Понятие о d-разбиении.

Рассмотрим характеристическое уравнение замкнутой системы n-го порядка, которое делением на коэффициент при переменном s с наивысшей степенью всегда может быть приведено к виду

Представим себе n-мерное пространство, по координатным осям которого отложены коэффициенты уравнения (3.76). Это пространство называют пространством коэффициентов. Каждой точке пространства коэффициентов соответствуют конкретные числовые значения коэффициентов уравнения (3.76) и соответствующий им полином n-го порядка. Уравнение (3.76) имеет n корней, расположение которых на комплексной плоскости корней s зависит от числовых значений коэффициентов ai

Если изменять коэффициенты ai уравнения (3.76), то его корни в силу их непрерывной зависимости от коэффициентов будут перемещаться в комплексной плоскости корней, описывая корневые годографы.

Чтобы представить сказанное выше геометрически, рассмотрим характеристическое уравнение третьего порядка (n=3)

Если взять три взаимно перпендикулярные оси и откладывать по ним значения коэффициентов a1 a2 a3 то получим трехмерное пространство коэффициентов, каждой точке которого соответствуют вполне определенный полином третьей степени

и вполне определенные три корня в комплексной плоскости корней s (рис. 3.22).

Например, точке М, имеющей координаты a1m a2m a3m соответствует полином Dm(S)=S^3+a1mS^2+a2mS+a3m имеющий три корня s1m s2m s3m в плоскости корней (рис. 3.22, а). Другой точке, например N имеющей координаты a1n a2n a3n соответствует полином Dn(S)=S^3+a1nS^2+a2nS+a3n корни которого s1n s2n s3n

При некотором значении коэффициентов уравнения (3.77) один из корней попадает в начало координат или пара корней попадает на мнимую ось, т. е. корни его будут иметь вид 0 или ±jwk и, следовательно, соответствующая точка в пространстве параметров будет удовлетворять уравнению

Этому уравнению при -∞<w<∞ соответствует некоторая поверхность S часть которой показана на рис. 3.22, б.

При изменении коэффициентов ai корни характеристического уравнения также изменяются и попадают на мнимую ось тогда, когда точка в пространстве коэффициентов попадет на поверхность S. При пересечении такой поверхности S корни переходят из одной полуплоскости корней в другую. Следовательно, поверхность S разделяет пространство коэффициентов на области, каждой точке которых соответствует определенное одинаковое число правых и левых корней. Эти области обозначают D(m) где m — число правых корней характеристического уравнения. Разбиение пространства коэффициентов на области с одинаковым числом правых корней внутри каждой области и выделение среди полученных областей области устойчивости называют методом D-разбиения.

Рис. 3.22

Рис. 3.23

Для характеристического уравнения третьего порядка в пространстве коэффициентов можно наметить четыре области: D(3), D(2), D(1), D(0). Последняя область D(0)будет областью устойчивости.

Если изменяются не все коэффициенты, а часть из них, например, два —a1 и a2 при a3=const то вместо поверхности получим линию, которая является сечением поверхности S плоскостью a3=const. Эта линия разделит плоскость коэффициентов a1-a2— на области с одинаковым числом правых корней (рис. 3.23).

Для уравнений более высокого порядка n>3вместо обычного трехмерного пространства получаются многомерное пространство и гиперповерхности, разбивающие это пространство на области, что сильно усложняет задачу, а рассмотрение теряет наглядность.

Так как переход через границу D-разбиения в пространстве коэффициентов соответствует переходу корней характеристического уравнения через мнимую ось, то уравнение границы D-разбиения в общем случае

Из (3.79) видно, что уравнение границы D-разбиения может быть получено из характеристического уравнения системы заменой s=jw. Границу D-разбиения можно строить не только в пространстве коэффициентов ai характеристического уравнения, но и в пространстве параметров системы (постоянных времени, коэффициентов усиления и т. д) от которых зависят коэффициенты характеристического уравнения.