49. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Теорема.Пусть векторное поле(M) =P(M)+Q(M)+R(M)непрерывно дифференцируемо в Ω иrot0 в Ω. Тогда для любых точек А,ВΩ криволинейный интегралне зависит от кусочно-гладкого контура Г, лежащего в Ω, соединяющего точки А и В (т.е. зависит только от точек А и В).

Доказательство.1) Докажем, что еслиrot0 в Ω, то циркуляция векторавдолькусочно-гладкого замкнутого контура Г, лежащего в Ω, равна 0.

Пусть Г – такой контур. Рассмотрим гладкую поверхность, лежащую в Ω, ограниченную контуром Г.

Т.к. векторное поле (M) непрерывно дифференцируемо в Ω, => по теореме Стокса:dσ= 0.

2) Рассмотрим кусочно-гладкие кривыеAnB,AlB, лежащие в Ω и соединяющие точки А и В. Надо доказать, что:

=.

Рассмоотрим третий кусочно-гладкий контур AsB, лежащий в Ω, соединяющий точки А и В и не пересекающий контурыAnB,AlB, =>

Г₁=AnBBsAи Г₂=AlBBsA– замкнутые кусочно-гладкие контуры в Ω, => из 1):= 0 и= 0.

=+и=+, =>

+= 0 =+, =>

==. (доказано).

Замечание. Из доказательства теоремы видно, что ее можно сформулировать так:

Криволинейный интеграл второго рода от не зависит от пути интегрирования, лежащего в Ω, если циркуляциявдоль любого кусочно-гладкого контура, лежащего в Ω, равна нулю.

Билет №50.Потенциальное поле.

Пусть векторное поле ā определено в области Ω.

Определение.

Поле ā называется потенциальным в области Ω, еслискалярная функцияu(M), определённая в Ω, такая что:

Скалярная функция u(M) в этом случае называется потенциалом поля.

Теорема.(Критерий потенциальности)

Пусть поле āнепрерывно дифференцируемо в Ω.

Поле āпотенциально в Ω <=>rotā= 0 в Ω.

Доказательство.

=>

Пусть поле ā потенциально в Ω. Тогдаскалярная функцияu(M), :gradu=ā в Ω.

Т.е. ā = {∂u/∂x , ∂u/∂y , ∂u/∂z } в Ω.

Т.к. ā непрерывно дифференцируема в Ω => функции∂u/∂x , ∂u/∂y , ∂u/∂z непрерывно дифференцируемы в Ω = > частные производные второго порядка непрерывны в Ω => они совпадают.

=> rotā = 0i+0j+0k=0 что и требовалось доказать.

<=

Пусть rotā = 0 в Ω

Пусть ā =P(M)i+Q(M)j+R(M)k

Фиксируем произвольную точку M₀ Ω

Определим скалярную функцию

Где M₀^M– произвольная кусочно-гладкая кривая, соединяющая точки М и М₀, такая чтоM₀^MΩ

Докажем, что gradu=ā в Ω

Заметим, что интеграл (1) не зависит от вида кривой M₀^M, т.к.rotā = 0 в Ω

Докажем, что ∂u/∂x (M) =P(M)MΩ

Пусть M(x,y,z),M_h(x+h,y,z) , причёмhдостаточно мало, т.к. [M,M_h]Ω для любых достаточно малыхh.

Пусть Г = M₀^M_h [M_h,M]M₀^M

Г – кусочно-гладкий замкнутый контур, полностью лежащий в Ω : ГΩ

=>

(следует из условия независимости интеграла 2 рода от пути интегрирования)

Задаём [M,M_h] параметрически

dx = dt dy = 0 dz = 0

=>

ā непрерывно дифференцируемо в Ω => P(M) непрерывная функция в Ω = > по теореме о среднем

Pнепрерывна в М => интегрируема в М

Аналогично доказывается существование остальных частных производных в М:

∂u/∂y=Q(M) ∂u/∂z=R(M)

Т.к. М – произвольная точка из Ω => gradu= ā в Ω => ā – потенциальное поле в Ω.

Замечание 1.

Из данной теоремы и теоремы о независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования следует, что справедливо утверждение:

Если ā непрерывно дифференцируема в Ω и потенциальна в Ω, то А,ВΩ

не зависит от кривой А^В, где А^В – кусочно-гладкая криваяΩ

(зависит только от конечных точек)

Замечание 2.

Из доказательства теоремы следует, что если поле ā потенциально в Ω и функция u(M) – её потенциал, то справедлива формула

Где кривая А^В – произвольная кусочно-гладкая криваяΩ

Билет №51.Соленоидальное поле.

Определение.

Пусть векторное поле ā непрерывно дифференцируемо в Ω. Тогда

Поле ā называется соленоидальным в Ω, если для произвольной области G;GΩ;G – ограниченная кусочно-гладкая поверхность:

n– внешняя нормаль к ∂G.

Теорема (критерий соленоидальности)

Пусть векторное поле ā напрерывно дифференцируемо в Ω.

Поле ā соленоидально < = > divā0 в Ω

Доказательство.

=>

Поле соленоидально в Ω. Фиксируем произвольную точку MΩ. Рассмотрим шар с центром в М с достаточно малым радиусом. О_r0(M) – шар радиусаr0 с центром в М.r0 достаточно мало, чтобы Ō_r(M)Ω (r<r0)

Пусть S_r0 = ∂ О_r0(M) , тогда т.к. поле ā соленоидально в Ω,

Где S_r – сфера радиусаrс центром в М.

т.к. М – произвольная фиксированная точка в Ω => divā0 вΩ.

<=

divā0 вΩ_

Рассмотрим произвольную область G:GΩ,Gограничена кусочно-гладкой поверхностью Φ.

Т.к. ā непрерывно дифференцируема в Ω, а GΩ => ā непрерывно дифференцируема вG.

Тогда по теореме Остроградского-Гаусса

=> поле ā соленоидально в Ω.

Билет №52.Теорема о векторной трубке

Пусть векторное поле ā определено в Ω

Рассмотрим произвольный замкнутый контур Г (гладкий), не являющийся векторной линией ā, ГΩ

Через каждую точку кривой Г проведём векторную линию поля ā. тогда получим трубкообразную поверхность, которая называется векторной трубкой.

Пусть ₁,₂- произвольные сечения векторной трубкиS.

Выберем единичные векторы нормали n₁,n₂сонаправленными.

Теорема.

Если поле ā соленоидально в Ω, то

Доказательство

Обозначим через Ф=S₁₂. Тогда Ф – кусочно-гладкая поверхность (без доказательства).

Пусть n- единичная внешняя нормаль к Ф.

Тогда т.к. поле ā соленоидально в Ω =>

Одна из нормалей n₁,n₂- внутренняя нормаль к Ф. пустьn₁- внутренняя нормаль.

S- векторная трубка.

MSa(M)Векторной линии, проходящей черезS(касательной к векторной линии в М)