Задача 2.23

Определить отношение высоты центробежного барьера к высоте кулоновского барьера для α-частиц, испускаемых ядрами ²⁰⁹Ро, с орбитальным моментом l = 2. Закруглением вершины кулоновского барьера пренебречь.

Решение. Альфа-частица может покидать ядро не только двигаясь точно по линии, проходящей через центр инерции системы дочернее ядро – альфа-частица, т.е. с l = 0, но и покидать ядро, имея орбитальный момент l > 0. В этом случае кинетическая энергия α-частицы, необходимая для преодоления кулоновского барьера, уменьшается на величину центробежной энергии на границе ядра:

Т_к = Т_α – B_ц.

Таким образом, возникает центробежный барьер, который необходимо преодолеть α-частице как при входе в ядро, так и покидая его. В классической механике центробежная энергия двух тел массой M и m, вращающихся вокруг центра инерции c линейными скоростями v_M и v_m соответственно, равна

,

т .к. вращение обоих тел относительно центра инерции (точка «о») происходит с одинаковой угловой скоростью и поэтому v_M/v_m = R/r = m/M (см. схему). Продолжая преобразования, получим

,

где – приведенная масса частиц.

Учитывая, что механический (орбитальный) момент α-частицы может принимать только дискретные значения,

,

величины которых определяются орбитальным квантовым числом l = 0, 1, 2, … , получим выражение для центробежной энергии

,

где μ – приведенная масса α-частицы и ядра ²⁰⁹Ро. Значение V_ц при r = R_я называется высотой центробежного барьера

.

(2.23.1)

Последовательное квантовомеханическое рассмотрение приводит к такому же выражению для центробежного барьера.

Используя формулу (2.14) для высоты кулоновского барьера, получим окончательно

Задача 2.24

Н айти ширину первого возбужденного уровня ядер ²¹⁴Ро по отношению к испусканию γ-квантов, если известно, что при распаде с этого уровня на каждую α-частицу основной группы испускается в среднем 4,3·10^-7 длиннопробежных α-частиц и 0,286 γ-квантов. Постоянная распада по отношению к испусканию длиннопробежных α-частиц равна 2,0·10⁵ с.

Решение

.

(2.24.1)

Число длиннопробежных α-частиц на одну основную

,

(2.24.2)

то же для γ-квантов:

,

(2.24.3)

где в (2.24.2) и (2.24.3): (А_α)₀ и А_α– активности α-распада из основного и возбужденного состояний; А_γ – активность по отношению к испусканию γ-квантов из возбужденного состояния; N₀ и N – количество ядер ²¹⁴Ро в основном и возбужденном состояниях; (λ_α)₀, λ_α и λ_γ – соответствующие постоянные распада.

Разделив (2.24.3) на (2.24.2), получим

,

(2.24.4)

откуда

.

(2.24.5)

Подставив (2.24.5) в (2.24.1), имеем

эВ.

(2.24.6)

Задача 2.25

Вычислить суммарную кинетическую энергию частиц, возникающих при β-распаде покоящегося нейтрона.

Решение. Распад свободного (изолированного от действия ядерных сил) нейтрона происходит по схеме

n → p + + .

Энергия Q_β, высвобождаемая при β-распаде нейтрона, выделяется в виде кинетической энергии образовавшихся частиц:

Q_β = Т = m_n – m_p – m_e - m_ν = m_n – m_p – m_e,

т.к. по современным представлениям m_ν < 18 эВ и ей можно пренебречь. Тогда

Т = m_n – m_p – m_e = 939,57 – 938,28 – 0,511 = 0,78 МэВ.