Задача 1.11

Считая, что разность энергий связи зеркальных ядер¹ и определяется только различием энергий кулоновского отталкивания протонов (см. формулу (1.10.7) в предыдущей задаче), вычислить их радиусы. Сравнить результаты с вычислением радиусов по формуле (1.1).

Решение. Разность энергий кулоновского отталкивания протонов в ядрах и согласно формуле (1.10.7) будет равна

.

(1.11.1)

В (1.11.1) принято, что в соответствии с (1.1) радиус ядра не зависит от Z и определяется только величиной массового числа А.

Из этого выражения находим, что

.

(1.11.2)

По условию задачи уменьшение энергии связи ядра относительно энергии связи ядра обусловлено большей энергией кулоновского отталкивания протонов в ядре при одинаковой энергии ядерного взаимодействия. Поэтому

ΔVс = ΔW(23Na) – ΔW(23Mg).

(1.11.3)

Используя формулу (1.3) для ΔW(A,Z), вычислим ΔV_с в (1.11.3):

ΔVс = [Δn – ΔH + Δ(23Mg) – Δ(23Na)]·931,5 = = [ 0,008665 – 0,007825 – 0,005865 + 0,010227] ·931,5 = 4,85 МэВ.

Подставляя полученное значение ΔV_с = 4,85 МэВ в (1.1), (1.2), определим величину R:

Расчет величины R (выполнить самостоятельно) по формуле (1.1) дает 4·10^-13см, что хорошо согласуется с найденной выше величиной радиуса ядра.

Задача 1.12

Вычислить с помощью полуэмпирической формулы (1.4) а) энергии связи ядер ⁴⁰Са и ¹⁰⁷Ag; б) энергии связи на один нуклон в ядрах ⁵⁰V и ²⁰⁰Hg; в) массы атомов ⁴⁵Sc и ⁷⁰Zn.

Решение а). У ядра ⁴⁰Са Z =20, поэтому четвертый член в формуле (1.4) равен нулю, а пятый следует взять со знаком плюс, тогда

Ядро ¹⁰⁷Ag имеет Z = 47. Пятый член в формуле (1.4) равен нулю.

Справочные значения искомых величин 342,06 и 915,27 МэВ.

б). Этот пункт рекомендуется проделать самостоятельно.

Указание: для вычисления энергии связи на один нуклон в ядрах ⁵⁰V и ²⁰⁰Hg необходимо с помощью формулы (1.4) найти полную энергию связи этих ядер и разделить ее на соответствующее массовое число (см. формулу (1.5.1)). Должны быть получены следующие значения: 8,65 и 7,81 МэВ/нуклон. Справочные значения 8,70 и 7,91 МэВ/нуклон.

в). Массы атомов выразим из формулы (1.2):

Mат(A,Z) = Z·mH + (A – Z)·mn – ΔW(A,Z).

(1.12.1)

Подставив в (1.12.1) энергию связи из формулы (1.4), получим рабочую формулу для нахождения масс атомов:

(1.12.2)

Вычисления масс атомов ⁴⁵Sc и ⁷⁰Zn по формуле (1.12.2) (проделать самостоятельно) дают следующие значения: 44,955 и 69,932 а.е.м. Справочные значения 44,956 и 69,925 а.е.м.

Задача 1.13

Определить с помощью формулы (1.4) заряд ядра, имеющего наименьшую массу среди ядер с одинаковым нечетным значением массового числа А. Предсказать с помощью полученной формулы характер активности (электронная или позитронная) следующих β-активных ядер: ¹⁰³Ag; ¹²⁷Sn и ¹⁴¹Cs.

Решение. Согласно формуле (1.12.1) ядрам с наибольшей энергией связи отвечает наименьшая масса. Поэтому для ядер изобаров (нуклидов с одинаковыми массовыми числами А) всегда имеется ядро с Z₀, имеющее наименьшую массу. Для нахождения Z₀ вычислим частную производную от (1.12.2) и результат приравняем нулю:

(1.13.1)

Подставив в (1.13.1) массу нуклида и массу нейтрона в а.е.м., и решая относительно Z₀, получим

.

(1.13.2)

Если для заданного нуклида (A,Z) расчет по формуле (1.13.2) дает Z₀ > Z, то для увеличения Z ядро должно испытывать β^--распад, если же Z₀ < Z, то β⁺-распад.

В ядре ¹⁰³Ag Z =47, а для данного нуклида

.

Следовательно, Z > Z₀ и ядро ¹⁰³Ag должно испытывать β⁺-распад.

В ядре ¹²⁷Sn Z = 50, а а для данного нуклида

.

Следовательно, Z < Z₀ и ядро ¹²⁷Sn должно испытывать β^--распад.

В ядре ¹⁴¹Cs Z = 55, а а для данного нуклида

.

Следовательно, Z < Z₀ и ядро ¹⁴¹Cs должно испытывать β^--распад.