Вопрос 1. Доказать критерий устойчивости а.В.Михайлова.

Критерий Михайлова был разработан в 30-х г.г. ХХ столетия. Для его вывода рассмотрим характеристический полином, т.е. выражение вида

, (8.1)

в котором положим , и проследим за изменением аргумента векторапри. Очевидно, изменение аргумента отдельных сомножителей в (8.1) будет зависеть от того, в какой части плоскости расположен корень (рис.8.1). Это изменение

Рис.8.1. Расположение корней характеристического полинома

будет равно 180^о , если корень расположен в левой полуплоскости и –180^о в противоположном случае. Таким образом, приращение аргумента вектора равно

Здесь m – число корней с положительной действительной частью. Если все корни характеристического полинома имеют отри-цательную вещественную часть, то изменение аргумента характеристического полинома составит .

Этот критерий обычно формулируется несколько иначе. Если принять во внимание, что годограф характеристического полинома симметричен относительно вещественной оси, то достаточно проследить за изменением его аргумента лишь при положительных значениях частоты. При m=0 оно составит . Иными словами:

для того, чтобы характеристический полином (8.1) имел все корни с отрицательной вещественной частью необходимо, чтобы его годограф монотонно проходил n квадрантов комплексной плоскости.

Пример

Вернемся к простому случаю системы третьего порядка из предыдущей лекции и построим годограф характеристического полинома для двух значений коэффициента усиления, соответствующих устойчивому и неустойчивому поведению системы. Обозначив для краткости через U и V вещественную и мнимую части полинома соответственно, запишем

(8.2)

Построение годографа удобно осуществить, пользуясь этой параметрической формой записи. При тех же значениях параметров, что и в предыдущем случае, годографы имеют вид, изображенный на рис.8.2.

with(plots):

> A:=plot([60-0.11*omega^2,omega-0.001*omega^3,omega=0..50]):

> B:=plot([150-0.11*omega^2,omega-0.001*omega^3,omega=0..50]):

> display({A,B},title=`Mikhajlov Stability Criterium`,titlefont=[TIMES,ITALIC,10]);

А)

Рис.8.2.Годографы Михайлова для системы третьего порядка: А- устойчивый и Б – неустойчивый.

Б

В случае Б монотонность возрастания аргумента нарушена: из первого квадранта годограф приходит в четвертый, а затем – в третий квадрант.

Помимо графических возможностей из (8.2) непосредственно следует и аналитический результат для граничного значения коэффициента усиления, полученный нами ранее с помощью критерия Гурвица.

Вопрос 2.Сформулировать понятие управляемости и теорему Калмана об управляемости.

Эти обобщающие понятия возникли в результате длительных теоретических и экспериментальных исследований систем автоматического управления. Ограничиваясь в этом семестре линейными системами, запишем соответствующее дифференциальное уравнение в наиболее общем виде

.

Здесь X=( x₁,x₂,…x_n ) ^T – вектор состояния,

G=( g₁,g₂,…g_m) ^T – вектор управления,

A - квадратная матрица порядка n.

В соответствии с введенными обозначениями матрица

,

не обязательно квадратная и некоторые ее элементы могут быть нулями

Заметим также, что не обязательно все компоненты вектора состояния обозначают реальные физические величины. Часть их может быть введена искусственно для математического описания системы управления, т.е. вектор X – это вектор состояния математической модели.

Некоторые компоненты вектора X или их линейные комбинации можно измерить. Совокупность измеренных координат мы будем обозначать вектором

Y = ( y₁,y₂,…y_q ) ^T ,

а его связь с компонентами вектора состояния выражается соотношением

Y = CX,

где C – некоторая, вообще говоря, прямоугольная матрица

.

Определение

Система называется управляемой, если существует ограниченный вектор управления G , под действием которого она переводится за конечное время из любого начального состояния X в начало координат X=(0,0,…0)^T.

Если это свойство относится не ко всем компонентам вектора состояния, то система не полностью управляема. В частности, система может оказаться и полностью неуправляемой (если ни по какой координате система не обладает свойством управляемости).

Теорема Калмана.

Составим матрицу из n строк и nm столбцов вида

.

Система будет полностью управляемой, если ранг матрицы K равен n.

Пример 15.1.

Пусть система описывается уравнениями

Запишем матрицы

, и.

Составим матрицу Калмана

.

Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно ее ранг равен 2 и система управляема. В этом свойстве системы легко убедиться и непосредственно. В самом деле, пусть начальные значения компонент вектора состояния имеют значения x₁(0)=x₁₀ , x₂(0)=0. Корни характеристического уравнения

равны . Приg = const общее решение имеет вид

Из начальных условий следует

Отсюда

и

Нетрудно заметить, что при управлении вида

компоненты вектора состояния будут изменяться по закону

Т.е. за время обе компоненты станут постоянными величинами, равными нулю.

Билет № 16.