Лекция № 12. Особые тчоки аналитических функций.

10. Несколько замечаний к разложению Лорана.

Если f(z),то любое

Для удобства ряд Лорана записываютЖ

1. 

Замечание1. Из доказательства теоремы Лорана (или из теоремы Абеля) следует: ряд Лорана сходится равномерно в любом меньшем подкольце.

Ряд (1) сходится равномерно в любом К_r’,R’(a), где r<r’<R’<R

Поэтому ряд (1) можно дифференцировать и интегрировать почленно, а также менять местами 2 символа.

Замечание 2.

Для дальнейшего нужна оценка коэффициентов С_n

Именно,

Поэтому, если на окрестности интегрирования функция f(z) ограничена, т..е. существует N>0: |f(z)|<=M, то из(2) получаем , что |C_n|<=

Итак, доказано, что |C_n|<=,n=0,+-1…, где в качестве М можно взять М=max_|ε-a|=ρ|f(ε)|

Переходим к особым точкам.

2⁰. Основные определения.

По определению особой точки функции f(z) является любая ее точка, где она не имеет производной, т.е. любая точка, где у нее нет производной.

Вообще говоря, множество точек неаналитичности м.б. очень сложным. Мы будем изучать простейшие изолированные особые точки.

Определение. Точка z=a называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует окрестность Ua точки z=a (хотя бы мала), в которой f(z) аналитична всюду, кроме самой z=a.

f(z)

Определение1.

Изолированная особая точка называется устранимой особой точкой f(z), если существует

lim_z->af(z)=A<>∞

Определение2. -||- полюсом функции f(z), если существует lim_z->af(z)=∞

Определение3. -||-существенно особой точкой f(z), если не существует lim_z->af(z)

Очевидно, данное определение – логическая триада => дана классификация особых точек.

Примеры:

1)f(z)=

2)3)

Оказывается, что особоые точки однозначно классифицируются своими рядами Лорана.

30. Классификация изолированных особых точек.

Очевидно, в окрестности изолированной точки функция f(z) разлагается в ряд Лорана

Теорема1. Z=a устранимая особая точка  ряд Лорана не содержит главной части,

Теорема2. Z=a – полюс <> главная часть ряда Лорана является конечной суммой, т.е.

f(z)=

Теорема3. Z=a – существенно особая точка  главная часть содержит бесконечно много слагаемых.

Доказательство:

(=>)

Пусть z=a – устранимая особая точка, т.е. существует lim_z->af(z)=A<>∞

Тогда f(z) ограничена в некоторой окрестности Ua. Покажем, что C_n=0 для любого n=0,+-1…

|

Это значит, что |cn|<=0  Cn=0

Ч.т.д.

(<=)

Пусть ряд Лорана является рядом Тейлора

=> lim_z->af(z)=C₀

Это и значит, что z=a – устранимая точка.

Ч.т.д.

Замечание:

На самом деле, при доказательстве теоремы нам понадобился не сам факт существования предела f(z) при z->a, а лишь свойство ограниченности f(z) в Ua

Поэтому в определении устранимой особой точки требовать лишь неограниченности в окрестности Ua , после чего существование предела обеспечено.

Вывод1

В рамках теории аналитических функций понятия ограниченности в окрестности Ua и существования предела эквивалентны. Если значение f(z) в точке z=a выбрать числом c₀ , т.е. доопределить f(z) в точке z=a этим значением, то f(z) становится доопределенной.

Лекция № 13.

Особые точки (продолжение)

Мы остановились перед доказательством второй части теоремы о классификации особых изолированных точек аналитической функции в терминах коэффициентов ее ряда Лорана. Перед тем,как перейти к доказательству рассмотрим некоторые вопросы о нулях аналитичской функции.

1⁰. Нули аналитической функции.

Пусть f(z)—аналитическая функция и f(a)=0

В этом случае точка z=a называется нулем аналитической функции f(z). Допустим, что в некоторой окрестности Ua , f(z)<>0, если z<>a

Утверждение1:

Изолированный нуль z=a имеет конечную кратность, т.е.

Существует m>=1: f(a)=0 f’(a)=0,….f^(m-1)(a)=0, f^(m)(a)<>0

Доказательство:

Действительно, если утверждение неверно, то

f(a)=0 f’(a)=0,….f^(m-1)(a)=0, f^(m)(a)=0….

Но тогда f(z)=что противоречит условию изолированности z=a.

Утверждение2.

Точка z=a является нулем аналитической функции f(z), если и только если в некоторой окрестности Ua функция f(z) представимо в виде f(z)=(z-a)^m, где m- кратность корня z=a , а

Доказательство: (=>)

Пусть z=a – нуль функции f(z) и m(см. усл-е 1) – его кратность, тогда ряд Тейлора для f(z)^

(<=) Пусть f(z)=(z-a)^m

Доказательство:

Прямым дифференциированием,

Но можно доказать иначе:

Т.к. разлагается в ряд Тейлора, то

f(z)=(z-a)^m[₀+₁*(z-a)+…+*(z-a)ⁿ+…]=₀(z-a)^m+₁*(z-a)^m+1+…+*(z-a)^n+m+… - ряд Тейлора для f(z)

• F(a)=0 f’(a)=0 … f^(m-1)(a)=0

f^(m)(a)=m!0<>0 это и надо.

Вернемся к доказательству основной теоремы.

Доказательство п.2 теоремы:

Пусть f(z) – имеет в точке z=a полюс, т.е. f(z)->∞ при z->a. Надо доказать, что существует m>=1: ряд Лорана

(*)

Лорановская часть Тейлоровская часть

По определению, порядком полюса z=a функции f(z) называется кратность нуля функции 1/f(z). Согласно устверждению 1 такое число m имеется. Далее, согласно утверждению 2, функция 1/f(z)=(z-a)^m

Следовательно, f(z)=Тем самым, разлагаяq(z) в ряд Тейлора, находим, что

Обратное очевидно: Пусть f(z) разлагается в (*), тогда

f(z)=

C_-m<>0

Ч.т.д.

Заключение.

Для доказательства 3 доказательства не требуется. Ниже это теорема будет существенно использоваться при вычислении интегралов.

Сейчас же поговорим о характере области значений функций в окрестности особых точек.

1. z=a – устранимая точка, т.е. f(z)->A, А<>∞. В этом случае образ f(z) в Ua отличается от образа аналитичсекой функции f*(z)=только одним значением в точкеz=a.

2. z=a – полюс, т.е. f(z)->∞

Тогда и |f(z)|->+ ∞ , т.е. значения f(z) в Ua становятся неограниченно большими с уменьшением Ua

3. Поведение интереснее. Характеризуется теоремой Пикара:

Пусть z=a – сущ-но особая точка функции. Тогда для любого числа Аz_k->a, k=0,1…, такая,что f(z_k)=A

Без доказательства.

Докажем более слабую:

Ю.Сохоцкий, К. Вейштрасс.

Теорема С-В:

Пусть z=a - сущ-но особая точка f(z), тогда для любого А

Существует z_k->a, такая что f(z)->A

Рассмотрим

1. A=∞ и допустим противное, т.е. нет ни первой последовательности z_k->a: f(z_k)-> ∞ =>|f(z_k)|->+ ∞

• где M>0 – некоторая постоянная. Но это означает, что z=a – устранимая особая точка, что противоречит условию. Значит существует z_r->a: f(z)-> ∞

2. Пусть А<>∞ и допоустим противное

• 

Рассмотрим q(z)=1/(f(z)-a) в Ua

Для этой функции точка z=a является существенно особой точкой (поверим на минутку) => в соответствии с п.1) существует z_k->a и q(z_k)-> ∞

Замечание. Докажем лемму\

z=a для q(z) является сущ-но особой точкой

Доказательство

Действительно, если это не так, т. Е. , тогдаf(z)->A + что противоречит условию.

Ч.т.д.