2. Алгоритм поиска минимума интегральной оценки качества в пространстве парамметров

 Для вычисления квадратичной интегральной оценки наиболее целесообразно использовать аппарат теории вычетов, т.к. непосредственное использование пакета вычисления несобственного интеграла связано со значительными затратами времени и в некоторых случаях приводит даже к «зависанию» программы.

Итак, по теореме об изображении свертки

.

Положив здесь t = 0, имеем

, (13.1)

где, как обычно,

.

Очевидно, что

. (13.2)

Таким образом, из (13.1) и (13.2) следует

.

В частности, применив полученное соотношение к вычислению квадратичной оценки, находим

.

Используя далее формулу Коши, получаем окончательно

,

где вычеты вычисляются относительно полюсов s=s_k , подынтегральной функции E(s)E(-s), находящихся в левой части комплексной плоскости s.

Уменьшение оценки будем осуществлять подбором параметров

И корректирующего элемента. Исходя из их допустимых значений,

которые определяются рис.12.5, построим начальный симплекс с вершинами в точках с координатами, задаваемыми таблицей

Табл.13.1

№точки			Интегр.оценка
1	0.230	0.350	3.7203
2	0.220	1.150	1.6862
3	0.086	0.710	0.1664

Из таблицы видно, что наибольшее значение интегральной оценки соответствует параметрам первой точки. Из этой точки делается пробный шаг в новую точку с координатами, вычисляемыми по формулам

В результате подсчета получаем новое значение интегральной оценки (Табл.13.2)

Табл.13.2.

№ точки			Интегр.оценка
2	0.220	1.150	1.6862
3	0.086	0.710	0.1664
4	0.076	1.510	0.6629

Пробный шаг привел к уменьшению интегральной оценки и поэтому принимается. Нетрудно видеть, что геометрически этот шаг соответствует построению отрезка, проведенного из вершины с наибольшей интегральной оценкой через середину противоположной стороны треугольника-симплекса, образованного тремя первоначально выбранными точками. Во вновь образованной таблице «конкурирующими» вершинами оказались две прежних и одна новая. Однако повторение операции с пробным шагом не приведет к положительному результату, ибо новая вершина окажется вне пределов зоны устойчивости (рис.12.5). В этом случае необходимо сократить вдвое длину ребер симплекса, причем вершина с наименьшей интегральной оценкой остается неподвижной. В данном случае такой вершиной служит третья точка. Формулы для вычисления координат двух новых вершин очевидны:

После подсчета интегральных оценок получаем

Табл.13.3.

№ точки			Интегр.оценка
3	0.086	0.710	0.16640
5	0.081	1.110	0.21388
6	0.153	0.930	0.39266

Последующие шаги приводят к постепенному уменьшению интегральной оценки переходного процесса. Остановка всей вычислительной процедуры производится по признаку малого выигрыша в интегральной оценке, которая по принятой терминологии в теории наименьших квадратов является функцией риска. В приведенном примере достаточно малой интегральной оценкой можно считать величину I₂ = 0.046608. Соответствующий переходный процесс (вместе с программой его построения) приведен на рис.13.1.

После построения переходного процесса, соответствующего минимуму интегральной оценки интересно проверить, сильно ли отличается частотная характеристика разомкнутой системы от первоначально выбранной желаемой и каковы запасы устойчивости по фазе и амплитуде. На рис.13.2 и рис.13.3 представлены амплитудная и фазовая частотные характеристики синтезированной системы. Видно, что главное отличие окончательного варианта амплитудной частотной характеристики состоит в наличии небольшого резонансного пика на частоте 76 рад/с, что несколько расширяет полосу пропускания (это заметно на графике переходного процесса).

В заключение укажем на связь между распределением нулей и полюсов изображения ошибки и качеством переходного процесса.

Степенью устойчивости принято называть наименьшую абсолютную величину вещественной части из всего множества корней. Геометрически это соответствует расстоянию между мнимой осью в плоскости корней и ближайшим корнем (рис.13.4), либо парой корней. Если обозначить эту величину через , то самая медленно затухающая компонента переходного процесса будет иметь вид

.

Время затухания этой составляющей до 0.05 от первоначальной величины составит 3/.

В случае, когда ближайшей к мнимой оси оказывается пара комплексно сопряженных корней вида

,

то самая медленно затухающая компонента будет иметь вид

.

Длительность затухания остается прежней, но протекание процесса носит колебательный характер. Колебательностью принято называть отношение

.

Нетрудно увидеть смысл параметра колебательности. Т.к. период колебательной составляющей равен

.

Билет № 11.