1.Дать определение передаточной функции линейной динамической системы. Провести классификацию элементов по признаку переда­точной функции. (см тетрадь)

Определение

Передаточной функцией линейной динамической системы называется отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях.

Рассмотрим знаменатель передаточной функции (2.18).

. (2.18)

Согласно известной теореме из алгебры целый многочлен можно разложить на элементарные сомножители

,

где - корни знаменателя, которые могут либо вещественными числами, либо комплексными попарно сопряжен-ными. Рассмотрим далее отдельные случаи.

1.. Передаточная функция элемента имеет вид

. (3.1)

Элемент, обладающий такой передаточной функцией, называется интегрирующим. Действительно, из (3.1) вытекает в соответствии

С теоремой об изображении производной

или .

Примером интегрирующего элемента служит электрическая емкость, если за выходную величину считать напряжение на емкости, а за входную принять ток, текущий через нее. Тогда

.

2. , где- вещественный параметр(постоянная времени элемента). В этом случае элемент обладает передаточной функцией

. (3.2)

Элемент называется апериодическим. Действительно, при входном

тестовом воздействии типа единичной ступеньки

.

Переходя к оригиналам, имеем

.

Таким образом, переходный процесс – реакция на ступеньку – представляет собой функцию с бесконечным периодом, т.е. непериодическую (апериодическую). Примером такого элемента может служить линейная RC-цепочка (рис 3.1)

Рис.3.1. Пассивная RC-цепочка

3.Пара комплексно-сопряженных корней

.

Передаточная функция имеет вид

Обращаясь к формуле (2.15),полученной нами на лекции 2, и полагая (изображение единичного импульса), имеем

.

Элемент называется колебательным. Как видим, реакция элемента на тестовое воздействие типа импульса представляет собой затухающую синусоиду (при ).В технической литературе по автоматическому управлению принято записывать передаточную функцию колебательного элемента в несколько иной форме. Введем обозначения

, запишем (с точностью до постоянного множителя 1/T²)

. (3.3)

Такая форма записи передаточной функции колебательного элемента называется канонической (свободный член в знаменателе равен единице). Параметр T называется постоянной времени колебательного элемента, параметр называетсякоэффициентом демпфирования. Наиболее типичным колебательным элементом является электрический контур, содержащий емкость и индуктивность с малым активным сопротивлением. Колебательными свойствами обладают также следящие системы с высоким коэффициентом усиления, которые будут нами рассмотрены более подробно позже.

Перейдем теперь к числителю передаточной функции (2.18). Он также может быть разложен на множители. Подобно тому, как мы действовали при разложении знаменателя, запишем сразу в канонической форме в случае вещественного корня

4. (3.4)

передаточную функцию дифференцирующего элемента первого порядка.

В случае пары комплексных корней имеем

5. (3.5)

передаточную функцию дифференцирующего элемента второго порядка.

Наконец, объединяя коэффициенты при старших степенях в разложении на элементарные множители, запишем передаточную функцию, не зависящую от s

4. 6.

Элемент, обладающий такой передаточной функцией, называется усилительным независимо от величины коэффициента усиления k.

Заметим, что перечисленные элементы исчерпывают все возможные случаи для линейной динамической системы с действительными коэффициентами.

2.Каким порядком астатизма должна обладать автоматическая система, чтобы при входном воздействии вида g(t) = g₀ tⁿ устано­вившаяся ошибка была равной нулю?

Коэффициенты ошибок наиболее наглядно показывают, какую роль в точности автоматических систем играет коэффициент усиления в разомкнутом состоянии и так называемый порядок астатизма, с которым необходимо предварительно познакомиться.

С формальной точки зрения астатической называется система, передаточная функция которой имеет вид

,

где порядок полюса называетсяпорядком астатизма. Системы с нулевым порядком астатизма называются статическими.

Как мы увидим, следящие системы не бывают статическими, ибо они обязательно имеют исполнительный элемент, обладающий свойствами интегрирования. На практике получили распространение системы первого и второго порядков астатизма. Так следящая система, рассмотренная нами в лекции 7 (Пример 7.1) имеет первый порядок астатизма. Проанализируем, какую ошибку будет иметь система в установившемся состоянии (т.е. по окончании переходного процесса) при различных управляющих функциях. Находим передаточную функцию по отношению к ошибке

. (10.12)

Ограничиваясь тремя первыми членами, запишем разложение передаточной функции вида (10.11)

.

В полученном разложении отсутствует нулевой коэффициент ошибки. Это означает, что астатическая система при постоянном входном воздействии после затухания переходного процесса не имеет ошибки, независимо от величины этого воздействия. Первый коэффициент ошибки равен 1/ k , т.е. составляющая ошибки, пропорциональная скорости изменения входного сигнала тем меньше, чем выше коэффициент усиления k. По этой причине этот коэффициент называется добротностью следящей системы.

Система второго порядка не имеет установившейся ошибки при постоянной скорости входного сигнала, т.е. работает с еще большей точностью. Таким образом, при повышении порядка астатизма точность работы автоматической системы возрастает. Однако такое повышение требует специальных мер по обеспечению устойчивости. В связи с этим системы уже третьего порядка астатизма практически не встречаются.

При вычислении установившегося значения ошибки для входного воздействия произвольного типа полезно также использовать теорему о конечном значении

. (10.13)

Пусть, например, на систему с передаточной функцией по отношению к ошибке вида (10.12) действует входная функция

.

Т.к. в этом случае , то предельное значение ошибки равно

.

В заключение следует несколько подробнее остановиться на применении частотного критерия Найквиста к астатическим системам. В связи с наличием нулевого полюса в передаточной функции разомкнутой системы изменение годографа таких систем при становится неопределенным и необходимо выработать правило для суждения о том, охватывает такой годограф критическую точку –1 или нет. Наиболее просто рассмотреть случай астатической системы, заведомо устойчивой, например, системы первого порядка астатизма с квадратным характеристическим уравнением (рис.6.9). Ее передаточная функция

(10.14)

имеет нулевой полюс и, как мы видели, она устойчива при любых значениях параметров. На рис.10.2А) приведен годограф,

Рис.10.2. Правило дополнения годографа астатической системы дугой бесконечно большого радиуса.

соответствующий передаточной функции (10.14).Он дополнен дугой окружности, символизирующей его изменение при . Т.к. годограф служит конформным отображением мнимой оси, то полюс в начале координат следует обойти по дуге окружности бесконечно малого радиуса (рис.10.2Б).

Билет № 5.