- •8. Почленное дифференцирование функционального ряда
- •17. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье (без док-ва).
- •20. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
- •21. Непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра.
- •22. Дифференцирование несобственного интеграла, зависящего от параметра.
- •23.Кривая площади нуль. Примеры (теорема).
- •24. Критерий квадрируемости множества.
- •Св-ва двойного интеграла
- •3 В .3.Криволинейный интеграл 2ого рода и его свойства.
- •37. Поверхностный интеграл 1 рода и его свойства.
- •38. Существование поверхностного интеграла 1 рода и его вычисление.
- •46. Дивергенция. Геометрическое определение дивергенции.
- •47. Поток векторного поля через поверхность. Векторная формулировка теоремы Остроградского-Гаусса.
- •48. Ротор. Циркуляция. Теорема Стокса.
- •49. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
20. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса.
Рассм. интеграл (1) ,yєY,a<b<+, где дляфиксир.
интеграл (1) несобств.
Тогда интеграл (1) наз. несобств. инт-лом, зависящим от параметра, - параметр. Далее рассм. несобств. инт-л, зависящ от параметра вида (2), зависящий от параметраyєYНесобств. инт-лы (1), гдеb– конеч. число, рассм-ся анал-но.
Предположим, что для фиксирф-яинтегрируема наконечном промежутке
Опр. Инт-л (2) сх-ся на мн-ве У, если для фиксир.интегралсх-ся, т.е. для
фиксир.(обозн)
Другими словами
Равномерная сходимость несобственных интегралов, зависящих от параметра.
Опр. Инт-л (2) сх-ся равномерно на мн-ве У, если
Замечание. Если инт-л (2) сх-ся равномерно на У, то он сх-ся на У. Обратное неверно.
Т. (Критерий Коши равномер. сх-сти)
Инт-л (2) сх-ся равном на S
Для доказательства критерия Коши необх. рассм. единство функций
Ф (и док-ся Крит.Коши равном сх-ти сем-ва ф-ий,из кот след.крит.Коши равном сх-ти несобств.инт-лов.
Теорема.(Критерий Коши для ФП)
Функциональная последовательность
сходится равномерно на Е
Доказательство
=>
{Сходится равномерно на Е =функция,определена на Е, т.ч.на Е Фиксируем
Для
=>
=
<=
дляфиксированногодля числовой последовательности{выполнен Критерий Коши => дляфиксированногочисловая последовательность{сходится к некоторому числу => функциональная последовательность{сходится к некоторой функции на множестве Е. Докажем что функц. Последовательностьна Е
Имеем по условию: (1*)
Т.к
Для Переходим в неравенство(1*)к=>
=> ФПна Е.
Док-во крит Коши для ед-ва ф-й полностью анал-но док-ву крит Коши для ф-й послед-сти.
Т. (признак Вейерштрасса)
Пусть неотриц ф-ят.ч.
сх-ся и,
є, +Тогдасх-ся равномерно на У.
Д.1) Д-м, чтосх-ся на У.
т.к. є, +и
сх-ся, то призн сравнения дляфикссх-ся инт-л
сх-ся (абсол)
для У
(3)
Т.к. ф-и (для фикс у) иинт-мы на[a,η]⊂[a,+], тоηинт-лы,,сх-ся (дляфикс.yY) и справедливы нер-ваyY(4). 2)Д-м,чтосх-ся равномерно неY. имеемсх-ся равномерно наY. Имеемсх-сяη0η> η0<. Из (4)получ., чтоyY<η> η0η0η> η0yYсх-ся равномерно наY.
21. Непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра.
Т.Пустьнепрерывна (по совокупности переменных) нах(декартово произведение) и интегралсходится равномерно на, тогда ф-ция
Ф(у)=непрерывна на
Д.Рассмотрим посл-сть точек, такую что
Рассмотрим функц. ряд
Докажем, что ряд (5) сходится на .
Рассмотрим частную сумму ряда:
Т.к. сходится равномерно на,
Последовательность
ряд суммаДокажем, что ф-циянепрерывна наnф-ияUn(y)=- собств. инт-л , зависящий от парам-ра.
Т.к. f(x,y) непрер. на мн-вехf(x,y) неперер.нахnпо теор. о непрер-ти собств. инт-ла, зависящего от параметра, все ф-ииUn(y) непрер. на [c,d]Докажем, чтосх-ся равномерно на [c,d].
Т.к сх-ся равномерно на [c,d]>0:η>η0[c,d] |<
Т.к. функц.ряд сх-ся на [c,d]сх-сяна [c,d], причем=.
Т.к