Экзаменационные вопросы (2006)
.rtf1) Ограниченные и неограниченные множества. Примеры.
2) Верхняя и нижняя грани числового множества. Теорема о существовании точной верхней (точной нижней) грани множества //только II определение, эквивалентность не надо.
3) Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Связь сходящейся и б.м. последовательнсти.
4) Б.м. последовательности и их свойства.
5) Б.б. последовательности и их связь с б.м.
6) Арифметические свойства пределов последовательностей (предел суммы, предел произведения).
7) Арифметические свойства пределов последовательностей (предел частного).
8) Свойства сходящихся последовательностей: единственность предела, ограниченность сходящейся последовательности.
9) Свойства сходящихся последовательностей: предельный переход в неравенства.
10) Монотонные последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.
11) Число е (доказательство теоремы о существовании предела).
12) Лемма о вложенных отрезках.
13) Подпоследовательности, частичные пределы. Связь предела последовательности с частичными пределами.
14) Теорема Больцано-Вейерштрасса.
15) Критерий Коши сходимости числовой последовательности.
16) Предел функции: два определения и их эквивалентность.
17) Арифметические свойства предела функции.
18) Свойства предела функции: единственность предела; ограниченность функции, имеющей предел.
19) Свойства предела функции: предельные переходы в неравенства.
20) Односторонние пределы.
21) Первый замечательный предел.
22) Второй замечательный предел.
23) Б.м. функции и их свойства.
24) Б.б. функции и их связь с б.м. функциями.
25) Сравнение б.м. функций. Примеры.
26) Эквивалентные б.м. функции (таблица). Теорема об эквивалентных б.м. функциях.
27) Сравнение б.б. функций. Примеры.
28) Непрерывность функции в точке (3 определения). Свойства функций, непрерывных в точке.
29) Непрерывность сложной функции.
30) Классификация точек разрыва.
31) Точки разрыва монотонной функции.
32) Первая теорема Вейерштрасса.
33) Вторая теорема Вейерштрасса.
34) Теорема о нуле непрерывной функции.
35) Теорема Больцано-Коши, ее следствия.
36) Критерий непрерывности монотонной функции.
37) Непрерывность обратной функции.
38) Равномерная непрерывность функции.
39) Производная функции в точке. Производная элементарных функци (примеры (по определению) и таблица).
40) Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции.
41) Дифференцируемость функции в точке (два определения и их эквивалентность). Непрерывность дифференцируемой функции.
42) Арифметические операции над дифференцируемыми функциями: производная суммы, произведения.
43) Арифметические операции над дифференцируемыми функциями: производная частного.
44) Производная сложной функции.
45) Производная обратной функции.
46) Производная функции, заданной параметрически.
47) Производные высших порядков. Формула Лейбница.
48) Дифференциал функции. Свойства дифференциала. Инвариантность формы записи первого дифференциала.
49) Дифференциалы высших порядков. Неинвариантность формы записи второго дифференциала.
50) Теорема Ферма.
51) Теорема Ролля.
52) Теорема Лагранжа.
53) Теорема Коши для дифференцируемых функций.
54) Правило Лопиталя.
55) Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
56) Многочлен Тейлора как многочлен наилучшего приближения функции в окрестности данной точки.
57) Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
58) Признак монотонности функции.
59) Локальный экстремум функции. Необходимое условие локального экстремума.
60) Первое достаточное условие локального экстремума.
61) Второе достаточное условие локального экстремума.
62) Выпуклость кривой. Достаточное условие выпуклости кривой.
63) Свойства функций, выпуклых на интервале: связь выпуклости функции и монотонности производной функции.
64) Свойства функций, выпуклых на интервале: связь выпуклости функции и касательной к графику функции.
65) Точка перегиба функции. Необходимое условие для точки перегиба.
66) Достаточные условия для точки перегиба (две первые теоремы).
67) Асимптоты графика функции.