Задача 2.10
В
кровь человека ввели небольшое количество
раствора, содержащего 24Nа
активностью А0 = 2,1·103
Бк. Активность одного кубического
сантиметра крови, взятой через t
= 5 ч после этого, оказалась равной аv
= 0,28 Бк/см3. Найти объем крови
человека.
Решение. Будем предполагать, что за 5 ч концентрация атомов 24Nа в крови человека выровнялась и стала однородной. Тогда
.
Из этого уравнения находим
.
Задача 2.11
При радиоактивном распаде ядер нуклида А1 образуется радионуклид А2. Их постоянные распада равны λ1 и λ2. Полагая, что в начальный момент препарат содержал только ядра нуклида А1 в количестве N01, определить
а) количество ядер нуклида А2 через промежуток времени t;
б) промежуток времени, через который количество ядер нуклида А2 достигнет максимума;
в) в каком случае может возникнуть состояние переходного равновесия, когда относительное количество обоих нуклидов будет оставаться постоянным. Чему равно это отношение?
Решение а). Распад первого нуклида описывается обычным уравнением (2.1) для радиоактивного распада:
N1(t) = N10·exp(–λ1t), |
(2.11.1) |
где N10 – начальное количество ядер нуклида А1.
Распад второго нуклида описывается дифференциальным уравнением, которое устанавливает баланс среднего числа ядер нуклида А2 за время dt:
dN2 = λ1·N1·dt – λ2·N2·dt. |
(2.11.2) |
Первый член в правой части (2.11.2) дает среднее число ядер нуклида А2, которые возникают за время dt, второй – среднее число ядер нуклида А2, которые распадаются за время dt. С учетом (2.11.1) уравнение (2.11.2) приобретает вид
dN2/d t = λ1 ·N10 ·exp(–λ1t) – λ2 ·N2. |
(2.11.3) |
Уравнение (2.11.3) будем решать методом вариации постоянной.
Решение однородного уравнения, получаемого из (2.11.3), есть
N2 (t) = С(t)·exp(–λ2t), |
(2.11.4) |
в котором С(t) – некоторая функция, которую нужно найти. Подставив в (2.11.3) функцию (2.11.4) и ее производную, получим дифференциальное уравнение для нахождения функции С(t):
dС/d t = λ1 ·N10 ·exp[(λ2 – λ) t],
решение которого есть
|
(2.11.5) |
.Константа С1 определяется из начальных условий.
Подставив (2.11.5) в (2.11.4), получим
|
(2.11.5) |
.Если N20(t = 0) = 0, то окончательно имеем
|
(2.11.6) |
.б). Дифференцируя (2.11.6) по времени и приравняв к нулю производную, получим уравнение для нахождения tm – времени накопления максимального числа ядер нуклида А2:
,
из которого
|
(2.11.7) |
.в). Учитывая (2.11.1), получим из (2.11.6) следующее отношение:
.
Если λ2 >> λ1 [(T1/2)2 << (T1/2)2] и t >> 1/ λ2 ≈ (T1/2)2, то
|
(2.11.8) |
Таким образом, получена формула (2.4).
Задача 2.12
Нуклид 226Ra, являясь продуктом распада 238U, содержится в последнем в количестве одного атома на каждые 2,80·106 атомов 238U. Найти период полураспада 238U, если известно, что он значительно больше периода полураспада 226Ra, который равен 1620 годам.
Решение. Для решения используем формулу (2.11.8) из предыдущей задачи, так как условия, при которых она справедлива, соблюдены:
,
откуда
лет.