОМАШИН ПО ВЫСОТЕ

ПО высоте или по радиусу обычно профилируют лопатки осе­

вых и выходные участки лопаток колес радиально-осевых рас­

ширительных турбомашин. Лопатки радиальных колес чаще всего

выполняют цилиндрическими и по высоте не профилируют.

Л о п а т к и о с е в ы х т у р б о м а ш и н профилируют по обобщенному степенному закону [1, 10, 27]

Clurn =const,

(10.1 60)

где показатель степени n - постоянная величина, а значение const, которую ддя удобства обозначим А, определяется парамет­

рами ступени на среднем\радиусе

А = const = Clucprc~..

(10.161)

Так же, как и для осевого компрессора (см. гл. 9), принима­

ют, что поверхности тока - соосные круговые цилиндры, оси

которых совпадают с осью вращения ротора, течение является

744

745

установившимся и стационарным, а энергия потока е (9.273) по­

стоянна по высоте лопатки е =const. Это значит, что окружная и осевая составляющие скорости связаны между собой уравнени­

ем (9.279), которое запишем в таком виде:

dc: +..!.-. d(cur)2 =О.

(10.162)

dr

r 2

dr

 

Чтобы это уравнение было справедливо и для сечения за коле­

сом, должна быть постоянной по высоте лопатки эйлерова работа

=const.

(10.163)

Будем рассматривать кинематику потока в ступени с традици­

онным в практике расчетов турбомашин отсчетом углов (Х.2 и ~2 от направления, противоположного вектору окружной скорости U. При

этом, как уже отмечалось в § 10.5, будет С2и =-С2и' Ш= И

уравнение Эйлера для элементарной осевой ступени, у которой

и1 =и2 =и, следует записать так:

 

(10.164)

или

 

'l'э = СРlи + СР2и'

(10.165)

При входе в "олесо окружную составляющую скорости по высоте лопатки находят непосредственно из уравнений (10.160) и (10.161),

С1и =Ar-n = С1иер~(~J-n.

(10.166)

rep

 

Чтобы определить осевую составляющую, продифференцируем второй член уравнения (10.162) и запишем его в таком виде:

 

 

dc~z __ 2С1и d(c1Ur)

 

(10.167)

 

 

dr-

r

dr'

 

 

Используя для с

первое уравнение (10.166), получим из вы­

ражения (10.167) дифференциальное уравнение с разделяющи­

мися переменными

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.168)

интегрируя которое в пределах от rep

до произвольного радиуса r

и заменив А правой частью зависимости (10.161), получим

'2

2

2

l-n

r

-2n

]

 

c1z

=c1zep + С1иер

-n- [( rep

)

-1.

(10.169)

 

 

 

 

 

 

 

746

Отношение осевых скоростей на произвольном и среднемдиамет­

рах удобно представить в зависимости от угла (Х.1ер' если учесть, что

ctg IX1ер = C1uep/C1zcp •

(10.170)

Тогда находим окончательное выражение в таком виде:

~:z

=1 + 1 : n ctg2 (Х.1ер[(-f-)-2n -1].

(10.171)

c1zep

ер

 

При выходе из "олеса составляющие скорости определяют

с учетом условия (10.163), из которого следует, что dlэ/dr = О.

Дифференцируя уравнение (10.164), находим

d(C1u r )

d(c2ur)

(10.172)

~=-~'

 

а введя в это выражение уравнение (10.166) в виде

 

c1ur = Ar1-n,

(10.173)

получим дифференциальное уравнение с разделяющимися пере­

менными относительно произведения C2ur

 

д(с r)

 

 

(10.174)

 

_2_и_ = -А (1- n) r-n

 

 

dr

 

 

 

Интегрирование этого уравнения в пределах от rep

до r дает

выражение

е,.'= с"".',. + А':;;"

[1-n]

.

(10.175)

 

1-(~.)

введя в которое А из уравнения (10.161) и разрешив относитель-

ное",.иахе:и=ме,.,.(:,Х+ С,.,.(:'Х[1-(:'ХТ(10.176)

Вчастномслучаепри IX2ер = 90· и С2иер = О, формулаупрощается:

(10.177)

Видно, что при n =1 будет с=сер =О, а при уменьmенци n, в

этом случа~ на радиусах, отличных от среднего, появляется ок­

ружная составляющая С2и > О при r/rep < 1 и С2и < О при r/rcp > 1.

747

Чтобы DПределить осевую составлящую скорости при выходе

из колеса, запишем уравнение (10.167) для выходноroсечения

dc~z 2С2и d(c2u r)

(10.178)

dr=--r-~·

 

Воспользовавшись уравнением (10.172), заменим в этой зави­

симости производную d(c2U r)/dr ее значением из формулы

(10.174). В результате получим дифференциальное уравнение

dc~ _ (1-)

-(1J+1)

.

(10.179)

dr -

n сr

 

Введя в него выражение (10.175) и проинтегрировав в преде­ лах от rcp до r, после преобразований найдем

 

c~z

+ 2 (1- n)

c~zcp

2

(Х.1ср х

 

-2- = 1

-2- ctg

 

 

~zQ

 

~zQ

 

 

х{_1 [1- (~)-(1J+1)](1 + С2исрJ_~[1- (~J-21J]}.(10.180)

1 + n

rcp

С1иср

2n

 

rcp

Уравнения (10.166), (10.16.9) или (10.171), (10.176) и (10.180)

позволяют определить кинематику потока в элементарных осе­

вых ступенях на любом радиусе по высоте лопатки. Однако необ­

ходимо отметить, что далеко не при всех значениях показателя

степени n уравнение (10.171) имеет решение для осевой состав­

ляющей скорости. При увеличении отнощения r/rcp и угла (Х.1 ср

минимальное значение n возрастает, а его превышение приводит

к тому, что правая часть уравнения становится отрицательной. Это соответствует отрицательным, т.е. заведомо нереализуемым

при сделанных допущениях, осевым составляющим скорости c1z

(рис. 10.27).

Профuлuрованuе лоnamo" по за"ону (Х.1 = const является част­ ным случаем Профилирования по обобщенному закону (10.160).

Действительно, если (Х.1 = const, то tga1 = C1z/Clu = const, откуда

c1z z:: c1utga1.

(10.181)

Введя это выражение в уравнение (10.162), после преобразо­ ваний найдем

dc~u (t

2

(Х.1 +

1)

2C~и О

dr

g

 

+ - r - = .

Рис. 27. ЗависИМОСТИ ваимевьmero показателя: степеви nmin'

ПРИ КОТОРОМ существует действительное решевие уроке­

вив: (10.171) от yrла <х,.ср И ~зразмеркоro радиуса r/rcp

Заметив, что tg2(X.1 + 1 =1/сos2 (Х.1 И раскрыв производную dcfu /dr, получим дифференциальноеуравнениес разделяющими­

ся переменными

dC1

" + cos

2

 

dr

= О,

(10.182)

 

 

а1

-

С1и

 

 

r

 

 

интегрируя которое, найдем зависимость, определяющую измене­ ние по радиусу окружной составляющей абсолютной скорости при

входе в колесо

c1urC082CLl :: const.

(10.183)

Заменив в этом выражении сего значением, найденным по

формуле (10.181), и учитывая, что tga1 =const, получим анало­

гичную зависимость для осевой составляющей абсолютной ско­

рости при входе в колесо

(10.184)

748

749

Окружные и осевые составляющие скорости на произвольном

радиусе при входе в колесо определяют по зависимостям, полу­

ченным из двух последних уравнений: '

(10.185)

-e082 аl

C1%1 = C1zep(~ j

(10.186)

 

Окружные и осевые составляющие скорости на произвольном

радиусе при выходе из колеса определяют по формулам (10.177)

и (10.180), в которых показатель степени n =cos 2 (x'l'

Применение этого способа профилирования позволяет устанав­

ливать в сопловом аппарате незакрученные лопатки постоянного

сечения по высоте, что намного упрощает их изготовление. Вмес­

те с тем необходимо иметь в виду, что при очень большой разни­

це в шагах решетки на периферии и у корня использование лопа­ ток постоянного сечения не обеспечивает точного соблюдения зако­

на (X,l =const. Это связано с влиянием толщины выходной кромки

профиля, также постоянной по высоте, вследствие чего с уменьше­

нием шага уменьшается и эффективныйyroл решетки (Х,lзф (10.64).

При достаточно большом шаге t ep и относительно коротких ло­

патках изменением (Х,lзф по радиусу можно пренебречь, но при

длинных лопатках его необходимо учитывать. В последнем слу­

чае показатель степени в уравнении (10.160) будет несколько больше, чем cos2 (X,1' и его надо подбирать исходя из фактического закона распределения углов по высоте сопловой решетки (см. рис. 10.28, г, 10.29, г). При больших скоростях потока необходимо дополнительно учитывать и влияние числа M c1 на отклонение потока в сечениях сопловой реш~тки на разных ра­

дИусах.

Зная окружные и осевые составляющие абсолютных скоростей

при входе и выходе из колеса на i-M радиусе, можно определить

углы потока в абсолютном и относительном движении по следую­

щим формулам, непосредственно полученным из треугольников

скоростей (см. рис. 10.7):

Cl z1

C2z1

(10.187);

(10.188)

(Х,Н =arctg -- ;

(Х,21 =arctg -- ;

Clul

c2u1

 

 

Clz1

 

(10.189);

(10.190)

~ll =arctg ---

 

Clul - ин

750

Скорости потока в абсолютном и относительном движении на­ ходят после этого по таким формулам:

 

 

Cl z1

Clul

 

 

 

= --- = --- ' (10.191)

 

 

sin(x'H

СОЗ(Х,н

'

 

 

 

 

 

 

- иlI

 

2

)2 2

C1z1

 

C1ul

(10.192)

( Clul - щ,

+ Cl z1

= --- =

COS~H

 

 

sin ~H

 

 

 

= --- = --- ' (10.193)

 

 

sin(X,21

СОЗ(Х,21

'

 

 

 

= ~ = C2ui + и21. (10.194)

с2 , _ U

)2 + с2-.

( I 21

2z I

sin ~2i

 

cos ~21

 

Здесь окружную скорость на i-M радиусе определяют с помо­

щью выражения

 

ер

1j

(10.195)

и,=и

-,

 

r

 

 

 

ep

 

При определении углов (Х,21 и ~H может возникнуть ситуация,

когда вследствие того, что С2иl < О или Clui - ин < О, будет

и (X,2i < О или ~H < О. Это означает, что соответствующие углы будУТ тупыми и их надо пересчитать по формулам (с учетом знаков)

(10.196)

и

(10.197)

Результаты расчетов изменения осевых составляющих абсо­

лютных скоростей C 1Z l' C2z 1 И углов потока в абсолютном (х'н' (Х,21

И относительном ~H' ~21 движении по высоте лопатки в пределах

'i/rep =0,8 + 1,2 для осевых ступеней с (Х,lер = 200 и кинематичес-

кими коэффици~нтами реактивности n'i-!2ep = 0,5 (рис. 10.28)

иn(lK)2 =0,3 (рис. 10.29) показывают, что некоторые из этих

-ер

параметров значительно изменяются по высоте лопатки. На ха­

рактер их изменения существенно влияет показатель степени n

в уравнении (10.160).

 

При n =1 составляющая скорости C 1Z

1 постоянна по высоте

лопатки и от радиуса не зависит. С уменьшением n значение C1z1

на периферии уменьшается, а у втулки -

растет.

 

751

..;а

CIt

~

1.11 11

'~I 11

1,01 I 1

.5,)

 

r/rcp

 

 

n·fJ,6'"

1'1.0

!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~61

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50

 

100

 

Cz,z

 

 

 

О

 

 

 

Рис. 10.28. Изменение осевых составляющих скорости С1

(а), С2

(6), углов потока в относительном 13., 132 (8) И 'абсолютном

а.. а2

(г) движении по высоте

лопатки в зависимости от безразмерного радиуса r/rep при раз:ных показателях степени n

у осевой ступени с кинематическим коэффициентом реактивности

O\~2 = 0,5

5)

 

 

 

 

 

 

 

 

r/7'ep

 

 

 

 

n-q6 1

r"t,O

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.9~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,8

 

 

 

 

fJ,6'1

 

 

 

 

50

100

Czz

О

 

Рис. 10.29. Изменение осевых составляющих скорости с1 • (а), С2

(6), углов потока в относительном 13., 132 (8) И абсолютном

..;а

а., а2(г) движении по высоте лопатки в зависимости от безразмерного радиуса r/r

ер

при разных показателях степени n

~

у осевой ступени с кинематическим коэффициентом реактивности

O~~2 =0,3

 

При n = 0,596 составляющая c1z t на радиусе 'i = 1,2rc стано­

вится равной нулю (см. рис. 10.27, 10.28, а, 10.29, а). По мере

уменьшения n изменение c1z t от втулки К периферии тем больше,

чем меньше кинематический коэффициент реактивности .n~~2CP

на среднем радиусе. Этими особенностями определяется практи­

ческая целесообразность применения закрутки лопаток с близки­

ми к единице значениями показателя стеПени n =0,8 + 1,0. Осе­

вая составляющая выходной скорости c2z t настолько мало зави­

сит от r/rcp для всех n, что ее можно считать практически по­

стоянной по радиусу и примерно равной c2z ср (см. рис. 10.28, б;

10.29, 6). .

Наиболее значительно изменяется по высоте лопатки угол ~lt

(см. рис. 10.28, в, 10.29, в), причем с уменьшением n~~2CP диа­

пазон изменения ~H уменьшается. Это позволяет уменьшить за­ крученность лопатки, облегчить ее изготовление и повысить проч­ ность. Влияние n, на характер изменения ~lt в целом не очень вели-

ко. Так, при ni~2CP = 0,5 разность ~~, = ~lnер! - ~lвT! С уменьшени-

ем пот 1,0 до 0,7 уменьшается от 96 дО 93Р, а при n~~2CP = 0,3 -

от 66 до 40'.

Угол <Х.Н при n =1,0 + 0,8 изменяется по высоте лопатки на

7-80, но характер его изменения зависит от n. При n ~ 0,9

<Х.Н ~ <Х.1ср = const.

Угол <Х.2 при n = 1,0 постоянен и от радиуса не зависит:

<Х.2! = <Х.2ср J const. По мере уменьшения n на периферии <X.2i растет,'

а у втулки уменьшается. При n = 0,8 А(Х,2 = (Х,2пер - (Х,2вт. = 13 + 140

(см. рис. 10.27, г; 10.28, г).

Из,м,енение "оэффuциенmа реа"mивносmи по высоте лопатки

при закрутке по закону (10.160) с различными значениями пока­

зателя степени n лучше всего проследить на примере кинемати-

ческого коэффициента реактивности ni~2' определенного ранее

зависимостью (10.48).

Преобразуем второй член правой части, раскрыв разность квад­

ратов в числителе и введя в знаменатель вместо Ч'э его значение

из формулы (10.165). После ~окращений получим

П(К)

= 1 _ Ч'1u - Ч'2и

= 1 _ сп

(10.198)

1-2

2

ути'

 

где Ч'тu - среднее значение окружных составляющих абсолютной

скорости при входе на колесо и выходе из него.

754

Найдем зависимость, определяющую Ч'тu на произвольном ра­ диусе по высоте лопатки, с помощью полученных ранее выражений для с(10.166) и с(10.176). После преобразований получим

r

-('H1)

Ч'эср

[J-2

 

 

r

(10.199)

Ч'тu =Ч'1uср[rcp J

- - 2 -

rcp .

 

На основании уравнений (10.165) и (10.198) для среднего диа­

метра можно записать

Ч'2иср

= Ч'эср -

Ч'luср

(10.200)

 

и

 

 

 

 

 

(К)

(10.201)

Ч'тuср = 1- n

1- 2cp '

 

с помощью зависимостей (10.199)-(10.201) из выражения (10.198) после преобразований найдем

п(К)

= 1- (Ч'зср

+ 1- n(K)

J[~J-('H1) + Ч'зср[~J-2. (10.202)

1-2

2

1-2ср

rcp

2' rcp

В частном случае при n = 1, когда закрутка осуществляется

по закону постоянства циркуляции cur =const, найдем

n(K)

=1-(1- О(К)

)[~J_2.

(10.203)

1-2

1-2ср

~p

 

По мереувеличения радиуса n~~~ .возрастает, а при уменьшении

радиуса - уменьшается (рис. 10.30, а, 6). На его значение влияет

Ч'..еср' Чем он больше, ТеМ быстрее убывает n~~~. С уменьшением по-

(К)

(К)

-

(К)

 

казателя степени n значение ~1-2

= n 1- 2nep

n 1- 2BT

уменьшается.

При выборе коэффициента реактивности на среднем диаметре

и показателя степени n, необходимо следить за тем, чтобы в кор-

невомсечении лопатки было n~~~BT ~ О.

Коэффициент реактивности по действительным теплоперепа­

дам (10.47), который для элементарной осевой ступени определя­

ют без учета потерь на протечки и трение зависимостью

(К)

(К)

(2

2)/2

Ч'э

 

_ n 1- 2

- Ч'1z -

Ч'2z

(10.204)

nl _ 2 -

1 + Ч'22/2Ч'э

'

 

 

 

 

 

 

755