Экзаменационная программа

Экзаменационная программа

по курсу «Математический анализ» III семестр

для групп А-13,14-08

1. Числовой ряд. Необходимое условие сходимости.

2. Критерий сходимости знакоположительного ряда.

3. Теоремы сравнения знакоположительных рядов.

4. Радикальный признак сходимости Коши.

5. Признак Даламбера сходимости числового ряда.

6. Интегральный признак сходимости Коши.

7. Ряды с произвольными членами. Критерий сходимости.

8. Абсолютная и условная сходимость рядов.

9. Признак Лейбница сходимости числовых рядов.

10. Признак сходимости Абеля-Дирихле. Пример.

11. Функциональные ряды. Примеры. Основные задачи.

12. Равномерная сходимость функциональных рядов. Теорема Вейерштрасса.

13. Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.

14. Интегрирование суммы функционального ряда.

15. Почленное дифференцирование функциональных рядов.

16. Степенные ряды. Лемма Абеля.

17. Область сходимости степенного ряда. Радиус сходимости.

18. Радиус сходимости. Формула Коши-Адамара.

19. Равномерная сходимость степенных рядов. Свойства суммы степенного ряда.

20. Ряд Тейлора. Критерий разложимости функции в ряд Тейлора.

21. Замечательные ряды Тейлора ().

22. Ряды Фурье. Постановка задачи. Система тригонометрических функций

23. Коэффициенты Эйлера-Фурье. Убывание коэффициентов Эйлера-Фурье и гладкость периодической функции.

24. Ряды Фурье. Теорема Дирихле о разложении периодической функции в ряд Фурье.

25. Задача нахождения объема цилиндрического бруса.

26. Основные свойства двойных интегралов.

27. Формула редукции для двойного интеграла (случай прямоугольника).

28. Формула редукции для двойного интеграла (случай произвольной области).

29. Дифференцируемые отображения плоских областей. Якобиан отображения. Геометрический смысл якобиана.

30. Замена переменных в двойном интеграле.

31. Интегрирование двойных интегралов в полярных координатах.

32. Тройные интегралы. Формула редукции. Замена переменных. Пример сферических координат.

33. Криволинейные интегралы рода и их свойства. Формула вычисления.

34. Криволинейные интегралы рода. Формула вычисления.

35. Связь криволинейных интегралов и типов.

36. Формула Грина.

37. Задача определения площади криволинейной поверхности.

38. Поверхностные интегралы типа. Формула вычисления.

39. Поверхностные интегралы типа. Формула вычисления.

40. Связь поверхностных интегралов и типов.

41. Формула Остроградского-Гаусса.

42. Критерий независимости криволинейного интеграла от пути ()

43. Формула Ньютона-Лейбница на плоскости.

44. Скалярные поля. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению.

45. Градиент скалярного поля. Связь градиента с производной по направлению.

46. Инвариантное определение градиента.

47. Векторные поля. Векторные линии и векторные трубки.

48. Поток векторного поля. Гидродинамический смысл потока.

49. Дивергенция векторного поля. Формула Остроградского-Гаусса. Инвариантность дивергенции.

50. Соленоидальные поля. Критерий соленоидальности векторных полей.

51. Циркуляция векторного поля. Физический смысл.

52. Критерий независимости интеграла от пути ().

53. Формула Ньютона-Лейбница в .

54. Формула Стокса.

55. Инвариантность определения ротора. Кинематический смысл ротора.

56. Оператор «набла». Гамильтонов формализм.

57. Операции второго порядка в теории поля.

58. Разложение произвольного векторного поля в сумму соленоидального и потенциального полей.