Задача 2.17

Р адионуклид ¹²⁴Sb образуется с постоянной скоростью g = 1,0·10⁹ ядер в секунду. С периодом полураспада Т_1/2 = 60 сут он превращается в стабильный нуклид ¹²⁴Те. Найти а) через сколько времени после начала образования активность ¹²⁴Sb станет А = 3,7·10⁸ Бк; б) какая масса нуклида ¹²⁴Те накопится в препарате за четыре месяца после начала его образования.

Решение а). Умножая правую и левую части формулы (2.3) на постоянную распада λ нуклида ¹²⁴Sb, получим уравнение

,

(2.17.1)

из которого

.

б) Поскольку распад каждого атома нуклида ¹²⁴Sb сопровождается образованием атома стабильного нуклида ¹²⁴Те, то его масса за время t после начала образования нуклида ¹²⁴Sb будет равна

M_Te(t) = М_ат(¹²⁴Те)·N(t),

где N(t) – количество ядер нуклида ¹²⁴Sb, распавшихся за время t. В свою очередь

,

если для вычисления A(t) использовать (2.17.1).

Окончательно получим

M_Te(t_б) = М_ат(¹²⁴Те)·

= 124·1,66·10^-24

.

Задача 2.18

Р адионуклид ¹³⁸Xe, который образуется с постоянной скоростью g= 1,0·10⁹ ядер в секунду, испытывает превращение по схеме

(под стрелками указаны периоды полураспада). Вычислить суммарную активность препарата через 60 мин после начала накопления.

Решение. Искомая активность

А(t) = А1(t) + А2(t) = А1(t) + λN2(t).

(2.18.1)

Зависимость А₁(t) активности нуклида ¹³⁸Xe выражается формулой (2.17.1). Для нахождения зависимости N₂(t) накопления ядер нуклида ¹³⁸Сs необходимо решить уравнение

,

где N₁(t) и N₂(t) – накопление ядер ¹³⁸Xe и ¹³⁸Сs, а N₁(t) вычисляется по формуле (2.3), тогда

.

Решение этого уравнения, которое получается методом вариации постоянной (см. задачу 2.11), при N₂(t=0) = 0 имеет вид

.

Подставив полученное решение и (2.17.1) в (2.18.1), получим окончательно

.

Вычисление величины А проделать самостоятельно (А = 1,4·10¹⁰ Бк).

2.2. Альфа- и бета-распады, гамма-излучение ядер Задача 2.19

П окоящиеся ядро ²¹³Ро испустило α-частицу с кинетической энергией Т_α = 8,34 МэВ. При этом дочернее ядро оказалось непосредственно в основном состоянии. Найти полную энергию Q_α, освобождаемую в этом процессе. Какую долю этой энергии составляет кинетическая энергия дочернего ядра? Какова скорость отдачи дочернего ядра?

Решение 1). Запишем схему α-распада ядра ²¹³Ро:

.

Поскольку высвобождаемая энергия Е_α выделяется в виде кинетичской энергии продуктов распада, то при распаде покоящегося ядра ²¹³Ро

Qα = Тα + Тя.

(2.19.1)

Закон сохранения импульса

,

или

,

(2.19.2)

т.к. исходное ядро покоится. Поскольку Т_α << m_α, а следовательно, и Т_я << m_я, то можно использовать классическую связь между кинетической энергией и импульсом:

.

В этом случае с помощью (2.19.2) получаем, что

.

(2.19.3)

Подставив (2.19.3) в (2.19.1) и решая полученное уравнение относительно Е_α, получим

.

(2.19.4)

2). Доля кинетической энергии Т_я ядра ²⁰⁹Pb от полной энергии Q_α, высвобождаемой при α-распаде ядра ²¹³Ро, составит

.

3). Скорость ядра отдачи

=

= 3,8·10⁵ м/с.