- •Математический анализ
- •4 Семестр
- •Содержание.
- •Лекция № 1. Теория функций комплексного переменного. Комплексные числа и действия над ними.
- •10. Определение. Свойства.
- •20. Комплексная плоскость с и декартова плоскость .
- •30. Тригонометрическая форма комплексных чисел.
- •20. Предел f(z) в точке. Непрерывность.
- •30. Производная f(z). Условия Коши-Римана.
- •40. Теорема Коши-Римана.
- •Лекция № 3.
- •10. Геометрический смысл аргумента и модуля .
- •Некоторые конформные отображения.
- •10. Линейное отображение.
- •Лекция № 4.
- •Дробно-линейные отображения.
- •30. Определение. Простейшие свойства.
- •50. Декомпозиция дробно-линейного отображения.
- •Лекция № 5.
- •Лекция № 6.
- •20. Общий вид дробно-линейного отображения.
- •Лекция № 7. Интегрирование функций комплексного переменного.
- •10. Определение
- •Лекция № 8. Формула коши.
- •10. Окончание предыдущей лекции.
- •Лекция № 9. Следствия из формулы коши.
- •10. Напоминание.
- •30. Следствие3 (Теорема Лиувилля)
- •Комплексные ряды.
- •Лекция № 10. Степенные ряды. Ряды тейлора.
- •Лекция № 11.
- •Лекция № 12. Особые тчоки аналитических функций.
- •10. Несколько замечаний к разложению Лорана.
- •30. Классификация изолированных особых точек.
- •Лекция № 13.
- •Лекция № 14.
- •Лекция № 15.
- •Лекция № 16. Интегралы пуассона.
МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Лекции
Математический анализ
4 Семестр
Лектор Дубинский Юлий Андреевич
Москва, 2009/2010
Содержание.
Лекция № 1.
|
Теория функций комплексного перемеенного. Комплексные числа и действия над ними........................................................................................... 4 |
Лекция № 2. |
Функции комплексного переменного............................................................9 |
Лекция № 1. Теория функций комплексного переменного. Комплексные числа и действия над ними.
10. Определение. Свойства.
Определение 1.
Комплексными числами назовём символы , гдеи– вещественные числа,– мнимая единица.
Принято называть вещественной частью, а– мнимой.
Определение 2.
Алгебраически множество данных символов будут образовывать поле комплексных чисел, если будут определены операции сложения, вычитания, умножения и деления.
Определение 3.
Комплексно сопряженным с число назовём символ.
сложение комплексных чисел
вычитание комплексных чисел
умножение комплексных чисел
деление комплексных чисел
Замечание.
Не трудно проверить, что – умножение коммутативно.
Также выполняются свойства коммутативности и дистрибутивности сложения.
Вывод: поле комплексных чисел является расширением поля вещественных чисел с сохранением всех свойств 4-x арифметических операций.
Пример.
20. Комплексная плоскость с и декартова плоскость .
Очевидно, что соответствует пара вещественных чисел, которая определяет точку на и наоборот – каждой точке соответствует комплексное число. При этом должное соответствие взаимно однозначно, поэтому множество комплексных чисел называют комплексной плоскостью и на практике часто геометрически отождествляют с.
Это совмещение особенно полезно при изучении геометрических вопросов как теории комплексных чисел, так и теории комплексных функций.
Замечание.
Трактовка комплексных чисел как векторов декартовой плоскости даёт геометрическую иллюстрацию сложения и вычитания комплексных чисел (обычное сложение и вычитание векторов).
Геометрическая иллюстрация операций умножения и деления связана с тригонометрической или экспоненциальной формой записи комплексного числа.
30. Тригонометрическая форма комплексных чисел.
Рассмотрим на декартовой плоскости полярную систему координат:
Утверждение 1.
записывается в виде .
Определение 4.
Число называется модулем комплексного числа и обозначается.
Определение 5.
Значение (угол) называется аргументом и обозначается символом. Заметим, чтоопределяется не однозначно на. Очевидно, годится любой угол.
Определение 6.
Во избежание путаницы выделяется главная ветвь аргумента , которая обозначается.
Утверждение 2.
40. Экспоненциальная форма комплексного числа.
Тогда
В этой записи также легко записать формулы Муавра:
Лекция № 2.
Замечание.
Укажем пропущенную на предыдущей лекции зависимость от вещественных переменных х, у:
(*)
Формула (*) соответствует определению с разрезом плоскости С по отрицательной полуоси ОХ.
При этом значения придает верхнему «берегу» разреза. Аналогично можно выписать формулы при разрезе вдоль положительной полуоси ОХ. При этом
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
10. Определение. Примеры.
Пусть – комплексная область на плоскости. Пусть – некоторая область на плоскости ,.
Определение 1.
Всякое отображение области G на области W называется функцией комплексного переменного со значениямив областиW.
Заметим, что при заданной функции
–функция вещественных (х, у),
–функция вещественных (х, у).
Таким образом, всякая комплексная функция однозначно определяется двумя вещественными функциями:
–реальная (действительная) часть функции
–мнимая часть функции
Поэтому, говоря о комплексной , указывают, что.
Примеры.
, где – комплексные числа, аN – целое.