Задача 1.20

Некоторые ядра имеют ненулевой квадрупольный электрический момент Q, что указывает на отклонение распределения заряда от сферически симметричного. Для определенности полагают, что форма ядра – это эллипсоид вращения с полуосями b (по спину ядра) и а (перпендикулярно спину ядра). Оценить степень несферичности ядра , имеющего одно из наибольших значений квадрупольного момента Q = +6·10^-24 см². Для оценки вычислить отношение b/a.

Решение. Для ядра, имеющего форму эллипсоида вращения с однородной объемной плотностью электрического заряда, квадрупольный электрический момент равен

,

откуда

.

(1.20.1)

Объем эллипсоида вращения

.

Приравниваем этот объем объему недеформированного ядра сферической формы (ядерное вещество несжимаемо!) с таким же числом нуклонов и радиусом, определенным по формуле (1.1), получим уравнение

см³,

или

.

(1.20.2)

Подставив (1.20.2) в (1.20.1), получаем кубическое уравнение для нахождения величины b. После нахождения b с помощью (1.20.2) определяется величина а. Однако такой способ решения сложен и трудоемок. Значительно проще решать систему уравнений

(1.20.3)

методом последовательных приближений. В качестве первого приближения полагаем, что

b = a = R_я = 1,4·10^-13·A^1/3 = 1,4·10^-13·181^1/3 ≈ 8·10^-13 см.

Подставляем это значение во второе уравнение системы (1.20.3) и находим первое приближение для а². Затем полученное значение а² подставляем в первое уравнение системы (1.20.3) и находим второе приближение для b, которое подставляем во второе уравнение системы (1.20.3) и находим второе приближение для а² и т.д. Процесс быстро сходится, и в результате получаем b = 8,78·10^-12 см; а = 7,52·10^-13 см.

Окончательно, искомое отношение

.

Задача 1.21

Определить значения изоспина Т основных состояний ядер изотопов углерода ¹⁰C, ¹¹C, ¹²C, ¹³C, ¹⁴C.

Решение. В основном состоянии ядра значение изоспина совпадает с модулем проекции изоспина Т = | Т_z |. Проекция изоспина Т_z ядра, состоящего из Z протонов и N нейтронов, равна

,

(1.22.1)

т. е. для основных состояний ядер Т = |Z – N|/2.

Следовательно, значение изоспина будет равно

для ¹⁰C I = (6 – 4)/2 = 1;

для ¹¹C I = (6 – 5)/2 = 1/2;

для ¹²C I = (6 – 6)/2 = 0;

для ¹³C I = (7 – 6)/2 = 1/2;

для ¹⁴C I = (8 – 6)/2 = 1.

Задачи для самостоятельного решения.

1.22. Оценить, во сколько раз объем ядра ²³⁸U больше объема ядра ⁴Не. Каковы размеры этих ядер и как соотносятся их радиусы?

1.23. Оценить среднее расстояние между центрами нуклонов в ядре, считая, что ядро имеет сферическую форму.

1.24. Природный хлор состоит из двух нуклидов: ³⁵Cl и ³⁷Cl. Атомное содержание нуклида С_ат(³⁵Cl) = 75,53%. Найти среднюю атомную массу природного хлора.

1.25. Сравнить дефект массы δ ядра ¹²С, измеренный в а.е.м., с избытком масс Δ этого нуклида. Чем объясняется различие этих величин?

1.26. Найти энергию связи α-частицы в ядре ⁴⁰Са. A_r(⁴⁰Ca) = 39,96259 а.е.м.

1.27. Определить энергию, которая высвобождается при синтезе ядер ⁴Не из ядер дейтерия и свободных нуклонов.

1.28. Вычислить удельную энергию связи для нуклидов ²Н, ³Н, ³Не, ⁴Не, ⁶Li, ⁸Be, ¹²C, ¹⁶О и ¹⁷F. Изобразить графически полученную зависимость от массового числа и объяснить результаты.

1.29. Энергия связи ядра, состоящего из трех протонов и четырех нейтронов, равна 39,249 МэВ. Какому нуклиду принадлежит это ядро? Определить в а.е.м. массу ядра этого нуклида. Учесть, что масса протона m_p = 938,26, а масса нейтрона m_n = 939,55 МэВ.

1.30. Какую наименьшую энергию надо затратить, чтобы удалить из ядра ¹⁴N один из протонов или нейтронов.

1.31. Определить разность энергий связи нейтрона и протона в ядре ¹⁰В. Объяснить причину различия их энергии связи.

1.32. На сколько отличается энергия отделения одного нейтрона от ядра ⁹Ве и удельная энергия связи этого ядра.

1.33. Считая, что различие энергий связи ядер изобаров ¹³N и ¹³С обусловлено только кулоновской энергией взаимодействия между протонами, найти энергию, выделяющуюся в процессе

¹³N → ¹³С + β⁺ + ν.

Указание. Массу нейтрино считать равной нулю. Воспользоваться данными, полученными в задаче 1.10.

1.34. Для ядра ⁴¹Sc определить с помощью формулы Вейцзеккера (1.4) а) энергию отделения нейтрона; б) энергию отделения протона. В чем причина столь большого различия этих величин?

1.35. Используя формулу Вейцзеккера (1.4), предсказать нуклиды, устойчивые по отношению к β-распаду для изобаров с массовыми числами 20, 40, 80, 120 и 200. Для найденных нуклидов построить зависимость Z(N) (т.н. «дорожку стабильности»).

1.36. Какой тип β-распада испытывает нуклид ¹³⁵Те? Какая энергия при этом выделяется? Задачу решить, используя формулу Вейцзеккера (1.4).

1.37. С помощью формулы Вейцзеккера (1.4) определить радиус R ядра ¹⁰⁹Ag и константу r₀ в формуле (1.1).

Указание. Использовать формулу (1.10.7).

1.38. Определить спин ядра, если при переходе атома из состояния ³P₀ в ³S₁ наблюдаются две линии сверхтонкого расщепления.

1.39. Атом ²⁰⁹Bi находится в состоянии ²D_1/2. Спин его ядра I = 9/2. Вычислить квантовые числа вектора  суммарного момента атома, где – полный механический момент электронной оболочки.

1.40. Найти величину изотопического спина и его проекции для ядер ¹Н, ²Н, ³Не и ⁴Не.

1.41. Используя модель атомных оболочек вычислить спины основных состояний ядер ⁷Li, ¹⁵N, ³²S, ³⁹K. Сравнить полученные значения с табличными и определить четности волновых функций этих ядер в основном состоянии.

Ответы

1.22. 60 раз. R(²³⁸U)/R(⁴He) = 4. 1.23. ~2 Фм. 1.24. 35,460 а.е.м. 1.25. 0,098940 а.е.м. 1.26. 7,044 МэВ. 1.27. 4,45 МэВ. 1.28. 1,11; 2,83; 2,57; 7.07; 5,33; 7,06; 7.68; 7,98 и 7,54 МэВ. 1.29. 7,014360 а.е.м. 1.30. S_р = 7,55 МэВ; S_n = 10,55 МэВ. 1.31. 1,85 МэВ. 1.32. -1,67 МэВ. 1.33. Q = (m_p – m_n) – m_e + 0,6ke²{[Z²(¹³N)- Z²(¹³С)]/R} = 1,6 МэВ. 1.34. а) 16,42 МэВ; б) 1,76 МэВ. 1.35. 10, 19, 35, 51, 80. 1.36. β^‑-распад; 4,8 МэВ. 1.37. R = 7,1 Фм; r₀ = 1,5 Фм. 1.38. I = 1/2. 1.39. F = 5; 4. 1.40. 1/2; +1/2; 0; 1/2; +1/2; 0. 1.41. 3/2^­ ; 1/2^- ; 0⁺ ; 3/2⁺.