Добавил:

Tushkan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МЭИ»

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Определения из лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2014

Размер:

701.66 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

! " #$ % !

" & & ' () * ! +,-./0,1234 # * 5 # # * 5 * !

" #

% # &'

) *

% , # '-

" # '-

/, ,0 # '- ,

1 '- # ,

" # '-

3 4 5 #

1 6

& 7 8) ,

'- 1 )

' 4

(

9 5 # 1 2-

(

% 1 3, & '-83

9 : 4 1

; : 1

; 4

9 : )

< , 4 9 : )

7 9 : )

% 0 , 4 1 % 5 # 82-

2 4 & 4 4

1 '- 4 5

2 4 , 4 4

) =

2 4 , 5 # 0 7 4

" # $ % & #

( )

( ,-

. $

f (x) Z E

w1, w2, . . .

ε! z0 "

!# |z − z0| < ε $ Uε(z0)

%$! & !#

( & z D Uε(z) D

) & !$

# $ &

% ! z0 !$

# * $ U (z0)

˙	}
U (z0) = U (z0)\{z0

+ w0 f (z) z → z0

ε > 0 δ > 0|z − z0| < δ |f (z) − w0| < ε %$'

lim f (z) = w0

z→z0

f (z) = u(x, y) + iv(x, y), z0 = x0 + iy, z = x + iy, w0 = u0 + iv0

z→z0

lim

(z) = w

lim

lim f

→

x→x0,y→y0

, limz→z0 f (z), limz→z0 g(z)

(

lim [f (z) + g(z)] = lim f (z) + lim g(z)

→

z z0

)

lim

lim f (z)]

[ lim g(z)]

z z0

[f (z) · g(z)] = [z z0

z z0

→

- , . lim g(z) = 0

lim

f (z)

g(z)

z z0

→

u(x, y) = u0 v(x, y) = v0

lim f (z)

z→z0

lim g(z)

z→z0

f (z) U (z0)
f (z) z0	lim f (z) = f (z0)
	z→z0

f (z) z0 ε > 0 δ > 0 : z :

|z − z0| < δ |f (z) − f (z0)| < ε.

f (z) = u(x, y)+iv(x, y) z0 = x0 +iy0 ↔ u(x, y), v(x, y) (x0, y0)

f (z) g(z) z0

[f (z) + g(z)] z0[f (z) · g(z)] z0

			f (z)
g(z0) = 0 [				] z0
			g(z)
! "
#	lim	f (z + h) − f (z)			!
	h 0		h
	→

f (z) " f (z)

$ f (z) z

z # $

f (z) z

% & # ' f (z) = w(z) · z + α(Δz)Δz

α(Δz) ! " # z → 0 (α(Δz) → 0)

f (z), g(z) # &

[f (z) + g(z)] # & [f (z) + g(z)] = f (z) + g (z)

[f (z)

g(z)] # & [f (z)

g(z)] = f (z)g(z) + g (z)f (z)

g(z) = 0 &

g(z) # &

f (z)

(z)g(z) + g

(z)f (z)

g(z)

g2(z)

& ' f (g(z))

U (z0) g(z) # z0 f (w) !

# w0 = g(z0) ( ' f (g(z)) #

z0 f (g(z))|z=z0 = f (w0)g (z0)

U (z0)

w0 = f (z0) f (z)

z0, f (z0) = 0 f (z) z = ϕ(w) w0 ! "

ϕ(w0) w0

ϕ (w) =	1

	f (z0)

# f (z) = u(x, y) + iv(x, y) z0 = x0 +

iy0 u(x, y), v(x, y)								x0, y0 $ %
% & ' ( )			∂v		∂u				∂v
∂u		=		,			= −

	∂x		∂y			∂y			∂x

f (z) z0 D

# z0 %

$ *$

# % + % %

$ % +

, % % *$

% % -

z1, . . . , zn−1, z0 = A, zn = B zk = zk − zk−1, | zk | = |zk − zk−1|

max

zk |

ξk

zk−˘1zk

≤

#$ f (z) % & '

σ(f ) = f (ξk )Δzk

k=1

, % lim σ(f ) .$ ξk

λ→0

f (z) % $ L )

f (z)dz

!" " #$%

/ "%

/ "

f (z)dz = udx − vdy + i vdx + udy

L L L

" f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y)

f (z), g(z)

		L(αf (z) + βg(z))dz = α L f (z)dz + β L g(z)dz
α, β
C AB˘	AB˘	f (z)dz = AC˘	f (z)dz + C˘B f (z)dz

! ˘	f (z)dz = −	˘	f (z)dz
AB		BA

" # z = z(t), α ≤ t ≤ β, t $ f (z)

			β
		f (z)dz =	f (z(t))z (t)dt
		L	α
% f (z)			L \|f (z)\|\|dz\| ≤ M l
		L f (z)dz ≤	L \|f (z)\|\|dz\| ≤ M l

		# &
	M = max f (z)
	L \|	\|

		' ( # )

# * + ' f (z) D ε > 0 $ ε#

, )#

f (z)dz −	ε	f (z)dz	< ε

		! "
		'

( - f (z) ' f (z) '#

* D : f (z)dz = 0

' ( # * L D

* * ( '

# $ ! "

# ' ( f	(z) '#
* : D		f (z)dz = 0

$ %



	D		D


f (z)			¯
			D !
		f (z)dz = 0


" # # # # , γ1, . . . , γn

γ1, . . . , γn $ f (z)

∂D f (z)dz = 0

f (z)

D z D :

f (ξ)

f (z) =

2πi

ξ − z

# %&%

# $

" ' ( f (z)

z D ( f (z) )

f (n)(z) =

f (ξ)

dξ, n = 1, 2, . . .

2πi

(ξ − z)n−1

# %&%

( {fn(z)} #

*+), - ε > 0 N n > N z L( z D) : |fn(z) − f (z)| < ε

% {fn(z)} # *+),

- ( fn(z), n = 1, 2, . . .					-
( !	L				L
n→∞		f	n	(z)dz =
lim					f (z)dz

lim

fn(z)dz =

lim fn(z)dz

n→∞ L

L n→∞

BR(z0) = {z : |z − z0| <

! " BR(z0) # !

% &

M · n!

f (n)(z0)

≤

, n = 1, 2, . . .

M = max

f (z)

' ( )

) *

F (z) = f (z) z D

( ) ! C = const

[F (z) + c] + )

F1(z), F2(z) )

F1(z) − F2(z) = C (C = const) z D

! " #

$ ) * # !

, ! F (z) =		f (ξ)dξ z, z0	)
		z0			z			D
) F (z) = f (z)					z			D

	%
						z
&		F (z)	=	z0			f (ξ)dξ ! z, z0 D
) ! -. !								z0 + . !
!
$	' (!) *+

,- ( )

! z0, z D&

f (ξ)dξ = F (z) − F (z0)

& ( . / +

, * *

C ! - C ! C /0123

				∞

	C1 + C2 + . . . + Cn + . . . = Cn
				n=1
		n
σn =		k
σn =			Ck
		=1
				∞
	lim
	lim			n=1 Cn
	n→∞ σn = σ			n=1 Cn
σ
		∞
		Cn

n=1

∞∞

	an,	bn n : Cn = an + ibn; an, bn R
n=1	n=1
		∞	∞

		Cn !	\|Cn\|
		n=1	n=1
		∞

		Cn !

n=1

! " # $ % & '

" {fn(z)} #$

% & '$ ( %

				∞

	f1(z) + f2(z) + . . . + fn(z) + . . . =			fn(z)
				n=1
			∞

'$			fn(z) z0 D
		∞	n=1
		∞

		fn(z0)
		n=1
			∞

	'$		fn(z) % &
			n=1
% % &
)			∞
)
	'$		fn(z) %
			n=1	fk (z) < ε
	ε > 0 N n > N z E ∞			fk (z) < ε

k=n+1

						∞

						fn(z)
			∞		n=1
			∞
			k
Sn(z) =			fk (z) n → ∞
			=1
						∞

						fn(z)
						n=1
			fn(z) ! "

						∞

						fn(z)
						n=1
# $ % #							fn(z), n = 1, 2, . . . ! " %
$ " #&
					∞		∞

				f (z)dz =	fn(z) dz =			fn(z)dz
					n=1		n=1
									∞

									fn(z) %
									n=1
			' ( ) * fn(z) $ )
* ! " &
	+ $ ) *
	, - $ ) * .) $ (&
					∞

				f (k)(z) =	fn(k)(z) z D k = 1, 2, . . .
					n=1
	/ -	∞	fn(k)(z) fn(k)(z)						( )

	*	n=1
	*


							∞
								Cn(z − z0)n
			C0 + C1(z − z0) + C2(z − z0)2 + . . . =					Cn(z − z0)n

n=1

z0 {Cn}

! " z0

		∞

		Cn(z − z0)n + $
z1 = z0 ! " &		n=1
z1 = z0 ! " &

z : |z − z0| < |z1 − z0|

|z − z0| ≤ r < |z1 − z0|

∞

Cn(z − z0)n

n=1

! " #

+∞$ % &

|z − z0| < R $ |z − z0| > R

# ' &

R = lim

( $

n→∞

|Cn|

R = lim

n→∞|Cn+1|

) " ' ! * + # '' ! # z0$

∞ f (n)(z0)

, ' ! * + !

# z0

(z − z0)n

n=0

! - * + # |z −z0| < R$ .

* + / " / , &

∞ f (n)(z0)

(z − z0)n

n=0

" #

f (n)

(z0)

∞

$ - * + $ f (z) =

Cn(z − z0)n$

n=1

Cn =

, n = 0, 1, 2, . . . 0 / %

" ,

" #

ϕ(z) U (z0) ϕ(z0) = 0 z0 ϕ(z)

' ! ϕ(z)$

ϕ(z0) = 0, ϕ (z0), . . . , ϕ(k−1)(z0) = 0, ϕ(k)(z0) = 0

% ) " * + 1 + # 2 ) " #

* + 1 + " # {zk } D$

#	{	zk	} −−−→		z0	z0	# 2 , f (z)	≡	g(z) 2
			k	→∞
			k

& - * + # 2 f (z) ≡ 0$ f (z) ≡ 0

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
28.06.20141.31 Mб92Лекции (1).docx
#
28.06.2014376.83 Кб41Лекции_2.doc
#
28.06.2014701.66 Кб93Определения из лекций.pdf
#
28.06.20142.95 Mб111Ответы на экзаменационные билеты (1).doc
#
28.06.201429.41 Mб231Ответы на экзаменационные билеты (2).doc
#
28.06.2014887.3 Кб123Ответы на экзаменационные билеты (2)_2.doc
#
28.06.201438.4 Кб17Экзаменационная программа (2009 г).doc
#
28.06.201444.03 Кб23Экзаменационная программа.doc