2.Выяснить связь между частотными критериями и методом выделения области устойчивости в пространстве параметров.

Итак, пусть передаточная функция разомкнутой системы

.

Тогда характеристическое уравнение замкнутой системы

, (9.5)

и мы рассмотрим однопараметрическое семейство уравнений

, (9.6)

которое при w=1 переходит в (9.5)

Поставим задачу выделения области устойчивости в плоскости параметра w. В соответствии с разработанной методикой заменим

на и разрешим (9.6) относительно параметра.

.

Как видим, получилось выражение, совпадающее с точностью до знака с частотным оператором разомкнутой системы. Построение годографа, повернутого на 180^о, полностью решает задачу выделения области устойчивости (рис.9.6)

Рис.9.6.Годограф Найквиста как граница области устойчивости

Если действительная единица принадлежит области устойчивости, то характеристическое уравнение (9.5) имеет все корни с отрицательной действительной частью. Это утверждение находится в полном соответствии с критерием Найквиста, который сформулирован в лекции 8.

С небольшими изменениями можно установить связь метода выделения области устойчивости с частотным критерием Михайлова. Для этого следует рассмотреть однопараметрическое семейство характеристических уравнений

,

и построить годограф Михайлова (рис.9.7). При мы получаем характеристическое уравнение замкнутой системы и если эта точка принадлежит области устойчивости, то все корни имеют отрицательные действительные части. Это имеет место лишь в том случае, если годограф монотонно проходит 2n квадрантов (диапазон изменения частоты увеличен вдвое).

Рис.9.7.Годограф Михайлова как граница области устойчивости.

Приведенные здесь примеры выделения областей устойчивости использовали в большой степени аналитический аппарат, позволяющий обходиться без решения алгебраического уравнения порядка выше второго. Современное математическое обеспечение существенно расширило возможности определения областей устойчивости, что особенно ценно при синтезе автоматических систем.

2.Выяснить связь между частотными критериями и методом выделения области устойчивости в пространстве параметров.

Устойчивые системы

Билет № 2.

При исследовании АСУ и их элементов используют ряд стандартных сигналов, называемых типовыми воздействиями. Эти воздействия описываются простыми математическими функциями и легко воспроизводятся при исследовании АСУ. Использование типовых воздействий позволяет унифицировать анализ различных систем и облегчает сравнение их передаточных свойств.

Наибольшее применение в ТАУ находят следующие типовые воздействия:

• ступенчатое;

• импульсное;

• гармоническое;

• линейное.

Единичное Ступенчатое воздействие – воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до некоторого значения и далее остается постоянным (рис. 2.2, а).

Математическое выражение, описывающее единичное ступенчатое воздействие, имеет вид

Единичное ступенчатое воздействие, возникающее в момент времени t – t1, обозначают 1(t – t1).

Ступенчатое воздействие чаще всего используют при исследованиях систем стабилизации параметров, так как эти воздействия наиболее близки к реальным входным (задающим и возмущающим) воздействиям систем стабилизации.

Импульсное воздействие – одиночный импульс прямоугольной формы (рис. 2.2, б), имеющий достаточно большую высоту и малую длительность (по сравнению с инерционностью испытываемой системы) с площадью а₀.

При математическом анализе АСУ используют единичное импульсное воздействие, описываемое так называемой дельта-функцией

причем ,

Последние два выражения позволяют рассматривать дельта-функцию, как импульс, имеющий бесконечно большую высоту, бесконечно малую длительность и единичную площадь. Дельта-функцию можно определить также как производную единичного ступенчатого воздействия:

(2.5)

Неединичное импульсное ступенчатое воздействие с площадью а₀ обозначается

x(t) = а₀  (t). (2.6)

Гармоническое воздействие – сигнал синусоидальной формы, описываемый функцией (рис. 2.2, в)

x(t) = x_m sin t ,(-  t   ), (2.7)

где x_m – амплитуда сигнала;  = 2 / Т – круговая частота; Т – период сигнала.

Гармонический сигнал, начинающий действовать в момент времени t = 0, описывают при помощи единичной ступенчатой функции:

x(t) = 1(t) x_m sin t ,(0 t   ). (2.8)

Линейное воздействие – воздействие, описываемое функцией (рис. 2.2, г)

x(t) = 1(t) а₁ t ,(0 t   ). (2.9)