- •1.Перечислить методы математического описания линейных динамических систем. Показать, как перейти от одного способа к другому. Доказать линейность применяемых операторов.
- •1.Перечислить методы математического описания линейных динамических систем. Показать, как перейти от одного способа к другому. Доказать линейность применяемых операторов.
- •2.Выяснить связь между частотными критериями и методом выделения области устойчивости в пространстве параметров.
- •2.Выяснить связь между частотными критериями и методом выделения области устойчивости в пространстве параметров.
- •Коэффициент а1 характеризует скорость нарастания воздействия X(t).
- •2.Дать определение и указать на области использования импульсной переходной функции линейной динамической системы.
- •1.Математическое описание периодических и непериодических сигналов. Какие сигналы имеют изображение по Лапласу?
- •2.Показать различные методы вычисления коэффициентов ошибок.
- •1.Дать определение передаточной функции линейной динамической системы. Провести классификацию элементов по признаку передаточной функции. (см тетрадь)
- •1.Написать в общем виде дифференциальное уравнение линейной многомерной системы управления и объяснить смысл символов. Привести примеры из техники.
- •1.Написать в общем виде дифференциальное уравнение линейной многомерной системы управления и объяснить смысл символов. Привести примеры из техники
- •1.Дать определение годографа частотного оператора и указать на области его использования. Построить годограф частотной характеристики для заданного элемента.
- •Безынерционное звено
- •Интегрирующее звено
- •Апериодическое звено
- •2. Алгоритм поиска минимума интегральной оценки качества в пространстве парамметров
- •1.Записать передаточную функцию системы управления по отношению к заданному входному воздействию.
- •2.Указать на связь между качеством переходного процесса и распределением нулей и полюсов передаточной функции.
- •1.Дать определение устойчивости движения по a.M. Ляпунову.
- •2.Описать способы модуляции в дискретных системах управления.
- •1.Сформулировать теорему a.M. Ляпунова об устойчивости.
- •Вопрос 1. Привести пример применения критерия Гурвица для заданного характеристического уравнения(не ниже 4-го порядка).
- •Вопрос 1. Доказать критерий устойчивости а.В.Михайлова.
- •Вопрос 2.Сформулировать понятие управляемости и теорему Калмана об управляемости.
- •1.Доказать критерий устойчивости г. Найквиста.
- •2.Привести пример системы управления с распределенными параметрами. Какое влияние оказывает элемент с запаздыванием на характеристики системы управления?
- •1.Объяснить принцип построения границы области устойчивости в пространстве параметров системы управления.
- •Понятие о d-разбиении.
- •2.Изложить аналитический подход к исследованию многомерной нестационарной системы управления. Распространение метода свертки на многомерные системы.
- •1.Привести пример выделения области устойчивости в пространстве двух параметров.
Вопрос 1. Привести пример применения критерия Гурвица для заданного характеристического уравнения(не ниже 4-го порядка).
Пример 7.1
Рассмотрим следящую систему со структурной схемой, изображенной на рис.7.2.
Рис.7.2. Структурная схема простейшей следящей системы.
Передаточная функция следящей системы в разомкнутом состоянии
,
следовательно, дифференциальное уравнение замкнутой системы
. (7.3)
Соответствующее характеристическое уравнение получается заменой наs.Поставим задачу определения максимального коэффициента усиления, при котором система сохраняет устойчивость. Для этого воспользуемся критерием Гурвица. Определитель Гурвица будет иметь третий порядок
,
где ,,и. Первый диагональный минор, очевидно положителен и, следовательно, имеет знак, одинаковый с коэффициентом при старшей степени. Далее должно выполняться условие
,
откуда следует искомый результат
.
Вычислять весь определитель нет необходимости, т.к. в правом столбце все элементы равны нулю за исключением .
Попробуем получить этот же результат, записывая дифференциальные уравнения системы в форме Коши. Вектор состояния системы
,
где
,
, (7.3)
.
В соответствии с полученной формой Коши (7.3) запишем матрицу системы
.
Характеристическое уравнение
=0.
Нетрудно убедиться, что это уравнение тождественно уравнению (7.3).
Использованный здесь пример с успехом может иллюстрировать терминологию, принятую в определении устойчивости. Заметим во-первых, что критерий отрицательности действительных частей корней не требует их вычисления. Если мы все же хотим построить переходный процесс, то эти корни следует вычислить. Без ограничения общности зададимся следующими значениями параметров:
T=0.1 c,
с,
k=50 с-1.
В этом случае корни характеристического уравнения
(7.4)
имеют следующие значения
Общее решение системы (7.3) запишем в виде
(7.5)
где и- вещественная и мнимая части второго и третьего корней (7.4).
Две другие компоненты вектора состояния найдем дифференцированием (7.5)
и
(7.6)
Постоянные интегрирования находим из начальных условий. Без ограничения общности положим Тогда
,
,
Ограничиваясь четырьмя значащими цифрами, запишем выражения для компонент вектора состояния для найденных значений корней характеристического уравнения
,
,
.
Пусть теперь нам заданы числа иT = 3 c.Требуется найти такое значение , чтобы согласно определению устойчивости норма вектора состояния, начиная с трех секунд, не превышала 0.001. В качестве нормы возьмем евклидово выражение
. (7.7)
Непосредственно воспользоваться определением (7.7) в нашем случае однако нельзя, ибо компоненты не нормированы (не приведены к одинаковым единицам измерения). Поэтому их нельзя суммировать. Для того, чтобы выражение (7.7) стало корректным, достаточно поделить, например, x1 на , аx2 на . Далее заметим, что первое слагаемое в квадратных скобках затухает настолько быстро, что приT = 3 c им можно пренебречь. Таким образом, приведенные значения компонент равны
Из неравенства
вычисляем требуемое значение радиуса трехмерного шара Все траектории, начинающиеся внутри этого шара, удовлетворяют формальному определению устойчивости.
В случае нарушения условий устойчивости такой окрестности начала координат подобрать невозможно. Положив, например, в нашей задаче k=150 c-1 , мы получили бы характеристическое уравнение
с корнями
Мы видим, что при нарушении условия устойчивости из-за слишком большого коэффициента усиления k сразу два корня характеристического уравнения перешли в правую полуплоскость корней.
В приведенном примере критерий Гурвица оказался достаточно простым в применении. В случае системы, описываемой дифференциальным уравнением высокого порядка, применение этого критерия обычно связано с громоздкими вычислениями. Кроме того, критерий Гурвица зачастую лишен графической наглядности, которая способствует оценке влияния сразу многих параметров на устойчивость. Этим недостатком не страдают частотные критерии, к изучению которых мы и приступим в следующей лекции.
Билет 15.